Last Updated on November 12, 2024 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas mengenai Pembahasan Soal ONMIPA 2018 Analisis Kompleks Tingkat Nasional, terutama untuk hari pertama. Pembahasannya melibatkan sifat-sifat dasar bilangan kompleks, seperti modulus dan konjugat.
Jika $z \in \mathbb{C}$ dengan $z = x + iy$, $x$ adalah bagian real sedangkan $y$ adalah bagian imajiner, maka modulus dari $z$, ditulis $|z|$, didefinisikan sebagai $$|z| =\sqrt{ x^2 +y^2}$$Sedangkan konjugat dari $z$, ditulis $\bar{z}$, didefinisikan sebagai $\bar{z} = x – iy$. Dengan definisi tersebut, kita peroleh hubungan bahwa $$|z|^2 = z \cdot \bar{z}.$$
Materi lain yang dilibatkan dalam pembahasan kali adalah fungsi beberapa peubah, terutama kontinuitas. Selain itu, juga diperlukan pemahaman terkait dengan hubungan poligon beraturan dan bilangan kompleks.
**Selamat menikmati**
Soal
Diberikan bilangan asli $n$. Cari semua bilangan bulat yang dapat dinyatakan dalam bentuk $$\left( \sum_{k = 1} ^{n} z_k\right) \left( \sum_{k = 1} ^{n} \frac{1}{z_k }\right)$$untuk suatu bilangan kompleks $z_1, …, z_n \in \mathbb{C}$ dengan $|z_1| = \cdots = |z_n| = 1.$
Jawab: Karena $|z_k| = 1$ untuk tiap $k = 1, …, n$, maka $z_k \bar{z}_k = 1$ dan $\frac{1}{z_k} = \bar{z}_k$. Oleh karena itu, dengan sifat konjugat bilangan kompleks, maka diperoleh $$\begin{aligned} \left(\sum_{k = 1} ^{n} \frac{1}{z_k } \right) &= \left( \sum_{k = 1} ^{n} \bar{z}_k \right) \\ &= \overline{ \left(\sum_{k = 1} ^{n} z_k \right)} \end{aligned}$$
Jika $n = 1$, maka bilangan komleks yang mungkin hanyalah 1 dengan $z_1 = 1$ atau $z_1 = -1$. Selanjutnya, misalkan $n \geq 2$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \left( \sum_{k = 1} ^{n} z_k\right) \left(\sum_{k = 1} ^{n} \frac{1}{z_k } \right) & = \left( \sum_{k = 1} ^{n} z_k\right) \overline{ \left(\sum_{k = 1} ^{n} z_k \right)} \\ &= \left|\sum_{k=1} ^{n} z_k \right|^2 \\ & \leq \left(\sum_{k=1} ^{n} |z_k| \right)^2 \\&= (n)^2 = n^2\end{aligned}. $$
Selain itu, juga diperoleh bahwa $$\left( \sum_{k = 1} ^{n} z_k\right) \left(\sum_{k = 1} ^{n} \frac{1}{z_k } \right) = \left(\sum_{k=1} ^{n} z_k \right)^2 \geq 0. $$Oleh karena itu, $$0 \leq \left( \sum_{k = 1} ^{n} z_k\right) \left( \sum_{k = 1} ^{n} \frac{1}{z_k }\right) \leq n^2$$
Perhatikan bahwa kita senantiasa menemukan $z_1, z_2, …, z_n$ sedemikian sehingga jumlahannya adalah $0$, yaitu dengan cara menyusunnya pada lingkaran satuan sehingga membentuk poligon $n$ sama sisi. Selain itu, kita juga akan senantiasa memperoleh $z_1, z_2, …, z_n$ sehingga jumlahannya adalah $n$, yaitu dengan menuliskan $z_1 = z_2 = \cdots =z_n =1$. Kemudian, misalkan $\mathbb{C}_0 ^n$ adalah himpuan vektor di $\mathbb{C}^n$ sehingga entri-entrinya terletak di lingkaran satuan. Pemetaan $$T((z_1, z_2, … , z_n)) = \left|\sum_{k=1} ^{n} z_k \right|^2$$merupakan pemetaan kontinu pada $\mathbb{C}_0 ^n$. Oleh karena itu, dengan sifat nilai antara, maka $0, 1, …, n^2$ dapat dinyatakan dalam bentuk $$\left( \sum_{k = 1} ^{n} z_k\right) \left( \sum_{k = 1} ^{n} \frac{1}{z_k }\right)$$untuk suatu bilangan kompleks $z_1, …, z_n \in \mathbb{C}$ dengan $|z_1| = \cdots = |z_n| = 1.$
Jadi, jika $n = 1$, maka bilangan bulat yang memenuhi adalah $1$. Sedangkan jika $n \geq 2$, maka bilangan bulat yang memenuhi adalah $0, 1, …, n^2$.
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2018 Analisis Kompleks Tingkat Nasional. Jika Anda tertarik dengan topik Soal dan Pembahasan ONMIPA/KNMIPA, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
