Last Updated on Juli 14, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas mengenai soal dan pembahasan knmipa 2020 matematika, terutama terkait dengan materi analisis real. Kita akan membahas mengenai soal di hari pertama isian dan hari kedua uraian.
**Selamat Menikmati**
Soal 1
jika himpunan $B \subseteq \mathbb{R}$ tidak kosong dan terbatas di bawah, serta himpunan
$$A= \{ x | x \text{ adalah batas bawah dari } B\}$$ maka $\sup A$ sama dengan …
Jawab: Karena himpunan $B$ terbatas, maka ada bilangan real $x$ sedemikian sehingga untuk setiap $b \in B$, berlaku bahwa $x \leq b$ berdasarkan definisi “himpunan terbatas di bawah”. Akibatnya, himpunan $A$ tidak kosong (karena $x \in A$). Selanjutnya, karena $B \subseteq \mathbb{R}$ tidak kosong dan terbatas di bawah, maka berdasarkan Aksioma Kelengkapan, himpunan $B$ memiliki infimum dan misalkan $b’= \inf B$.
Misalkan $a \in A$, maka $a$ adalah batas bawah dari $B$, sehingga $b \leq b’$. Dengan kata lain, $A$ terbatas di atas oleh $b’$. Karena $A$ tidak kosong dan terbatas di atas, maka dengan aksioman kelengkapan, himpunan tersebut memilki supremum. Misalkan supremumnya adalah $a’$. Akan ditunjukkan bahwa $a’=b’$. Sebelumnya tinjau lemma berikut.
Jika $a,b \in \mathbb{R}$ dengan $a<b+\varepsilon$, maka $a \leq b$.
Anda dapat membuktikan sendiri lema tersebut dengan menggunakan kontradiksi. Diberikan sebarang $\varepsilon>0$, karena $a’=\sup A$, maka terdapat $a \in A$ sedemikian sehingga $a’-\varepsilon<a$ . Dari sini, $a’-\varepsilon<a \leq b’$, atau $a'<b’+\varepsilon$. Sehingga dengan lema tersebut, diperoleh bahwa $a’ \leq b’$.
selain itu, perhatikan bahwa karena $b’$ adalah batas bawah dari $B$, maka $b’ \in A$ yang berakibat bahwa $b’ \leq a’$. Karena $a’ \leq b’$ dan $b’ \leq a’$, maka $a’=b’$. Jadi, $\sup A = a’ = b’ = \inf B$. $\blacksquare$
Soal 2
Diketahui fungsi $f$ terintegral pada $[a,b],$ dengan fungsi Primitif $F:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ yang didefinisikan dengan $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ untuk setiap $x \in [a,b].$ Jika $E = \{ x\in [a,b] : F'(x) \neq f(x)\},$ maka closure dari $[a,b]~E$ sama dengan …
Jawab: Karena $f$ terintegral pada $[a,b],$ maka berdasarkan kriteria Lebesgue, $f$ kontinu pada hampir semua pada $[a,b].$ Dengan kata lain, $\{x\in [a,b]: f \text{ tidak kontinu di } x\} $ adalah himpunan Null. Selain itu, berdasarkan teorema Dasar Kalkulus, yaitu jika $f$ kontinu di $x,$ maka $F'(x) = f(x).$ Dari sini,
$$\{x\in [a,b]: f \text{ kontinu di } x\} \subseteq \{ x\in [a,b] : F'(x) = f(x) \} = [a,b]-E$$
Oleh karena itu,
$$E = \{ x \in [a,b]:F'(x) \neq f(x)\}\subseteq \{x\in [a,b]: f \text{ tidak kontinu di } x\}$$
Karena $\{x\in [a,b]: f \text{ tidak kontinu di } x\}$ adalah himpunan Null, maka $E$ juga merupakan himpunan Null. Sehingga, $[a,b]-E$ padat di $[a,b]$ yang berakibat bahwa closure dari $[a,b]-E$ adalah $[a,b].$ Jadi, closure dari $[a,b]-E$ adalah $[a,b]. \blacksquare$
Soal 3
Diberikan fungsi $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$, dengan
$$f(x)= \begin{dcases} 0, & 0 \leq x \leq 0\\ 1, & 0 < x \leq 1 \end{dcases}$$
selanjutnya, diberikan fungsi $g:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ yang memenuhi $g'(x)=f(x)$, untuk setiap $x \in [-1,1]-\{0\}$. Apakah ada fungsi kontinu $\phi : [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ sehingga $$g(x)=\phi (x) (x+1)$$ untuk setiap $x \in [-1,1]$? Jika ada, tentukan fungsi $\phi$ tersebut. Berikan penjelasan jawaban Saudara!
Jawab: Dapat dicek bahwa fungsi $g$ yang memenuhi adalah
$$g(x)= \begin{dcases} c_g, & 0 \leq x <0\\ g(0), & x=0 \\ x, & 0 < x \leq 1 \end{dcases}$$ untuk suatu konstanta $c_g$. Kita akan akan mementukan fungsi kontinu $\phi$. Karena $c_g = g(-1)=\phi (-1) (-1+1)=0$, maka $c_g=0$. Misal $-1 < x <0$, maka $$0 = c_g = \phi(x) (x+1)$$ Karena $x+1 \neq 0$, maka $\phi (x) =0$. Selain itu, $$g(0) = \phi (0) (0+1)= \phi(0)$$ Misal $0 < x \leq 1$ berlaku $$ x=g(x)=\phi (x) (x+1)$$ sehingga $$\phi (x) = \frac{x}{x+1}$$ Dari sini, $$\phi(x)= \begin{dcases} 0, & -1 < x <0\\ g(0), & x=0 \\ \frac{x}{x+1}, & 0 < x \leq 1 \end{dcases}$$
Titik yang belum didefinisikan adalah $x=-1$. Karena $\phi$ harus kontinu di titik tersebut, maka haruslah $\phi(-1)=0$. Perhatikan juga bahwa pendefinisian tersebut memenuhi syarat $g(-1)=0=\phi(0)(-1+1)$. Sehigga, $$\phi(x)= \begin{dcases} 0, & -1 \leq x <0\\ g(0), & x=0 \\ \frac{x}{x+1}, & 0 < x \leq 1 \end{dcases}$$
Masalah yang tersisa adalah di titik $0$. Fungsi $\phi$ adalah fungsi yang diinginkan jika $g(0)=0$. Jadi, fungsi $\phi$ yang memenuhi syarat yang diminta ada jika dan hanya jika $g(0)=0$. $\blacksquare$
Soal 4
Diketahui $x_1=\frac{1}{2}$ dan $$x_{n+1}-x_{n}=\frac{n+1}{n+2}$$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Selidiki apakah barisan $(x_n)$ konvergen! Jika konvergen, tentukan limit dari barisan tersebut. Berikan penjelasan pada jawaban Saudara!
Jawab: Akan ditunjukkan bahwa barisan tersebut konvergen dengan mengunakan kontradiksi. Andaikan bahwa barisan $(x_n)$ konvergen. Misal $$x=\lim_{n \to \infty} (x_n)$$ Berdasarkan sifat konvergensi barisan, maka $$x=\lim_{n \to \infty} x_{n+1}$$ dan $$\lim_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_{n})=x-x=0$$ Dari kesamaan $$x_{n+1}-x_{n}=\frac{n+1}{n+2}$$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$ diperoleh bahwa
$$0= \lim_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_{n}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n+2})=1$$
yang berakibat $0=1$. Ini tidak mungkin terjadi. Sehingga, pengandaian salah. Jadi, barisan tersebut tidak konvergen. $\blacksquare$
Demikian postingan kali ini tentang soal dan pembahasan KNMIPA 2020 Matematika Analisis Real hari pertama isian dan hari kedua uraian. Simak postingan lainnya tentang soal dan pembahasan Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (ON MIPA) / Kompetisi Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (KN MIPA) dan topik-topik lainnya. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
