Last Updated on Oktober 7, 2024 by prooffic
Kita akan membahas jawaban dan pembahasan soal analisis real bartle bagian 2.1 yang terkait dengan sifat aljabar bilangan real di artikel ini. Soal-soal yang disajikan diambil dari buku “Introduction to Real Analysis” oleh Robert G.Bartle dan Donald R. Sherbert. Sebelum membaca pembahasan soal analisis real bartle bagian 2.1 berikut, alangkah baiknya Anda terlebih dahulu telah membaca definisi dan teorema-teorema di bagian 2.1, terutama terkait dengan sifat aljabar bilangan real.
**Selamat menikmati**
Berikut ini adalah pembahasan soal analisis real bartle bagian 2.1.
Soal 1
Jika $a,b \in \mathbb{R}$, buktikan pernyataan-pernyataan berikut.
(a) Jika $a+b=0$, maka $b=-a$
(b) $(-1)a=-a$
(c) $-(-a)=a$
(d) $(-1)(-1)=1$
Jawab.
(a) Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a+b&=0 \\ b+a &=0 \quad &&[\text{Sifat komutatif}]\\ (b+a)+(-a)&=0+(-a) \quad &&[\text{Eksistensi invers penjumlahan}] \\ b+(a+(-a))&=-a \quad &&[\text{Sifat asosiatif}]\\b+0 &=-a \quad &&[\text{Invers penjumlahan}]\\b &=-a\quad &&[\text{Sifat Identitas}]\end{aligned}$$
Jadi, jika $a+b=0$, maka $b=-a$ ♦
(b) Karena $(-a)+a=a+(-a)=0$, maka berdasarkan sifat (a), diperoleh bahwa $a=-(-a)$ ♦
(c) Dari teorema 2.1.2c, diperoleh bahwa $0 \cdot a = a\cdot 0 = 0$ untuk setiap $a\in \mathbb{R}$. Dari sini, $$\begin{aligned} 0 \cdot a &= 0 \\ (1+(-1))a &= 0 \quad &&[\text{Sifat Invers Penjumlahan}]\\ a+(-1)a &= 0 \quad &&[\text{Sifat Distributif dan Unsur Satuan}]\\ (-1)a &=-a \quad &&[\text{Sifat (a)}]\end{aligned}$$
Jadi, $(-1)a=-a$ ♦
(d) Perhatikan bahwa $$\begin{aligned}(-1)((-1)+1) &= 0 \quad &&[\text{Sifat Invers Penjumlahan}]\\ (-1)(-1)+(-1) &=0 \quad &&[\text{Distributif dan Perkalian Unsur Satuan}]\\ (-1)(-1) &=-(-1) \quad &&[\text{Sifat (a)}]\\(-1)(-1)&=1 \quad &&[\text{Sifat (b)}]\end{aligned}$$
Jadi, $(-1)(-1)=1$ ♦
Soal 2
Buktikan bahwa jika $a,b\in \mathbb{R}$, maka
(a) $-(a+b)=(-a)+(-b)$
(b) $(-a)\cdot (-b) = a \cdot b$
(c) $1/(-a)=-(1/a)$ jika $a\neq 0$
(d) $-(a/b)=(-a)/b$ jika $b\neq 0$
Jawab.
(a) Perhatikan bahwa $$\begin{aligned}-(a+b) &=(-1)(a+b) \quad &&[\text{Nomor 2 bagian b}]\\ &=(-1)a+(-1)b \quad &&[\text{Sifat distributif}]\\ &=(-a)+(-b) \quad &&[\text{Nomor 2 bagian b}] \end{aligned} $$Jadi, $-(a+b)=(-a)+(-b)$ ♦
(b) Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (-a)(-b) &=\left[(-1)a\right] \left[(-1)b\right] \quad &&[\text{Nomor 2 bagian b}]\\ &=(ab)[(-1)(-1)] \quad &&[\text{SIfat asosiatif dan komutatif perkalian}] \\ &=ab \quad &&[\text{Nomor 1 bagian d dan perkalian unsur satuan}]\end{aligned} $$Jadi, $(-a)\cdot (-b) = a \cdot b$ ♦
(c) Berdasarkan hasil bagian (b), maka untuk $a\neq 0$ diperoleh bahwa $$\left(-\left(\frac{1}{a}\right)\right)(-a)=\left(\frac{1}{a}\right)(a)=1$$ Sehingga, dengan definisi unsur kebalikan operasi perkalian, diperoleh bahwa $$\frac{1}{(-a)}=-\left(\frac{1}{a}\right) $$Jadi, $1/(-a)=-(1/a)$ jika $a\neq 0$ ♦
(d) Perhatikan bahwa $$\begin{aligned}-\left(\frac{a}{b}\right)&=(-1)\left(\frac{a}{b}\right) \quad &&[\text{Hasil bagian 1(a)}] \\&=(-1) \left( a \cdot \frac{1}{b}\right) \quad &&[\text{Definisi pembagian}] \\&=\left( (-1) (a)\right)\frac{1}{b} \quad &&[\text{Sifat Asosiatif perkalian}]\\&=(-a)\left( \frac{1}{b}\right) \quad &&[\text{Hasil 1(c)}] \\&=\frac{(-a)}{b} \quad &&[\text{Definisi pembagian}] \end{aligned} $$Jadi, $-(a/b)=(-a)/b$ jika $b\neq 0$ ♦
Baca Juga:
1. Pembahasan Soal Analisis Real 3.1
2. Pembahasan Soal Analisis Real 5.1
3. Himpunan buka di bilangan real
4. Pembahasan KNMIPA 2020
Soal 3
Selesaikan persamaan berikut, justifikasi setiap langkah dengan merujuk sifat atau teorema yang sesuai.
(a) $2x+5=8$
(b) $x^2=2x$
(c) $x^2-1=3$
(d) $(x-1)(x+2)=0$
Jawab.
(a) Perhatikan bahwa $$\begin{aligned}(2x+5)+(-8) &=8+(-8) \quad &&[\text{Eksistensi unsur invers penjumlahan}]\\(2x)+(5+(-8))&=0 \quad &&[\text{Sifat Asosiatif dan identitas penjumlahan}]\\(2x)+(-3) &=0 \\((2x)+(-3))+3 &=0+3\quad &&[\text{Eksistensi unsur invers penjumlahan}]\\2x &=3 \quad &&[\text{Sifat asosiatif dan identitasi terhadap unsur penjumlahan}]\\ \left(\frac{1}{2}\right)(2x)&=\frac{1}{2}\cdot 3 \quad &&[\text{Eksistensi unsur resiprokal}] \\x&=\frac{3}{2} \quad &&[\text{Sifat asosiatif dan definisi unsur resiprokal dan pembagian pada bilangan real}]\end{aligned}$$
Jadi, $x=\frac{3}{2}$ ♦
(b) Perhatikan bahwa, $$\begin{aligned} x^2+(-2x) &=2x+(-2x) \quad &&[\text{Eksistensi unsur invers penjumlahan}]\\ x^2-2x &=0\quad &&[\text{Definisi pengurangan pada bilangan real dan identitas penjumlahan}]\\ x(x-2) &=0\quad &&[\text{Sifat distributif}] \end{aligned}$$
Berdasarkan teorema 2.1.3 (b), maka $x=0$ atau $x-2=0$. Jika $x-2=0$, maka berdasarkan sifat eksistensi unsur invers penjumlahan dan eksistensi unsur identitas penjumlahan (unsur nol), maka $x=2$.
Jadi, $x=0$ atau $x=2$ ♦
(c) Perhatikan bahwa, $$\begin{aligned} (x^2-1)+(-3)&=3+(-3) \quad &&[\text{Eksistensi unsur penjumlahan}] \\ x^2-4&=0 \quad &&[\text{Sifat asosiati dan identias penjumlahan}]\\(x-2)(x+2)&=0 \quad &&[\text{Sifat distributif dan hasil 1(c)}]\end{aligned}$$
Berdasarkan teorema 2.1.3 (b), maka $x-2=0$ atau $x+2=0$. Jika $x-2=0$, maka berdasarkan sifat eksistensi unsur invers penjumlahan dan eksistensi unsur identitas penjumlahan, maka $x=2$. Dengan argumen yang serupa, jika $x+2=0$, maka $x=-2$.
Jadi, $x=2$ atau $x=-2$ ♦
(d) Perhatikan bahwa jika $(x-1)(x+2)=0$, maka berdasarkan teorema 2.1.3(b), $x-1=0$ atau $x+2=0$. Jika $x-1=0$, maka berdasarkan sifat eksistensi unsur invers penjumlahan dan eksistensi unsur identitas penjumlahan, $x=1$. Sedangkan, dengan argumen yang serupa, jika $x+2=0$, maka $x=-2$.
Jadi, $x=1$ atau $x=-2$ ♦
Soal 4
Jika $a\in \mathbb{R}$ memenuhi $a\cdot a=a$, buktikan bahwa $a=0$ atau $a=1$.
Jawab. Misalkan $a\in \mathbb{R}$ dengan $a\cdot a=a$. Berdasarkan sifat eksistensi unsur invers penjumlahan dan definisi pengurangan pada bilangan real, maka $a\cdot a – a=0$. Sehingga, dengan sifat distributif, diperoleh bahwa $a\cdot (a-1)=0$. Kemudian, dengan teorema 2.1.3(b), maka haruslah $a=0$ atau $a-1=0$. Jika $a-1=0$, maka haruslah $a=1$ berdasarkan sifat eksistensi unsur invers penjumlahan dan eksistensi unsur identitas penjumlahan.
Jadi, $a=0$ atau $a=1$ ♦
Soal 5
Jika $a \neq 0$ dan $b \neq 0$, tunjukkan bahwa $\left(\frac{1}{ab}\right)=\left(\frac{1}{a}\right) \left(\frac{1}{b}\right)$.
Jawab. Perhatikan bahwa untuk $a \neq 0$ dan $b \neq 0$, maka $ab\neq 0$. Dari sini, berlaku bahwa $\left(\frac{1}{a}\right)a=1$ dan $\left(\frac{1}{b}\right)b=1$. Dari sini, $$\left[ \left(\frac{1}{a}\right)a \cdot \left(\frac{1}{b}\right)b\right]=1\cdot 1=1$$Kemudian, dengan sifat asosiatif pada operasi perkalian, maka $$\left(\frac{1}{a}\right) \left(\frac{1}{b}\right) \left( ab\right)=1$$Dengan sifat eksistensi unsur resiprokal, maka $$\left(\frac{1}{a}\right) \left(\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{ab}$$
Jadi, $\frac{1}{ab}=\left(\frac{1}{a}\right) \left(\frac{1}{b}\right)$ ♦
Soal 6
Gunakan argumen di pembuktian Teorema 2.1.4 untuk menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional $s$ sedemikian sehingga $s^2 = 6.$
Jawab. Andaikan terdapat bilangan rasional $s$ sedemikian sehingga $s^2 = 6$ dengan $$s = \frac{m}{n}; FPB(m,n) = 1; m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} $$ Jelas bahwa $m \neq 0.$ Selain itu, dapat diasumsikan bahwa $m > 0$ karena jika $m<0$ akan memberikan hasil yang sama (dengan menggunakan fakta bahwa kuadrat dari sebarang bilangan tak nol adalah positif). Kemudian, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \frac{m^2}{n^2} &= 6 \\ m^2 &= 6 n^2 \end{aligned} $$Dari sini, $m^2$ genap yang berakibat bahwa $m$ juga bilangan genap. Karena $FPB(m,n) = 1$ dan $m$ genap, maka haruslah $n$ ganjil.
Sehingga, terdapat bilangan bulat positif $k$ sedemikian sehingga $m = 2k.$ Dengan menyubtitusikan kembali $m = 2k$ ke $m^2 = 6 n^2,$ diperoleh bahwa $$4 k^2 = 6 n^2 $$dan $$2 k^2 = 3 n^2 $$Karena $3$ tidak habis dibagi oleh $2,$ maka haruslah $n^2$ habis dibagi oleh $2$.
Oleh karena itu, $n$ juga habis dibagi oleh $2.$ Dari sini, $n$ genap. Oleh karena itu, $n$ ganjil sekaligus genap. Ini tidak mungkin terjadi. Sehingga, pengandaian salah dan haruslah tidak ada bilangan rasional $s$ sedemikian sehingga $s^2 = 6$ ♦
Soal 7
Modifikasi bukti dari terorema 2.1.4 untuk menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional $t$ sedemikian sehingga $t^2 = 3.$
Jawab. Andaikan bahwa terdapat bilangan rasional $t$ sedemikian sehingga $t^2 = 3$ dengan $$t = \frac{m}{n}; FPB(m,n) = 1; m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} $$Dengan menyubtitusi $t = m/n$ ke persamaan $t^2 = 3,$ diperoleh bahwa $$\frac{m^2}{n^2} = 3 $$dan $$m^2 = 3 n^2 $$Oleh karena itu, $m^2$ adalah bilangan kelipatan $3.$ Terlebih dahulu kita akan menunjukkan bahwa $m$ juga kelipatan $3$ dengan menggunakan kontraposisi. Untuk itu, asumsikan bahwa $m$ bukan kelipatan $3,$ maka dapat ditulis $$m = 3k + r $$untuk suatu bilangan bulat $k$ dan $r = 1, 2.$
Kemudian, $$m^2 = (3k + r)^2 = 9k^2 + 6 kr + r^2 = 3(3k^2 + 2kr) + r^2 $$Perhatikan bahwa $r^2 =1, 4.$ Sehingga $m^2$ tidak habis dibagi oleh $3.$ Oleh karena itu, pernyataan bahwa jika $m^2$ habis dibagi oleh $3,$ maka $m$ juga habis dibagi $3$ merupakan pernyataan yang benar.
Dari sini, terdapat $l \in \mathbb{Z}$ sedemikian sehingga $m = 3l.$ Akibatnya, $$\begin{aligned}m^2 &= 3 n^2 \\ 9 l^2 &= 3 n^2 \\ n^2 & = 3 l^2\end{aligned} $$Sehingga, $n^2$ adalah bilangan kelipatan 3 yang berakibat bahwa $n$ juga kelipatan $3$ (berdasarkan pembahasan sebelumnya). Maka, $3$ adalah faktor persekutuan bersama dari $m$ dan $n. $Hal tersebut tidak mungkin karena FPB dari kedua bilangan tersebut adalah $1.$ Oleh karena itu, pengandaian salah dan haruslah tidak ada bilangan rasional $t$ sedemikian sehingga $t^2 = 3 $ ♦
Soal 8
(a) Tunjukkan bahwa jika $x, y$ adalah bilangan rasional, maka $x + y$ dan $xy$ adalah bilangan rasional.
(b) Buktikan bahwa jika $x$ adalah bilangan rasional dan $y$ adalah bilangan irasional, maka $x + y$ adalah bilangan rasional. Lebih lanjut, jika $x \neq 0,$ maka $xy$ adalah bilangan rasional.
Jawab.
(a) Diberikan sebarang $x, y$ adalah bilangan rasional. Maka, terdapat bilangan bulat $m,n,s,t$ dengan $n, t \neq 0$ dan memenuhi $$x = \frac{m}{n} $$dan $$y = \frac{s}{t} $$Dari sini, $$\begin{aligned} x + y &= \frac{m}{n} + \frac{s}{t} \\&= \frac{mt + ns}{nt} \end{aligned} $$dan $$\begin{aligned} xy & = \frac{m}{n} \frac{s}{t} \\ &= \frac{ms}{nt} \end{aligned}$$Karena $m,n,s,t$ adalah bilangan-bilangan bulat dengan $n, t \neq 0,$ maka $mt + ns$ dan $ms$ adalah bilangan bulat dengan $nt \neq 0.$ Sehingga, $x + y$ dan $xy$ adalah bilangan-bilangan rasional
(b) Diberikan $x$ adalah bilangan rasional dan $y$ adalah bilangan irasional. Jelas bahwa $-x$ juga merupakan bilangan rasional. Andaikan bahwa $x + y$ adalah bilangan rasional. Perhatikan bahwa $$y = (x+y) + (-x) $$Dari sini, berdasarkan (a), diperoleh bahwa $y$ merupakan bilangan rasional karena $x + y$ dan $-x$ adalah bilangan rasional. Kontradiksi dengan asumsi. Sehingga, pengandaian salah dan haruslah $x + y$ bilangan irasional.
Kemudian, misal $x \neq 0.$ Karena $x$ rasional, maka $1/x$ juga merupakan bilangan rasional (Anda dapat melihatnya dengan menyajikan $x$ sebagai pembagian dari dua bilangan bulat tertentu). Andaikan bahwa $xy$ irasional. Berdasarkan (a), maka $$\frac{y}{x} = y \frac{1}{x} $$ adalah bilangan rasional. Kemudian, perhatikan bahwa $$y = xy \frac{1}{x} $$Dari sini, berdasarkana (a), diperoleh bahwa $y$ juga merupakan bilangan rasional. Kontradiksi dengan asumsi. Sehingga, pengangaian salah dan haruslah $xy$ adalah bilangan irasional ♦
Soal 9
Misalkan $K := \{s + t \sqrt{2} : s,t \in \mathbb{Q}\}.$ Tunjukkan bahwa $K$ memenuhi sifat berikut.
(a) Jika $x_1, x_2 \in K,$ maka $x_1 + x_2 \in K$ dan $x_1 x_2 \in K.$
(b) Jika $x \neq 0$ dan $x \in K,$ maka $1/x \in K$
Jawab.
(a) Diberikan sebarang $x_1, x_2 \in K.$ Akan ditunjukkan bahwa $x_1 + x_2 \in K$ dan juga $x_1 x_2 \in K.$ Karena $x_1, x_2 \in K,$ maka $$x_1 = s_1 + t_1 \sqrt{2} $$dan $$x_2 = s_2 + t_2 \sqrt{2} $$Dari sini, dengan sifat-sifat bilangan real diperoleh bahwa $$\begin{aligned}x_1 + x_2 &= (s_1 + t_1 \sqrt{2} ) + (s_1 + t_1 \sqrt{2})\\ &= (s_1 + s_2) + (t_1 + t_2) \sqrt{2} \end{aligned} $$dan $$\begin{aligned}x_1 x_2 &= (s_1 + t_1 \sqrt{2} ) \cdot (s_2 + t_2 \sqrt{2})\\ &= (s_1 s_2) + s_1 t_2 \sqrt{2} + t_1 s_2 \sqrt{2} + (t_1 t_2) (2) \\ &= (s_1 s_2 + 2 t_1 t_2) + (s_1 t_2 + t_1 s_2) \sqrt{2} \end{aligned} $$Karena $s_1, t_1, s_2$ dan $t_2$ adalah bilangan rasional, maka berdasarkan soal nomor 8 diperoleh $s_1 + s_2, t_1 + t_2, s_1 s_2 + 2 t_1 t_2, s_1 t_2 + t_1 s_2$ adalah bilangan rasional. Dari sini, $x_1 + x_2 \in K$ dan $x_1 x_2 \in K.$
(b) Diberikan $x \neq 0$ dan $x \in K.$ Maka, $$x = s + t \sqrt{2} $$dengan $s,t$ adalah bilangan rasional. Perhatikan bahwa $x \neq 0$, maka haruslah $s,t$ keduanya tidak nol. Selanjutnya, $$\begin{aligned}\frac{1}{x} &= \frac{1}{s + t \sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{s + t \sqrt{2}} \cdot \frac{s – t \sqrt{2}}{s – t \sqrt{2}} \\ &= \frac{s – t \sqrt{2}}{s^2 – 2 t^2} \\ &= \frac{s}{s^2 – 2t^2} + \frac{-t}{s^2 – 2 t^2} \sqrt{2} \end{aligned}$$Karena $s,t$ adalah bilangan rasional, maka berdasarkan nomor 8, diperoleh $\frac{s}{s^2 – 2t^2}$ dan $\frac{-t}{s^2 – 2 t^2}$ adalah bilangan rasional. Oleh karena itu, $1/x \in K $ ♦
Soal 10
(a) Jika $a < b$ dan $c \leq d,$ buktikan bahwa $a+c<b+d$
(b) Jika $0<a<b$ dan $0\leq c \leq d,$ buktikan bahwa $0 \leq ac \leq bd$
Jawab.
(a) Asumsikan bahwa $a < b$ dan $c \leq d.$ Maka, $b-a >0$ dan $d-c \geq 0.$ Asumsikan bahwa $d-c = 0.$ Maka $d = c$ dan berdasarkan teorema 2.1.7 (buku rujuakn) diperoleh $a+c<b+c = b+ d.$ Selain itu, asumsikan bahwa $d-c > 0.$ Maka, $b-a, d-c \in \mathbb{P}.$ Dari sini $(b+d) – (a+c) = (b-a) + (d-c) $ berada di $\mathbb{P}$ dan $a+c < b+d.$ Dari kedua kasus tersebut, dapat disimpulkan bahwa $a+c<b+d$
(b) Asumsikan bahwa $0<a<b$ dan $0\leq c \leq d.$ Jika $c = 0 = d,$ maka $ac = 0 = bd$ dan pertidaksamaan tersebut terpenuhi. Asumsikan bahwa $0<c.$ Karena $c>0$ dan $0<a<b$ maka berdasarkan teorema 2.1.7, diperoleh $0<ac < bc.$ Kemudian, jika $c = d,$ maka diperoleh bahwa $bc = bd$ dan $ac < bc = bd.$ Jika $c < d,$ maka untuk $b>0,$ diperoleh bahwa $bc<bd$ berdasarkan teorema 2.1.7. Dari sini, $0<ac < bc < bd$ dan $0<ac < bd.$ Dari kasus-kasus tersebut, diperoleh bahwa $0 \leq ac \leq bd $ ♦
Soal 11
(a) Tunjukkan bahwa jika $a>0$, maka $1/a>0$ dan $1/(1/a) = a.$
(b) Tunjukkan bahwa jika $a<b$, maka $$a<\frac12(a+b)<b$$.
Jawab.
(a). Asumsikan bahwa $a>0$. Andaikan $1/a \leq 0$. Maka, $$0 \leq – \frac1a.$$ Karena $a>0$, maka berdasarkan nomor 10 bagian (b) diperoleh bahwa $$\begin{aligned}0 & \leq \left(-\frac1a\right) (a) \\ 0 & \leq – \left(\frac1a\right) a \\ 0 & \leq -1 \end{aligned} $$yang bertentangan dengan fakta bahwa $-1<0.$ Oleh karena itu, pengandaian salah dan haruslah $1/a>0$.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa $1/(1/a) = a.$ Sebelumnya perhatikan bahwa $1/(1/a)$ terdefinisi karena $1/a \neq 0$ berdasarkan bagian (a). Kemudian, dengan sifat invers perkalian berlaku $$\begin{aligned} \frac{1/a}{1/a} & = 1 \\ \frac1a \cdot \frac1{(1/a)} & = 1 \\ \left(\frac1a \cdot \frac1{(1/a)}\right) \cdot a & = 1 \cdot a \\ \frac1{(1/a)} \left(\frac1a \cdot a\right) & = a \\ \frac1{1/a} \cdot 1 & = a \\ \frac1{1/a} & = a. \end{aligned} $$Oleh karena itu, $\frac1{1/a}=a$.
(b) Asumsikan bahwa $a<b$. Berdasarkan nomor 10 bagian a dan bagian b diperoleh bahwa $$\begin{aligned} a + a & < b + a \\ 2a & < a+b \\ (2a) \cdot \frac12 & < (a+b) \cdot \frac12 \\ a & < \frac{a+b}2. \end{aligned}$$Di lain pihak, $$\begin{aligned} a + b & < b + b \\ a+b & < 2b \\ (a+b) \frac12 & < \cdot (2b) \frac12 \\ \frac{a+b}2 & < b. \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh bahwa $$a<\frac12(a+b)<b.$$
Demikian pemahasan kita kali ini tentang jawaban dan pembahasan soal analisis real bartle bagian 2.1 yang terkait dengan sifat aljabar bilangan real. Artikel ini terkait dengan topik Analisis Real. Jika anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu, sekian dan terima kasih.
