Last Updated on Juni 23, 2021 by prooffic
Pada postingan kali ini, kita akan membahas mengenai salah satu topik dalam analisis real dan juga dalam topologi, yaitu himpunan buka di bilangan real $\mathbb{R}$. Konsep ini merupakan konsep dasar terutama dalam membahas kekontinuan suatu fungsi, meskipun begitu fungsi kontinu juga pada dasarnya dapat dijelaskan menggunakan konsep lain seperti barisan maupun limit fungsi. Di postingan ini akan dijelaskan mengenai definisi himpunan buka dan beberapa lemma maupun teorema terkait dengan himpunan bukan.
Adapun konsep dasar yang digunakan pada pembahasan kali ini adalah konsep nilai mutlak dan juga operasi pada himpunan. Selain itu, juga akan digunakan konsep seperti Supremum dan Infimum suatu himpunan yang terdiri dari bilangan real.
**Selamat menikmati**
Definisi Himpunan Buka
Sebelum mendefinisikan himpunan buka terlebih dahulu kita mendefinisikan istilah selang buka dan persekitaran di suatu titik sejauh jarak tertentu. Kedua istilah ini akan sering kita pakai.
Selang buka
Misal $a,b$ bilangan real dengan $a<b$. Selang buka dengan ujung-ujung $a$ dan $b$, dinotasikan dengan $(a,b)$ adalah himpunan bilangan real dengan anggota $x$ yang memenuhi
$$a<x<b$$
Secara simbolis, kita menyatakan $(a,b)$ dengan
$$(a,b)=\left\{x\in \mathbb{R} : a<x<b \right\}$$
Perhatikan bahwa untuk $a<b$, maka selang buka $(a,b)$ tidak kosong karena $\frac{a+b}{2}$ adalah anggota $(a,b)$. Selang yang didefinisikan tersebut adalah selang buka terbatas. Kenapa kita katakan terbatas? Ini dikarenakan $(a,b)$ memiliki batas atas dan batas bawah, yaitu masing-masing $b$ dan $a$. Selang buka yang tidak terbatas adalah dinyatakan $(a,+\infty)$, $(-\infty, b)$ serta $(-\infty, +\infty)$ dan didefinisikan sebagai
$$\begin{aligned}(b,+\infty)&=\left\{x\in \mathbb{R} : b<x \right\}\\ (-\infty, a)&=\left\{x\in \mathbb{R} : x<a \right\}\\(-\infty, +\infty)&=\left\{x: x\in \mathbb{R} \right\} \end{aligned}$$
Pada dasarnya $(-\infty, +\infty)$ adalah himpunan seluruh bilangan real.
Persekitaran (neighborhood)
Misal $x\in \mathbb{R}$ dan $\epsilon>0$, maka persekitaran $x$ sejauh $\epsilon$, dinotasikan $V_{\epsilon}(x)$ adalah selang buka terbatas $(x-\epsilon,x+\epsilon)$, yaitu
$$V_{\epsilon}(x)=(x-\epsilon,x+\epsilon)$$
Berdasarkan definisi selang buka, maka dapat juga ditulis bahwa
$$V_{\epsilon}(x)=\left\{y\in \mathbb{R} : x-\epsilon<y<x+\epsilon \right\}$$
Dengan kedua istilah tersebut, kita siap untuk mendefinisikan himpunan buka di $\mathbb{R}$.
Himpunan bilangan real $\mathcal{O}$ adalah himpunan buka di $\mathbb{R}$ jika untuk tiap $x\in\mathcal{O}$, terdapat persekitaran $V_{\epsilon}(x)$ sedemikian sehingga $V_{\epsilon}(x) \subseteq \mathcal{O}$. Dengan kata lain, $\mathcal{O}$ adalah himpunan buka di $\mathbb{R}$ jika tiap anggota dari $\mathcal{O}$ memiliki persekitaran yang termuat dalam $\mathcal{O}$. Sehingga, semua selang buka, baik terbatas maupun tidak terbatas adalah himpunan buka di $\mathbb{R}$. Selain itu, juga jelas bahwa $\emptyset$ juga merupakan himpunan buka.
Sifat-sifat himpunan buka
Selanjutnya akan dibahas mengenai beberapa sifat-sifat yang dimiliki oleh himpunan buka.
Teorema 1: Gabungan dari sebarang koleksi himpunan buka adalah himpunan buka
Bukti: Misalkan $\mathcal{C}$ adalah sebarang koleksi yang terdiri dari himpunan-himpunan buka, yaitu
$$\mathcal{C}=\left\{G_{\alpha}:\alpha \in \Lambda \right\}$$
dengan $G_{\alpha}$ buka. Akan ditunjukkan bahwa $\bigcup \mathcal{C}=\bigcup_{\alpha \in \Lambda} G_{\alpha}$ adalah himpunan buka dengan menggunakan definisi dari himpunan buka. Untuk itu, misalkan $x\in \bigcup \mathcal{C}$ sebarang. Maka ada $x \in G_{\alpha}$ suatu $\alpha \in \Lambda$. Karena $G_{\alpha}$ buka, maka ada $\epsilon>0$ sedemikian sehingga $V_{\epsilon}(x) \subseteq G_{\alpha}$. Dari sini,
$$V_{\epsilon}(x) \subseteq G_{\alpha} \subseteq \bigcup_{\alpha \in \Lambda} G_{\alpha}=\bigcup \mathcal{C}.$$
Karena $x \in \bigcup \mathcal{C}$ sebarang, maka berdasarkan definisi himpunan buka, dapat disimpulkan bahwa $\bigcup \mathcal{C}$ adalah himpunan buka di $\mathbb{R}$ $\blacksquare$
Teorema 2 : Irisan dari berhingga banyaknya himpunan buka adalah juga merupakan himpunan buka
Bukti: Misalkan $\left\{\mathcal{O}_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ adalah koleksi berhingga banyaknya himpunan buka. Akan ditunjukkan bahwa irisan dari koleksi tersebut, $C = \bigcap_{i=1}^{n} \mathcal{O}_{i}$, adalah juga merupakan himpunan buka.
Jika $C$ merupakan himpunan kosong, maka $C$ merupakan himpunan buka. Sekarang, asumsikan bahwa $C$ bukan merupakan himpunan kosong, Misalkan $x\in C$ sebarang, maka $x\in \mathcal{O}_{i}$ untuk setiap $i=1, …, n$. Karena $\mathcal{O}_{i}$ untuk setiap $i=1, …, n$, maka untuk tiap $i=1, …, n$, ada $\epsilon_{i}>0$ sedemikian sehingga
$$V_{\epsilon_{i}}(x) \subseteq \mathcal{O}_{i}$$
untuk setiap $i=1, …, n$.
Pilih $\epsilon=\min_{i=1,…,n} \epsilon_{i}$. Maka $\epsilon>0$ dan $V_{\epsilon} (x)\subseteq \mathcal{O}_{i}$ untuk setiap $i=1, …, n$. Sehingga $V_{\epsilon} (x)\subseteq \bigcap_{i=1}^{n} \mathcal{O}_{i} = C$. Karena $x$ sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa $C$ adalah himpunan buka.
Jadi, irisan dari sebarang koleksi berhingga banyaknya himpunan buka adalah juga merupakan himpunan buka $\blacksquare$
Teorema 3: Sebuah himpunan $G$ buka jika dan hanya jika $G$ merupakan gabungan dari koleksi terbilang himpunan-himpunan buka yang saling lepas
Bukti: Misal $G$ adalah subset bilangan real. Jika $G$ merupakan gabungan dari koleksi terbilang himpunan-himpunan buka yang saling lepas, maka berdasarkan teorema 1, $G$ merupakan himpunan buka. Sehingga, cukup menunjukkan arah sebaliknya, yaitu jika $G$ buka, maka $G$ merupakan gabungan dari koleksi terbilang himpunan-himpunan buka yang saling lepas.
Misal $x \in G$. Karena $G$ buka, maka $\epsilon>0$ sedemikian sehingga $(x-\epsilon ,x+\epsilon) \subseteq G$. Maka himpunan
$$A_{x}=\left\{z : (z, x)\subseteq G\right\} \text{ dan } B_{x}=\left\{z : (x, z)\subseteq G\right\}$$
adalah himpunan tak kosong sehingga dapat didefinisikan $a_{x}$ dan $b_{x}$ di sistem bilangan real yang diperluas dengan $a_{x}= \inf A_{x}$ dan $b_{x}=\sup B_{x}$.
Maka, $I_{x}=(a_x, b_x)$ adalah interval buka yang memuat $x$. Akan ditunjukkan beberapa klaim berikut:
- $I_{x}=(a_x, b_x) \subseteq G$
- $a_x, b_x \notin G$
- $G=\bigcup_{x \in G} I_x$
- $\left\{I_{x}\right\}_{x \in G}$ adalah koleksi yang saling bebas
Terlebih dahulu akan ditunjukkan (1) berlaku. Misal $w \in I_{x}$, maka $a_x<w<b_x$. Jika $w=x$, maka $w\in G$. Asumsikan bahwa $w \neq x$. Karena $a_x<w$, maka ada $z \in A_{x}$ sedemikian sehingga $z<w$. Selain itu, karena $w<b_x$, maka ada $y \in B_{x}$ sedemikian sehingga $w<y$. Dari sini, $(z, x)\subseteq G$ dan $(x, y)\subseteq G$. Karena $z<w<y$, $(z, x)\subseteq G$ dan $(x, y)\subseteq G$, serta $w \neq x$, maka $w \in G$. Dari kedua kasus tersebut, dapat disimpulkan bahwa $w \in G$.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (2) berlaku dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan bahwa $a_x \in G$. Karena $G$ adalah himpunan buka, maka terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga
$$(a_x-\delta,a_x+\delta)\subseteq G$$
Karena $a_x=\inf A_{x}$, maka terdapat $z\in A_{x}$ sedemikian sehingga $a_x+\delta>z$ dan $(z,x)\subseteq G$. Dari sini,
$$(a_x-\delta,x)=(a_x-\delta, a_x+\delta)\cup (z,x)\subseteq G\cup G=G$$
Akibatnya, $a_x-\delta \in A_x$, kontradiksi dengan asumsi bahwa $a_x$ infimum dari $A_x$. Sehingga, haruslah $a_x \notin G$. Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan bahwa $b_x \notin G$.
kemudian akan ditunjukkan bahwa (3) berlaku. Dari bagian (1), diperoleh bahwa
$$\bigcup_{x \in G} I_x \subseteq G$$
Perhatikan bahwa untuk setiap $x\in G$, berlaku bahwa $x\in I_x$, maka $$ G \subseteq \bigcup_{x \in G} I_x $$. Akibatnya,
$$G=\bigcup_{x \in G} I_x$$
Misalkan $I_x, I_y \in \left\{I_{x}\right\}_{x \in G}$, akan ditunjukkan bahwa $I_x=I_y$ atau $I_x \cap I_y = \emptyset$. Jika $I_x \cap I_y = \emptyset$, maka bukti selesai. Selanjutnya, asumsikan bahwa $I_x \cap I_y \neq \emptyset$, maka ada $z \in I_x$ dan $z\in I_y$. Dari sini, $a_x<z<b_x$ dan $a_y<z<b_y$, sehingga diperoleh bahwa $a_y<z<b_x$ dan $a_y<b_x$. Selain itu, $a_x<z<b_y$ dan $a_x<b_y$.
Selanjutnya, berdasarkan sifat trikotomi $\mathbb{R}$, maka tepat satu di antara kondisi berikut akan terpenuhi.
- $b_x<b_y$
- $b_y<b_x$
- $b_x=b_y$
Jika $b_x<b_y$, maka $a_y<b_x<b_y$, sehingga $b_x \in (a_y, b_y)$ dan berakibat $b_x \in G$. Kontradiksi dengan (2). Jika $b_y<b_x$, maka $a_x<b_y<b_x$, sehingga $b_y \in (a_x,b_x)$ dan berakibat $b_y \in G$. Kontradiksi dengan (2). Jadi, haruslah $b_x=b_y$.
Sama seperti sebelumnya, maka tepat satu di antara kondisi berikut akan terpenuhi.
- $a_x<a_y$
- $a_y<a_x$
- $a_x=a_y$
Jika $a_x<a_y$, maka $a_x<a_y<b_x$, sehingga $a_y \in (a_x, b_x)$ dan berakibat $a_y \in G$. Kontradiksi dengan (2). Jika $a_y<a_x$, maka $a_y<a_x<b_y$, sehingga $a_x \in (a_y,b_y$ dan berakibat bahwa $a_x \in G$. Kontradiksi dengan (2). Jadi, haruslah $a_x=a_y$.
Karena $a_x=a_y$ dan $b_x=b_y$, maka $I_x=(a_x,b_x)=(a_y,b_y)=I_y$. Jadi, $I_x=I_y$. Oleh karena itu, diperoleh bahwa $I_x=I_y$ atau $I_x \cap I_y = \emptyset$. Dengan kata lain, koleksi tersebut adalah saling lepas/bebas.
Karena $I_{x}=(a_x, b_x) \subseteq G$ dan $a_x, b_x \notin G$, maka $\left\{I_{x}\right\}_{x \in G}$ adalah koleksi yang saling bebas. Jadi, (4) telah terbukti.
Langkah terakhir adalah menunjukkan bahwa koleksi tersebut adalah koleksi terbilang. Perhatikan bahwa koleksi tersebut adalah koleksi yang terdiri dari interval buka yang saling lepas. Berdasarkan sifat kepadatan bilangan rasional, maka tiap interval buka tersebut memuat paling sedikit satu bilangan rasional. Karena intervalnya saling lepas, maka kita dapat memilih bilangan rasional yang berbeda dari masing-masing interval dan kita akan memperoleh pemetaan bijektif dari koleksi tersebut ke suatu subset dari bilangan rasional. Karena setiap subset $\mathbb{Q}$ adalah terbilang dan pemetaan tersebut adalah bijektif, maka koleksi tersebut adalah terbilang.
Jadi, himpunan buka $G$ merupakan gabungan dari koleksi terbilang dari interval buka yang saling bebas. $\blacksquare$
Sekian pembahasan kali ini tentang Himpunan buka di bilangan real. Artikel ini terkait dengan Analisis Real Lanjut dan Topologi. Jika Anda tertarik dengan artikel lain tentang Analisis Real Lanjut, silahkan lihat di sini, dan untuk topologi di sini, serta untuk kategori lainnya, silahkan lihat di sini. Terima kasih dan semoga membantu.
