Last Updated on April 23, 2026 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas Soal dan Pembahasan ONMIPA Matematika Aljabar Linear Tingkat Wilayah. Materinya mencakup ruang vektor dan transformasi linear.
**Selamat Menikmati**
Soal 1
Diketahui bahwa $a\neq 0$. Agar himpunan $\{ a+ bx, ax+ bx^2, b+ax^3 \}$ bergantung linear di ruang vektor $P_4,$ $a$ dan $b$ haruslah memenuhi hubungan …
Jawab.
Tinjau persamaan $$k_1 (a + bx) + k_2 (ax + bx^2) + k_3 (b+ax^3) = 0. $$ Dengan mengumpulkan suku-suku sejenis, peroleh $$(k_1 a + k_3 b) + (k_1b + k_2 a)x + (k_2 b) x^2 + k_3 a x^3 = 0. $$
Karena diketahui bahwa himpunan $\{ 1, x, x^2, x^3 \}$ merupakan himpunan yang bebas linear di $P_4$, maka haruslah $$ \begin{aligned} k_1 a + k_3 b & = 0 \\ k_1 b + k_2 a & = 0 \\ k_2 b & = 0 \\ k_3 a & = 0 \end{aligned} $$Karena $a \neq 0,$ maka diperoleh $k_3 = 0$ sehingga dari $k_1 a + k_3 b = 0$ diperoleh bahwa $k_1 = 0$.
Dari $k_1 b + k_2 a = 0$ dan $k_1 = 0$ serta asumsi bahwa $a \neq 0$, diperoleh $k_2 = 0$. Oleh karena itu, diperoleh $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ yang bermakna bahwa $\{ a+ bx, ax+ bx^2, b+ax^3 \}$ senantiasa bebas linear.
Jadi, tidak ada hubungan $a$ dan $b$ agar himpunan tersebut bergantung linear.
Lihat juga:
Pembahasan soal ONMIPA
Pembahasan soal ONMIPA 2025
Soal 2
Di ruang $\mathbb{R}^3$, subruang $K$ di bangun oleh $$\left\{ \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right] \right\} $$dan subruang $L$ dibangun oleh $$\left\{ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right] \right\}. $$Maka, $K \cap L = $…
Jawab. Misalkan $u_1 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right]$, $u_2 = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]$, dan $u_3 = \left[ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right]$. Kemudian, misalkan $v_1 = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right]$ dan $v_2 = \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]$.
Perahatikan bahwa $u_1 = -2 u_2 + u_3$ dan $v_1 = -2 u_2 + u_3$. Akibatnta, $K$ direntang ole $u_2$ dan $u_3$. Selain itu, $L$ direntang oleh $u_1, u_2$, dan $v_2$.
Akan ditentukan $x \in \mathbb{R}^3$ sedemikian sehingga $$x = k_2 u_2 + k_3 u_3 = l_2 u_2 + l_3 u_3 + j_2 v_2 $$untuk suatu kumpulan bilangan real $k_2, k_3, l_2, l_3, j_2$. Akibatnya, diperoleh hubungan $$(k_2 – l_2) u_2 + (k_3 – l_3) u_3 + j_2 v_2 = 0.$$
Dapat dicek bahwa $\{ u_2, u_3, v_2 \}$ adalah bebas linear. Oleh karena itu, $$ \begin{aligned} k_2 – l_2 & = 0 \\ k_3 – l_3 & = 0 \\ l_2 = 0 \end{aligned} $$sehingga $k_2 = l_2,$ $k_3 = l_3$, dan $l_2 = 0$.
Jadi, $$x = k_2 u_2 + k_3 v_3 $$untuk suatu $k_2, k_3$ bilangan real. Dengan kata lain, $K\cap L = span \{ u_2, v_2 \}$.
Soal 3
Misalkan $A = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right]$. Pemetaan linear $T$ memenuhi $T(X) = A X – X A$, untuk setiap $X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$. Maka, dimensi dari $Inti (T)$ adalah …
Jawab. Diberikan $X \in \text{Inti} (T)$. Misalkan $$x = \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{matrix} \right].$$
Maka, $AX – XA = T(X) = 0$ yang berakibat $AX = XA$. Dari sini, $$ \begin{aligned} AX & = XA \\ \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x_3 & x_4 \\ x_1 & x_2 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} x_2 & x_1 \\ x_4 & x_3 \end{matrix} \right]\end{aligned} $$yang berakibat bahwa $x_3 = x_2$ dan $x_1 = x_4$. Dari sini, $$ \begin{aligned} X & = \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} x_1 & 0 \\ 0 & x_1 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 0 & x_2 \\ x_2 & 0 \end{matrix} \right] \\ & = x_1 \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] + x_2 \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \end{aligned}$$
Oleh karena itu, dimensi dari $Inti (T)$ adalah 2.
Demikian postingan kali ini tentang Soal dan Pembahasan ONMIPA Matematika Aljabar Linear. Silahkan ke sini untuk pembahasan soal lainnya tentang soal ONMIPA. Silahkan ke sini jika tertarik dengan topik lainnya. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
