Last Updated on Agustus 19, 2023 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas fungsi yang unik lainnya, yaitu fungsi Dirichlet. Pada postingan sebelumnya, kita telah menguraikan fungsi thomae yang memiliki sifat bahwa fungsi tersebut kontinu di bilangan irasional, tetapi tidak kontinu pada rasional. Berbeda dengan itu, fungsi dirichlet memiliki sifat yang lebih ekstrim, yaitu fungsi yang tidak kontinu di mana-mana.
Selain diskontinu di mana-mana, fungsi tersebut juga tidak terdiferensialkan di mana-mana. Selain itu, fungsi Dirichlet juga tidak terintegral Riemann.
**Selamat menikmati**
Definisi Fungsi Dirichlet
Fungsi dirichlet merupakan fungsi karakteristik dari himpunan bilangan rasional atas bilangan real. Sebagaimana kita ketahui bahwa fungsi karakteristik menyatakan derajat keanggotaan suatu unsur terhadap suatu himpunan. Kaitannya dengan pembahasan kali ini, fungsi tersebut akan bernilai $1$ jika bilangan rasional dan bernilai $0$ jika bilangan irasional. Secara matematis, definisi dari fungsi Dirichlet dapat dituliskan sebagai berikut.
Didefinisikan fungsi $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dengan
$$f(x)= \begin{dcases} 1, & x\in \mathbb{Q}\\ 0, & x\in \mathbb{R} – \mathbb{Q} \end{dcases}$$
Dengan definisi tersebut, grafik dari fungsi Dirichlet dapat diilustrasikan sebagai berikut.
Kekontinuan Fungsi Dirichlet
Kita klaim bahwa fungsi tersebut tidak kontinu pada setiap titik di $\mathbb{R}$ dengan menggunakan teorema konvergensi barisan untuk kontinuitas. berikut ini adalah pernyataan terkait dengan teorema konvergensi barisan untuk kontinuitas.
Diberikan fungsi $f$ di domain $D\subseteq \mathbb{R}$ dan $c \in D$. Maka, pernyataan berikut adalah pernyataan yang ekuivalen:
- $f$ kontinu di $c$
- untuk setiap barisan ${x_n}$ di $D$ yang konvergen ke $c$, berlaku bahwa barisan $(f(x_n))$ konvergen ke $f(c)$
Di sini kita tidak akan membuktikannya, tetapi jika ingin mencoba, anda dapat langsung membuktikannya berdasarkan definisi dari kontinuitas. Kita akan menggunakan teorema tersebut untuk menunjukkan bahwa fungsi dirichlet tidak kontinu di mana-mana. Untuk itu, misalkan $c$ adalah sebarang bilangan real. Selanjutnya dibagi dalam dua kasus berikut.
Kasus 1: $c$ adalah bilangan rasional
Berdasarkan sifat kepadatan bilangan irasional di bilangan real, maka untuk setiap bilangan asil $n$, kita akan senantiasa memperoleh bilangan irasional $x_n$ sedemikian sehingga
$$|x_n-x|<\frac{1}{n}$$
Dari kontruksinya, diperoleh barisan bilangan irasional $(x_n)$ yang konvergen ke $c$. Sehingga, $f(x_n)=0$ yang berakibat bahwa barisan $(f(x_n))$ konvergen ke $0$, tetapi kita juga ketahui bahwa $f(c)=1$ karena $c$ rasional. Akibatnya, ada barisan $(x_n)$ yang konvergen ke $c$, tetapi $(f(x_n))$ tidak konvergen ke $f(c)$. Dengan teorema konvergensi barisan, maka dapat disimpulkan bahwa $f$ tidak kontinu di setiap $c$ rasional.
Kasus 2: $c$ adalah bilangan irasional
Sama seperti kasus sebelumya, kita akan mengkonstruk barisan bilangan irasional yang konvergen ke $c$, tetapi $(f(r_n))$ tidak konvergen ke $f(c)$. Dengan sifat kepadatan bilangan irasional di bilangan real, maka untuk setiap bilangan asil $n$, terdapat bilangan rasional $r_n$ sedemikian sehingga
$$|r_n-c|<\frac{1}{n}$$
Dari kontruksinya, diperoleh barisan bilangan rasional $(r_n)$ yang konvergen ke $c$. Sehingga, $$f(r_n)=1$$ yang berakibat bahwa barisan $(f(r_n))$ konvergen ke $1$, tetapi kita juga ketahui bahwa $f(c)=0$ karena $c$ irasional. Akibatnya, ada barisan $(r_n)$ yang konvergen ke $c$, tetapi $(f(r_n))$ tidak konvergen ke $f(c)$. Dengan teorema konvergensi barisan, maka dapat disimpulkan bahwa $f$ tidak kontinu di setiap $c$ irasional.
Dari kedua kasus tersebut, dapat disimpulkan $f$ tidak kontinu di setiap titik di bilangan real. Dari sifat ini, dapat pula diturunkan sifat bahwa fungsi dirichlet tidak terdiferensialkan di mana-mana. Lebih lanjut, fungsi tersebut tidak terintegralkan secara Riemann di sebarang interval tutup terbatas.
Sebagai kesimpulan, fungsi Dirichlet adalah fungsi yang karakteristik/keanggotaan dari $\mathbb{Q}$ pada $\mathbb{R}$ yang tidak kontinu di setiap titik.
Sekian pembahasan kali ini mengenai Fungsi Dirichlet. Artikel ini terkait dengan topik Analisis Real Lanjut, jika Anda tertarik dengan topik ini, simak pembahasan lainnya di sini serta simak pula pembahasan untuk topik matematika lainnya di sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
