Last Updated on Agustus 26, 2022 by prooffic
Kita akan membahas mengenai Fungsi Kontinu Analisis Real. Konsep ini merupakan salah satu konsep mendasar dan penting dalam bidang Analisis. Secara intuitif, fungsi kontinu adalah fungsi yang grafiknya tidak terputus, terutama ketika kita berbicara pada fungsi yang domainnya berupa interal. Akan tetapi, intuisi tersebut kadang tidak berlaku ketika kita berbicara terkait dengan fungsi yang diefinisikan pada sebarang himpunan, contohnya adalah fungsi pada himpunan bilangan asli yang sebagaimana kita ketahui bahwa interpretasi himpunan bilangan bulat pada garis real, terdapat gap antar bilangan asli.
Kali ini, kita membahas definisi dari fungsi kontinu yang ditinjau dari definisi $\varepsilon – \delta$, kriteria barisan dan juga topologi. Akan ditunjukkan pula bahwa ketiga definisi tersebut adalah ekuivalen satu sama lain.
Domain dari fungsi yang dibicarakan di sini adalah berupa bilangan real. Sedangkan kodomain dari fungsi tersebut adalah berupa bilangan real. Secara umum, fungsi yang dibicarakan adalah $$f : A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$
**Selamat menikmati**
Definisi Fungsi Kontinu
Definisi (Fungsi Kontinu): Misalkan $A \subseteq \mathbb{R}, f : A \rightarrow \mathbb{R}$ dan $c \in A$. Kita katakan bahwa fungsi $f$ kontinu di $c$ jika untuk setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dengan $|x-c| < \delta$, berlaku bahwa $|f(x) – f(c)| < \varepsilon$
Dalam kalimat matematika, dapat dituliskan $$(\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta>0) \ni (x \in A) \land (|x-a|<\delta) \Rightarrow (|f(x)-f(a)|<\varepsilon)$$Secara grafik, kekontinuan fungsi dapat diilustrasikan sebagai berikut.
Definisi tersebut menjelaskan konsep kekontinuan fungsi berdasarkan jarak, yaitu dengan terlebih dahulu mengatur jarak di sekitar $f(c)$. Kemudian mengamati perilaku dari nilai $x$ di sekitar $c$ tersebut, apakah dapat “dikontrol” , dalam arti bahwa apakah kita dapat membuat sebuah persekitaran di $c$ sehingga titik-titik di persekitaran tersebut memiliki nilai fungsi $f$ yang juga berada cukup dekat (sesuai dengan jarak dari $f(c)$ yang telah diatur sebelumnya) dengan $f(c)$. Jika kita dapat melakukan hal demikian, maka kita katakan bahwa $f$ kontinu di $c$.
Baca Juga: Teorema Rolle dan Buktinya.
Dengan deskripsi tersebut, dapat diturunkan teorema sebagai berikut.
Teorema 1: Fungsi $f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ kontinu di $c \in A$ jika dan hanya jika untuk setiap persekitaran $V_{\varepsilon} (f(c))$ dari $f(c)$ sejauh $\varepsilon > 0$, terdapat persekitaran $V_{\delta} (c)$ dari $c$ sejauh $\delta >0 $ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in$ perksekitaran $V_{\delta} (c)$ dengan $x \in A$, berlaku bahwa $f(x) \in V_{\varepsilon} (f(c))$, dengan kata lain, $$f(A \cap V_{\delta}(c) \subseteq V_{\varepsilon} (f(c))$$
Bukti: Misalkan $f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dan $c \in A$. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $f$ kontinu di $c$. Diberikan sebarang persekitaran $V_{\varepsilon} (f(c))$ dari $f(c)$ sejauh $\varepsilon > 0$. Dengan kekontinuan dari $f$ di $c$, maka untuk $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk setiap $x$ dengan $x \in A$ dengan $|x-c|<\delta$, berlaku bahwa $$|f(x)-c|<\varepsilon.$$Dari sini, misalkan $x \in A \cap V_{\delta} (c)$. Maka, $x \in A$ dan $x \in V_{\delta} (c)$. Sehingga, $x \in A$ dan $x \in \left( c- \delta, c+\delta \right)$ yang berkibat bahwa $x \in A$ dan $|x-c|<\delta$.
Oleh karena itu, kita punya $|f(x) – f(c)|<\varepsilon$, yaitu $f(x) \in \left( f(c) – \varepsilon, f(c) + \varepsilon \right)$. Sehingga $f(x) \in V_{\varepsilon} (f(c))$. Dari sini, untuk setiap persekitaran $V_{\varepsilon} (f(c))$ dari $f(c)$ sejauh $\varepsilon > 0$, terdapat persekitaran $V_{\delta} (c)$ dari $c$ sejauh $\delta >0 $ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in$ perksekitaran $V_{\delta} (c)$ dengan $x \in A,$ berlaku bahwa $$f(x) \in V_{\varepsilon} (f(c)),$$dengan kata lain, $$f(A \cap V_{\delta}(c) \subseteq V_{\varepsilon} (f(c))$$Sebaliknya, asumsikan bahwa untuk setiap ntuk setiap persekitaran $V_{\varepsilon} (f(c))$ dari $f(c)$ sejauh $\varepsilon > 0$, terdapat persekitaran $V_{\delta} (c)$ dari $c$ sejauh $\delta >0 $ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in$ perksekitaran $V_{\delta} (c)$ dengan $x \in A$, berlaku bahwa $f(x) \in V_{\varepsilon} (f(c))$. Akan ditunjukkan bahwa $f$ kontinu di $c$. Untuk itu, misalkan $\varepsilon > 0$, maka untuk persekitaran $V_{\varepsilon} (f(c))$ dari $f(c)$ sejauh $\varepsilon>0$, terdapat persekitaran $V_{\delta} (c)$ dari $c$ sejauh $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in$ perksekitaran $V_{\delta} (c)$ dengan $x \in A$, berlaku bahwa $f(x) \in V_{\varepsilon} (f(c))$. Perhatikan bahwa untuk setiap $x \in A$ dengan $|x-c|<\delta$ berlaku bahwa $c-\delta < x <c+\delta$ yang berakibat bahwa $x \in \left(c-\delta, c+\delta \right)$. Sehingga, $f(x) \in V_{\varepsilon} (f(c))$.
Kemudian, karena $f(x) \in V_{\varepsilon} (f(c))$, maka $f(c)-\varepsilon < f(x) < f(c) + \varepsilon$ dan $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$. Sehingga, untuk setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dengan $|x-c| < \delta$, berlaku bahwa $|f(x) – f(c)| < \varepsilon$. Ini membuktikan bahwa $f$ kontinu di $c$
Jadi, $f$ kontinu di $c \in A$ jika dan hanya jika untuk setiap persekitaran $V_{\varepsilon} (f(c))$ dari $f(c)$ sejauh $\varepsilon > 0$, terdapat persekitaran $V_{\delta} (c)$ dari $c$ sejauh $\delta >0 $ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in V_{\delta} (c)$ dengan $x \in A$, berlaku bahwa $f(x) \in V_{\varepsilon} (f(c)) $ $\blacksquare$
Dengan menggunakan defiinisi-definisi tersebut, pembahasan fungsi kontinu Analisis real kita akan dilanjutkan dengan membuktikan fungsi-fungsi berikut adalah fungsi kontinu.
Contoh: Misalkan $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dengan $f(x)=x$ dan $g(x)=x^2$. Maka $f$ dan $g$ kontinu di setiap $c \in \mathbb{R}$. Jika kita kaitkan dengan definisi yang telah disajikan sebelumnya, maka $A = \mathbb{R}$.
- Bukti $f$ kontinu di setiap $c \in \mathbb{R}$: Diberikan sebarang $\varepsilon > 0$, pilih $\delta = \varepsilon$. Maka untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ dengan $$|x-c|<\delta = \varepsilon,$$berlaku bahwa $$|f(x)-f(c)|=|x-c|<\delta = \varepsilon$$Sehingga, untuk setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dengan $|x-c| < \delta$, berlaku bahwa $|f(x) – f(c)| < \varepsilon$. Ini membuktikan bahwa $f$ kontinu di setiap titik $c \in \mathbb{R}$ $\blacksquare$
- Bukti $g$ kontinu di setiap titik $c \in \mathbb{R}$: Dari pembuktian $f$ kontinu di $c$, pemilihan $\delta$ nya cukup mudah dilakukan. Berbeda dengan pembuktian untuk fungsi $g$ ini, kita akan melakukan analisis pendahuluan terlebih dahulu sebagaimana telah dilakukan di mata kuliah kalkulus.Tujuan kita adalah menentukan $\delta > 0$ sehingga untuk $x$ yang dekat dengan $c$, dalam hal ini berjarak kurang dari $\delta$ dengan $c$, kita punya $|g(x)-g(c)|<\varepsilon$. Untuk itu, kita terlebih dahulu menguraikan ketaksamaan $|g(x)-g(c)|<\varepsilon$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned}|g(x)-g(c)| &=|x^2 – c^2| \\ &= |(x-c)(x+c)|\\&=|x+c||x-c| \end{aligned}$$Dari sini, kita telah memperoleh $|x-c|$ yang nantinya akan memenuhi bahwa $|x-c|<\delta$. Sehingga, $$\begin{aligned}|g(x)-g(c)| &=|x^2 – c^2| \\ &= |(x-c)(x+c)|\\&=|x+c||x-c|<\delta |x+c|\end{aligned}$$
Tips: dalam membuktikan kekontinu suatu fungsi dengan definisi $\varepsilon – \delta$, kita mengupayakan untuk memuculkan $|x-c|$ yang nantinya sangat berguna dalam menentukan $\delta$ yang diinginkan.
Di sini, kita masih punya masalah karena masih terdapat $x+c$ pada ketaksamaan tersebut. Untuk menghindarinya, kita terlebih dahulu asumsikan bahwa $\delta$ yang dipilih adalah kurang dari 1 (pemilihan ini pada dasarnya dapat digantikan dengan bilangan lain asalkan bilangan yang dipilih tersebut adalah positif, sesuai dengan sifat $\delta$ pada definisi fungsi kontinu). Dengan syarat awal bagi $\delta$ tersebut, kita peroleh bahwa $$\begin{aligned}|x-c|&<\delta \Rightarrow |x+c|<|x|+|c| \\ & = |x-c+c|+||c| \\& \leq |x-c|+|c|+|c|\\&= |x-c|+2|c| \\ & <1+2|c| \end{aligned}$$Kemudian, $$\begin{aligned}|g(x)-g(c)| &=|x^2 – c^2| \\ &= |(x-c)(x+c)|\\&=|x+c||x-c|<\delta |x+c|<\delta (1+2|c|)\end{aligned} $$Selanjutnya, $\delta |x+c|$ akan kurang dari $\varepsilon$ jika $$\delta<\frac{\varepsilon}{1+2|c|}$$Oleh karena itu, kita pilih $$\delta = \min \left\{ 1, \frac{\varepsilon}{1+2|c|} \right\}$$
Selanjutnya, misalkan sebarang $\varepsilon > 0$, pilih $$\delta = \min \left\{ 1, \frac{\varepsilon}{1+2|c|} \right\}$$Misal $x \in \mathbb{R}$ dengan $|x-c|<\delta$. Maka, $|x-c|<1$ dan $|x+c|<(1+2|c|)$. Kemudian, $$\begin{aligned}|g(x)-g(c)| &=|x^2 – c^2| \\ &= |(x-c)(x+c)|\\&=|x+c||x-c|<\delta |x+c|<\delta (1+2|c|)\\ & \leq \frac{\varepsilon}{1+2|c|} (1+2|c|) \\ &= \varepsilon \end{aligned} $$
Ini membuktikan bahwa $g$ kontinu di setiap titik $x \in \mathbb{R}$ $\blacksquare$
Definisi fungsi diskontinu
Suatu fungsi $f$ diskontinu di $c$ jika $f$ tidak kontinu di $c$. Dengan mengambil negasi dari fungsi kontinu, maka $f$ tidak kontinu di $c$ jika dan hanya jika terdapat $\varepsilon_0>0$, sedemikian sehingga untuk setiap $\delta>0$, terdapat $x_{\delta} \in A$ dengan $|x-c|<\delta$, tetapi $|f(x_{\delta})-f(c)|\geq\varepsilon_{\varepsilon_0}$. Kita akan menggunakan kediskontinuan ini pada bagian berikutnya.
Definisi-definisi yang Ekuivalen dengan fungsi kontinu
Konsep penting lainnya dalam pembahasan fungsi kontinu Analisis Real adalah mengenai definisi lain yang biasanya digunakan untuk mendefinisikan fungsi kontinu, yaitu kekontinuan fungsi berdasarkan kriteria barisan.
Teorema 2 (Fungsi kontinu berdasarkan kriteria barisan): Misalkan $c \in A$. Maka, pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.
- $f$ kontinu di $c$
- Setiap barisan $(x_n)$ di $A$ yang konvergen ke $c$ memenuhi sifat bahwa barisan $(f(x_n))$ juga konvergen ke $f(c)$
Bukti: Terlebih dahulu asumsikan bahwa $f$ kontinu di $c$. Diberikan sebarang barisan $(x_n)$ di $A$ yang konvergen ke $c$. Akan ditunjukkan bahwa $f(x) \rightarrow f(c)$. Untuk itu, misalkan $\varepsilon > 0$. Berdasarkan definisi kekontinuan fungsi, maka terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dengan $|x-c| < \delta$, berlaku bahwa $|f(x) – f(c)| < \varepsilon$. Kemudian, dengan kekonvergenan dari $(x_n)$, terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga untuk $n \geq N$, berlaku bahwa $|x_n – c|<\delta$.
Misalkan $n \geq N$, maka $|x_n – c|<\delta$ yang berakibat bahwa $|f(x)-f(c)|\varepsilon$. Ini membuktikan bahwa $(f(x_n))\rightarrow f(c)$.
Sebaliknya, asumsikan bahwa setiap barisan $(x_n)$ di $A$ yang konvergen ke $c$ memenuhi sifat bahwa barisan $(f(x_n))$ juga konvergen ke $f(c)$. Tujuan kita adalah membuktikan bawa $f$ kontinu di $c$. Diberikan sebarang $\varepsilon > 0$. Andaikan $f$ tidak kontinu di $c$, maka terdapat terdapat $\varepsilon_0>0$, sedemikian sehingga untuk setiap $\delta>0$, terdapat $x_{\delta} \in A$ dengan $|x-c|<\delta$, tetapi $|f(x_{\delta})-f(c)|>\varepsilon_{\varepsilon_0}$. Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, misal $\delta_{n} = 1/n$. Maka, terdapat $x_n \in A$ sehingga $|x_n – c|<1/n$ tetapi $|f(x_n)-f(c)|\geq \varepsilon$
Dari sini, terdapat barisan $(x_n)$ di $A$ sedemikian sehingga $|x_n – c|<1/n$ dan $|f(x_n)-f(c)| \geq \varepsilon_0$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Perhatikan bahwa $x_n \rightarrow c$ tetapi $(f(x_n))$ tidak konvergen ke $f(c)$. Sehingga, pengandaian salah dan haruslah $f$ kontinu di $c$. Jadi, pernyataan-pernyataan tersebut adalah pernyataan-pernyataan yang ekuivalen $\blacksquare$
Dengan mengambil negasi dari pernyataan-pernyataan tersebut, maka diperoleh kriteria barisan untuk fungsi diskontinu di suatu titik sebagaimana dirumuskan dalam akibat berikut.
Baca juga:
Contoh fungsi tidak kontinu: Fungsi Dirichlet (pada domain berupa bilangan real) dan Fungsi Thomae (pada titik-titik tertentu)
Pembahasan Soal Analisis Real Fungsi Kontinu Bab 5 bagian 1 (Buku Analisis Real Bartle dan Sherbert)
Pembahasan Soal Analisis Real Fungsi Kontinu Bab 5 bagian 2 (Buku Analisis Real Bartle dan Sherbert)
Akibat 1 (Fungsi diskontinu berdasarkan kriteria barisan): Misalkan $c \in A$. Maka $f$ tidak kontinu di $c$ jika dan hanya jika terdapat barisan $(x_n)$ di $A$ sedemikian sehingga $x_n \rightarrow c$ tetapi $(f(x_n))$ tidak konvergen ke $f(c)$
Fungsi kontinu pada domainnya
Definisi: Misalkan $f : A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ kontinu pada $A$ jika $f$ kontinu pada setiap titik di $x \in \mathbb{A}$, yaitu untuk setiap $x \in A$ dan $\varepsilon >0$, terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk $x \in A$ dengan $|x-c| < \delta$, berlaku bahwa $|f(x) – f(c)| < \varepsilon$.
Berdasarkan kedua contoh sebelumnya, maka $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi kontinu pada $\mathbb{R}$. Terkait dengan definisi fungsi kontinu pada domainnya, kita punya teorema berikut.
Teorema 3 (Hubungan fungsi kontinu dan himpunan buka): Misalkan $f:A\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Fungsi $f$ kontinu pada $A$ jika dan hanya jika bayangan invers sebarang himpunan buka dari $f$ adalah irisan $E$ dengan suatu himpunan buka.
Bukti: Misalkan bahwa $f$ adalah fungsi kontinu pada $A$. Misalkan juga bahwa $\mathcal{O}$ adalah sebarang himpunan buka. Misalkan $x \in f^{-1} (\mathcal{O})$. Maka, $f(x) \in \mathcal{O}$. Karena $\mathcal{O}$ buka, maka terdapat $\varepsilon > 0$ sedemikian sehingga, $(f(x)-\varepsilon, f(x)+\varepsilon) \subseteq \mathcal{O}$. Dengan kekontinuan dari $f$, maka untuk $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta_x>0$ sedemikian sehingga jika $y \in A$ dan $|x-y|<\delta_x$, maka $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.
Dari sini, jika $y \in A$ dan $|x-y|<\delta_x$, maka $f(y) \in (f(x)-\varepsilon, f(x)+\varepsilon) \subset \mathcal{O}$ dan $y \in f^{-1} (\mathcal{O})$. Oleh karena itu, $$f^{-1} (\mathcal{O}) = \bigcup_{x \in A} (x-\delta_x, x+\delta_x) \cap A$$Jadi, $f^{-1} (\mathcal{O})$ adalah irisan dari $A$ dan suatu himpunan buka.
Sebaliknya, asumsikan bahwa untuk setiap himpunan buka $\mathcal{O}$, $f^{-1} (\mathcal{O})$ adalah irisan dari suatu himpunan buka dan $A$. Akan ditunjukkan bahwa $f$ adalah fungsi kontinu pada $A$. Diberikan $c \in A$ dan $\varepsilon > 0$ sebarang. Karena $(f(c)-\varepsilon, f(c)+\varepsilon)$ adalah himpunan buka, maka $f^{-1}((f(c)-\varepsilon, f(c)+\varepsilon))$ adalah irisan dari $A$ dan suatu himpunan buka $U$. Selain itu, karena $$c \in f^{-1}((f(c)-\varepsilon, f(c)+\varepsilon))$$, maka terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga $$(c-\delta, c+\delta) \subseteq U$$. Dari sini, $$A \cap (c-\delta, c+\delta) \subseteq A \cap U = f^{-1}((f(c)-\varepsilon, f(c)+\varepsilon))$$. Oleh karena itu, $$f(A \cap (c-\delta, c+\delta) ) \subseteq (f(c)-\varepsilon, f(c)+\varepsilon)$$Dengan kata lain, jika $x \in A$ dengan $|x-c|<\delta$, berlaku bahwa $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$. Ini membuktikan bahwa $f$ kontinu di $c$. Karena $c$ sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa $f$ kontinu pada $A$.
Jadi, $f$ kontinu pada $A$ jika dan hanya jika bayangan invers sebarang himpunan buka dari $f$ adalah irisan $E$ dengan suatu himpunan buka $\blacksquare$
Hubungan limit fungsi dan kekontinuan
Pembahasan terakhir Fungsi kontinu Analisis real kali ini adalah terkait dengan hubungan limit fungsi dan kekontinuan. Pada buku-buku kalkulus, definisi dari kekontinuan fungsi di titik $c$ adalah $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$. Jika kita berbicara kekontinuan fungsi dengan domain yang merupakan himpunan yang sama dengan titik clusternya, maka definisi tersebut adalah benar. Akan tetapi, akan berbeda jika kita berbicara dengan fungsi $f(x) = x+1$ yang mempunyai domain seperti $\{ 1/n : n \in \mathbb{N}\}\cup {0}$. Penulisan $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$ hanya valid ketika $c = 0$ karena sebagaimana kita ketahui bahwa salah satu syarat agar $\lim_{x \rightarrow c} f(x) $ ada adalah $c$ adalah titik cluster dari $A$.
Sebagai kesimpulan, kita telah memperoleh dua definisi berbeda dari fungsi kontinu (di suatu titik) yang saling ekuivalen, yaitu definisi $\varepsilon – \delta$ dan kriteria barisan. Sedangkan untuk kekontinuan fungsi pada domainnya, juga diperoleh dua definisi berbeda yang ekuivalen, yaitu definisi $\varepsilon – \delta$ dan hubungannya himpunan buka (topologi).
Pembahasan Soal Fungsi Kontinu.
Berikut ini adalah pembahasan soal fungsi kontinu yang berasal dari buku Intriduction to Real Analysis oleh Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert.
- Pembahasan Soal Analisis Real Bab 5 Bagian 1 (Fungsi-fungsi Kontinu)
- Pembahasan Soal Analisis Real Bab 5 Bagian 2 (Kombinasi Fungsi-fungsi Kontinu)
Jika Anda tertarik dengan soal dan pembahasan analisis real terutama soal-soal di Buku Intriduction to Real Analysis oleh Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert, Anda dapat ke sini.
Demikian pembahasan mengenai Fungsi kontinu Analisis real terutama terkait dengan definisinya. Jika Anda tertarik dengan topik Analisis Real lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
