Last Updated on September 13, 2021 by prooffic
Pada artikel kali ini kita akan membahas mengenai salah satu fungsi yang menarik dalam matematika, yaitu fungsi Thomae. Fungsi ini memiliki sifat kontinu di setiap titik irasional dan tidak kontinu di setiap titik di rasional. Kita akan membahas mengenai fungsi Thomae dan beberapa sifat-sifat yang menarik yang fungsi Thomae miliki.
**Selamat menikmati**
Terlebih dahulu didefinisikan fungsi Thomae di $\mathbb{R}$ sebagai berikut:
$$h(x)= \begin{dcases} 0, & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \\ 1/n, & x=\frac{m}{n} \neq 0, FPB(|m|,n)=1, (m,n)\in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \\ 1, & x=0 \end{dcases}$$
Persyaratan$FPB(|m|,n)=1, (m,n)\in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ bermakna bahwa $x$ tak nol dinyatakan dalam bentuk rasio antara dua bilangan bulat dengan “memaksa” bagian penyebutnya $(n)$ bernilai positif. Jika $x= \frac{m}{n}$ bernilai negatif, maka persyaratan tersebut akan membuat $m<0$ dan $n>0$. Sehingga, dalam kasus ini, jika disebut bahwa $x$ bilangan rasional, maka dianggap bahwa penyebut dari $x$ (dalam bentuk rasio dua bilangan bulat) bernilai positif dan $FPB(m,n)=1$. Persyaratan tersebut dinamakan $x$ dalam bentuk paling sederhana. Adapun representasi dari fungsi Thomae dapat dilihat sebagai berikut.
Dari gambar tersebut, secara intuisi, $h$ tidak kontinu di titik rasional karena terdapat “gap” di grafiknya. Meskipun tidak kontinu di rasional, tetapi limitnya di titik rasional ada. Berikut adalah sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi Thomae.
Teorema 1
Fungsi Thomae memiliki limit di setiap titik di bilangan real
Bukti: Akan ditunjukkan bahwa limit $h$ di setiap titik $c$ adalah $0$, yaitu
$$\lim_{x\to c} f(x) = 0$$
Diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Berdasarkan sifat Archimedes, terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $1/n_0 < \varepsilon$. Kita klaim bahwa terdapat berhingga banyaknya bilangan rasional dengan penyebut kurang dari atau sama dengan $n_0$ di interval $(c-1,c+1)$.
Bukti Klaim: Misal $x=m/n$ adalah bilangan rasional di interval $(c-1,c+1)$. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, maka $x=m/n$ dan $m\in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$. Selain itu, kita peroleh juga bahwa
$$c-1<\frac{m}{n}<c+1$$
Karena $n>0$, maka
$$n(c-1)<m<n(c+1) … (*)$$
Jika dipersyaratkan bahwa penyebut $x$ kurang dari atau sama dengan $n_0$, maka banyaknya $n$ yang mungkin adalah berhingga banyak. Karena $n$ berhingga banyak. maka banyaknya $m$ yang memenuhi $(*)$ juga berhingga. Akibatnya, ada berhingga pasangan $m$ dan $n$ yang memenuhi $(*)$. Jadi, ada berhingga banyaknya bilangan rasional $x$ dengan pembilang kurang dari atau sama dengan $n_0$ di interval $(c-1,c+1)$.
Dari sini, kita telah membuktikan klaim tersebut. Karena terdapat berhingga banyaknya bilangan rasional dengan penyebut kurang dari atau sama dengan $n_0$ di interval $(c-1,c+1)$, maka kita dapat memilih $\delta>0$ sehigga interval $(c-\delta,c+\delta)$ tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut kurang dari atau sama dengan $n_0$. Dengan kata lain, pemilihan $\delta$ tersebut membuat bahwa jika $x=\frac{m}{n}$ adalah bilangan rasional (dalam bentuk paling sederhana), maka $h(x)=\frac{1}{n}<\frac{1}{n_0}$.
Selanjutnya, jika $x$ bilangan real dengan $0<|x-c|<\delta$, maka $h(x)=0$ jika $x$ irasional dan $h(x)<\frac{1}{n_0}$ jika $x$ irasional. Dari sini, secara umum, untuk $x$ dengan $0<|x-c|<\delta$, akan berlaku bahwa $|h(x)-0|=|h(x)|<\frac{1}{n_0}<\varepsilon$. Secara keseluruhan, untuk setiap $\varepsilon>0$, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x \in \mathbb{R}$ dan $0<|x-c|<\delta$, berlaku bahwa $|h(x)-0|<\varepsilon$.
Ini membuktikan bahwa limit $h$ di $c$ adalah $0$. Karena $c$ adalah sebarang titik di $\mathbb{R}$, maka dapat disimpulkan bahwa limit $h$ di setiap titik adalah $0$. $\blacksquare$
Teorema 2
Fungsi Thomae kontinu hanya di titik irasional
Bukti: Misalkan $c$ adalah sebarang bilangan real. Jika $c$ adalah bilangan irasional, maka $h(c)=0$. Berdasarkan teorema 1, maka $\lim_{x \to c} h(x) =0=h(c)$. Sehingga, $h$ kontinu di $c$. Dari sini, $h$ kontinu untuk setiap titik irasional. Jika $c$ adalah bilangan rasional tak nol dalam bentuk paling sederhana $\frac{m}{n}$, maka $h(c)=1/n \neq 0$. Karena $\lim_{x \to c} h(x) =0$ berdasarkan teorema 1, maka $\lim_{x \to c} h(x) =0 \neq h(c)$. Sehingga, $h$ tidak kontinu di $c$ yang berakibat bahwa $h$ tidak kontinu di setiap titik rasional yang tidak nol. Sedangkan, jika $c=0$, maka $h(c)=1$ dan $\lim_{x \to 0} h(x) =0$. Sehingga, $h$ tidak kontinu di $0$ karena $\lim_{x \to 0} h(x) \neq h(0)$. Jadi, fungsi Thomae kontinu hanya di titik irasional. $\blacksquare$
Dari pembahasan tersebut, dapat disimpulkan bahwa fungsi Thomae adalah fungsi yang pada dasarnya memiliki limit di setiap titik bilangan real. Tetapi, fungsi tersebut hanya kontinu di setiap titik irasional.
Artikel ini adalah artikel mengenai Analisis Real Lanjut. Jika Anda tertarik dengan artikel lain mengenai Analisis Real, Anda dapat melihatnya di sini, dan jika Anda ingin melihat topik-topik lainnya, silahkan lihat di sini. Sekian dan terima kasih. Semoga membantu.
