Last Updated on Mei 5, 2026 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang Soal dan Pembahasan ONMIPA 2026 Matematika Analisis Real. Materi mencakup barisan dan deret, kekontinuan dan turunan fungsi, integral, dan barisan fungsi.
**Selamat menikmati**
Soal dan Pembahasan ONMIPA 2026 Matematika Analisis Real
Isian
Soal 1
Misalkan $\sum_{n=1}^\infty a_n$ adalah deret dengan suku-suku positif. Jika $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a^2 + 5}{6}, $$maka himpunan semua $a\in\mathbb{R}$ yang menjamin deret tersebut konvergen adalah interval …
Pembahasan soal ONMIPA 2025
Pembahasan soal Analisis Real buku Bartle
Jawab. Misalkan $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Ingat kembali bahwa agar deret $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergen, maka haruslah $0\leq L< 1$. Dari sini, diperoleh $$ \frac{a^2+5}{6} < 1 $$yang berakibat bahwa $a^2 < 1 $.
Oleh karena itu, himpunan nilai $a$ yang memenuhi adalah $\{a : -1 < a < 1\} = (-1 ,1)$. Jadi, himpunan semua $a\in\mathbb{R}$ yang menjamin deret tersebut konvergen adalah interval $(0,1)$.
Soal 2
Diberikan barisan fungsi $f_n : [0,1] \to \mathbb{R}$ dengan $f_n (x) = n^2 x^2 (1 – x)^n$. Nilai dari $$ \lim_{n \to \infty} \sup_{0 \leq x \leq 1} f(x) $$adalah …
Jawaban. Diberikan $f_n (x) = n^2 x^2 (1 – x)^n$ untuk setiap bilangan asli $n$. Terlebih dahulu akan ditentukan supremum dari $f_n(x)$ pada $[0, 1].$
Perhatikan bahwa $f_n (0) = 0 = f_n (1)$. Selanjutnya, dapat dihitung bahwa $$ \begin{aligned} \frac{d}{dx} f_n (x) & = n^2 (2x (1-x)^n – x^2 n (1-x)^{n-1} ) \\ & = n^2 (1-x)^{n-1} x (2(1-x) – nx) \\ & = n^2 (1-x)^{n-1} x (2 – (n+2)x). \end{aligned}$$
Akibatnya, nilai $x$ agar $\frac{d}{dx} f_n (x)$ adalah $x=0, 1, \frac2{n+2}$. Oleh karena itu, $$ \sup_{0 \leq x \leq 1} f_n(x) = f_n \left( \frac2{n+2} \right) = n^2 \left( \frac2{n+2} \right)^2 \left( 1 – \frac{2}{n+2} \right)^n $$
Selanjutnya, karena $$ e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n, $$maka $$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty } \left( 1 – \frac{2}{n+2} \right)^n & = \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{2}{n+2} \right)^{n + 2} \left( 1 – \frac{2}{n+2} \right)^{-2} \\ & = e^{-2} \cdot 1 \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \sup_{0 \leq x \leq 1} f_n(x) & = \lim_{n \to \infty} n^2 \left( \frac2{n+2} \right)^2 \left( 1 – \frac{2}{n+2} \right)^n \\ & = 4 \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+2)^2} \cdot \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{2}{n+2} \right)^n \\ & = 4 \cdot 1 \cdot e^{-2} \\ & = \frac4{e^2}. \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\lim_{n \to \infty} \sup_{0 \leq x \leq 1} f(x)$ adalah $\frac{4}{e^2}$.
Uraian
Soal 1
Tentukan bilangan real terkecil $c$ sehingga untuk setiap $x > 0$ berlaku $$ \ln (1+2 e^{3x}) < 4x + c.$$
Jawab. Perhatikan bahwa untuk $x > 0$ yang memenuhi $$ \ln (1+2 e^{3x}) < 4x + c, $$berlaku $$\ln \left( \frac{1 + 2 e^{3x}}{ e^{4x} }\right) < c.$$
Misalkan $f(x) = \ln \left( \frac{1 + 2 e^{3x}}{ e^{4x} }\right)$. Akan dicari nilai dari supremum $f$ pada $(0,\infty)$ yang pada dasarnya ekuivalen dengan mencari supremum dari $g(x) = \frac{1 + 2 e^{3x}}{ e^{4x}}$ pada $(0,\infty)$. Perhatikan bahwa $$g'(x) = \frac{6e^{3x} \, e^{4x} – (1+2e^{3x})4e^{4x}}{e^{8x}} = \frac{-4 e^{4x} – 14 e^{7x}}{e^{8x}} < 0 $$yang bermakna bahwa $g$ merupakan fungsi turun murni pada $(0, \infty).$
Akibatnya, $g$ mencapai supremum ketika $x \to 0^{-}$, yaitu $$ \sup_{x>0} g(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1 + 2 e^{3x}}{ e^{4x}} = 3. $$Oleh karena itu, $$\sup_{x > 0} f(x) = \ln 3. $$Jadi, nilai terkecil $c$ sehingga untuk $x > 0$ berlaku $$ \ln (1+2 e^{3x}) < 4x + c $$adalah $\ln 3.$
Soal 2
Misalkan fungsi $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ naik monoton dan $g : [a,b] \to \mathbb{R}$ terintegralkan pada $[a, b]$. Jika $g(x) \geq 0$ untuk setiap $x \in [a, b]$, buktikan terdapat $c \in [a,b]$ sehingga $$ \int_a^b f(x) g(x) dx = f(a) \int_a^c g(x) dx + f(b) \int_c^b g(x) dx.$$
Jawab. Tinjau fungsi $h : [a, b] \to \mathbb{R}$ dengan $$h(t) = f(a) \int_a^t g(x) dx + f(b) \int_t^b g(x) dx, \quad t \in [a,b]. $$Perhatikan bahwa $$h(a) = f(b) \int_a^b g(x) dx $$dan $$h(b) = f(a) \int_a^b g(x) dx. $$
Selanjutnya, dapat dilihat pula bahwa $$h'(t) = f(a) g(t) – f(b) g(t) = (f(a) – f(b)) g(t). $$Karena $f$ naik, maka $f(a) – f(b) \leq 0$. Dari sini, berdasarkan asumsi bahwa $g(t) \geq 0$, diperoleh $$h'(t) = (f(a) – f(b)) g(t) \leq 0 $$sehingga $h$ adalah fungsi turun pada $[a, b]$.
Akibatnya, $$\inf_{a\leq x \leq b} h(x) = f(a) \int_a^b g(x) dx = h(b) \leq h(x) \leq h(a) = f(a) \int_a^b g(x) dx = \sup_{a\leq x \leq b} h(x).$$
Di lain pihak, $$ f(a) \int_a^b g(x) dx \leq \int_a^b f(x) g(x) dx \leq f(b) \int_a^b g(x) dx. $$Karena $$\inf_{a\leq x \leq b} h(x) \leq \int_a^b f(x) g(x) dx \leq \sup_{a\leq x \leq b} h(x), $$maka berdasarkan teorema nilai antara, terdapat $c \in [a, b]$ sedemikian sehingga $$ h (c) = \int_a^b f(x) g(x) dx.$$
Oleh karena itu, $$\int_a^b f(x) g(x) dx = f(a) \int_a^c g(x) dx + f(b) \int_c^b g(x) dx. $$Jadi, terdapat $c \in [a,b]$ sehingga $$ \int_a^b f(x) g(x) dx = f(a) \int_a^c g(x) dx + f(b) \int_c^b g(x) dx.$$
Demikian postingan kali ini tentang Soal dan Pembahasan ONMIPA 2026 Matematika Analisis Real. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya tentang ONMIPA / KNMIPA, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
