Last Updated on Juli 8, 2022 by prooffic
Pada postingan kali ini, kita akan membahas topik Analisis Real, yaitu Barisan Cauchy. Topik ini mengenai salah satu kriteria yang sangat kuat dan penting dalam menentukan apakah suatu barisan adalah konvergen atau tidak. Dalam definisi konvergensi barisan, kita dituntut untuk menemukan/menentukan bilangan real yang menjadi calon dari limit barisan tersebut. Barisan seperti
$$\left(\frac{1}{n}\right), \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)$$
dapat dengan mudah diklaim bahwa masing-masing limit dari barisan tersebut adalah $0$ dan $1$. Dalam berbagai kasus tertentu, terdapat banyak sekali barisan yang sulit untuk ditentukan/diklaim nilai limitnya. Contoh barisan tersebut adalah barisan $(x_{n})$ yang didefinisikan secara induksi sebagai berikut:
$$x_{1}=1, x_{2}=2$$ dan
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}+x_{n-1})$$
untuk $n>2$. Barisan tersebut cenderung lebih sulit untuk ditebak/diklaim nilai limitnya. Akan tetapi, untuk membuktikan kekonvergenannya, dapat dengan mudah dilakukan menggunakan kriteria Cauchy yang akan dibahas pada postingan kali ini.
Di sini kita akan membahas mulai dari definisi barisan Cauchy, beberapa teorema dan kriteria cauchy yang dapat digunakan untuk mengecek apakah suatu barisan konvergen atau tidak.
**Selamat Menikmati**
Terlebih dahulu kita mulai dengan definisi barisan Cauchy.
Definisi Barisan Cauchy
Misal $(x_{n})$ adalah barisan bilangan real. Barisan $(x_{n})$ dikatakan barisan Cauchy jika dan hanya jika $(x_{n})$ memenuhi: untuk $\epsilon>0$, terdapat bilangan asli $N$ sedemikian sehingga untuk tiap bilangan asli $n,m$ dengan $n,m \geq N$, berlaku bahwa
$$|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$$
Perhatikan bahwa notasi $|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$ menyatakan selisih dari suku-suku yang lebih dari $N$. Sehingga pada dasarnya, jika kita berbicara mengenai barisan Cauchy, maka kita berbicara mengenai selisih dari suku-suku di ekor barisannya. Berbeda dengan definisi konvergensi barisan yang berbicara tentang selisih dari suku-sukunya dengan nilai limitnya. Oleh karena itu, secara intuitif, barisan cauchy adalah barisan yang memiliki ekor barisan yang semakin mengecil (selisihnya semakin kecil, yaitu menuju nol ataupun bahkan sama dengan nol).
Teorema terkait dengan barisan Cauchy
Selanjutnya kita akan membahas tentang beberapa teorema terkait dengan barisan Cauchy
Teorema 1: Jika $(x_{n})$ adalah barisan yang konvergen ke suatu bilangan real $\alpha$, maka barisan tersebut adalah barisan Cauchy.
Bukti: Diberikan $(x_{n})$ adalah barisan yang konvergen ke suatu bilangan real $\alpha$. Akan ditunjukkan bahwa barisan tersebut adalah barisan Cauchy dengan menggunakan definisi dari barisan Cauchy. Untuk itu, misalkan $\epsilon>0$ sebarang. Karena $(x_{n})$ konvergen ke $\alpha$, maka terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga
$$|x_{n}-\alpha|<\epsilon/2$$
untuk tiap $n \in \mathbb{N}$ dengan $n \geq N$. Maka, untuk $n, m \in \mathbb{N}$ dengan $n, m \geq N$, berlaku bahwa
$$|x_{n}-\alpha|<\epsilon/2$$
dan
$$|x_{m}-\alpha|<\epsilon/2$$
Sehingga dengan ketaksamaan segitiga, diperoleh bahwa
$$\begin{aligned} |x_{n}-x_{m}| &=|x_{n}-\alpha+\alpha-x_{m}|\\& \leq |x_{n}-\alpha|+|x_{m}-\alpha|\\ &<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon \end{aligned}$$
untuk tiap bilangan asli $n,m$ dengan $n,m \geq N$. Oleh karena itu,
terdapat bilangan asli $N$ sedemikian sehingga untuk tiap bilangan asli $n,m$ dengan $n,m \geq N$, berlaku bahwa
$$|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$$
Jadi, dengan definisi barisan Cauchy, $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy ♦
Lemma 2: Setiap barisan Cauchy adalah barisan yang terbatas. (Catatan: Suatu barisan $(x_{n})$ terbatas jika terdapat $M$ positif sedemikian sehingga $|x_{n}|\leq M$ untuk tiap $n\in \mathbb{N}$)
Bukti: Diberikan $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy. Akan ditunjukkan bahwa barisan tersebut adalah barisan yang terbatas. Misal $\epsilon=1$, karena $(x_{n})$ adalah barisan cauchy, maka terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga
untuk tiap bilangan asli $n,m$ dengan $n,m \geq N$, berlaku bahwa
$$|x_{n}-x_{m}|<\epsilon=1$$
Sehingga, dengan ketaksamaan segitiga, maka untuk tiap bilangan asli $n$ dengan $n\geq N$, berlaku bahwa
$$|x_{n}|=|x_{n}-x_{N}+x_{N}|<|x_{n}-x_{N}|+|x_{N}|<1+|x_{N}|$$
Tulis
$$M=\max \left\{|x_{1}|, |x_{2}|, …, |x_{n-1}|, 1+|x_{N}| \right\}$$
Maka, untuk tiap $n$ dengan $n\geq N$, berlaku
$$|x_{n}|<1+|x_{N}|\leq M$$
dan untuk $n=1, …, N-1$, berlaku
$$|x_{n}| \leq M$$
Jadi,
$$|x_{n}| \leq M$$
untuk tiap $n \in \mathbb{N}$ dan $(x_{n})$ merupakan barisan yang terbatas ♦
Teorema 3: Jika sebuah barisan Cauchy memiliki subbarisan yang konvergen ke $\alpha \in \mathbb{R}$, maka barisan tersebut merupakan barisan yang konvergen ke $\alpha$.
Bukti: Misalkan $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy dan asumsikan bahwa barisan tersebut mempunyai subbarisan $(x_{k_{n}})$ yang konvergen ke $\alpha \in \mathbb{R}$. Akan ditunjukkan bahwa barisan $(x_{n})$ adalah barisan konvergen dengan menggunakan definisi barisan konvergen.
Diberikan $\epsilon>0$, karena $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy, maka terdapat bilangan asli $N$ sedemikian sehingga untuk tiap bilangan asli $n,m$ dengan $n,m \geq N$, berlaku bahwa
$$|x_{n}-x_{m}|<\epsilon/2$$
Selain itu, karena subbarisan $(x_{k_{n}})$ konvergen ke $\alpha \in \mathbb{R}$, maka terdapat bilangan asli $K$ sedemikian sehingga untuk tiap bilangan asli $n$ dengan $n \geq K$, berlaku bahwa
$$|x_{k_{n}}-\alpha|<\epsilon/2$$
Pilih $M=\max \left\{K,N \right\}$. Maka, untuk $n\geq M$, berlaku bahwa $n\geq M \geq N$ dan $k_{n} \geq n \geq K$, sehingga dengan ketaksamaan segitiga:
$$\begin{aligned} |x_{n}-\alpha| &=|x_{n}-x_{k_{n}}+x_{k_{n}}-x_{n}|\\& \leq |x_{n}-x_{k_{n}}|+|x_{n}-x_{k_{n}}|\\ &<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon \end{aligned}$$
Oleh karena itu, terdapat $M \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga untuk $n\in \mathbb{N}$ dengan $n \geq N$, berlaku bahwa
$$|x_{n}-\alpha|<\epsilon$$
Karena $\epsilon>0$ sebarang, maka kita dapat menyimpulkan bahwa $(x_{n})$ adalah barisan yang konvergen ke $\alpha$ ♦
Teorema 4: Setiap barisan Cauchy adalah barisan yang konvergen.
Bukti: Diberikan $(x_{n})$ barisan Cauchy. Didefinisikan barisan $E$ dengan
$$E=\left\{x\in \mathbb{R} : \text{ ada } k \in \mathbb{N} \text{ sehingga } x<x_{n} \text{ untuk tiap } n \geq k \right\}$$
Berdasarkan Lemma 2, maka $(x_{n})$ terbatas, berakibat bahwa $E$ juga merupakan himpunan terbatas di atas. Misalkan bahwa batas $(x_{n})$ adalah $M$. Misal $x \leq -M$, maka $x \leq -M \leq x_{n}$ untuk tiap $n \in \mathbb{N}$. Sehingga, $x\in E$ dan $E \neq \emptyset$
Karena $E \neq \emptyset$ dan $E$ terbatas di atas, maka berdasarkan Aksioma Kelengkapan, $\sup E$ ada di $\mathbb{R}$. Misalkan $\alpha=\sup E$. Akan ditunjukkan bahwa $(x_{n})$ adalah barisan yang konvergen ke $\alpha$.
Diberikan $\epsilon>0$ sebarang. Karena $(x_{n})$ Cauchy, maka terdapat $N\in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga untuk $n \in \mathbb{N}$ dan $n \geq N$, berlaku bahwa
$$|x_{n}-x_{m}|<\epsilon/2$$
Dari sini, untuk $n \geq N$, berlaku
$$|x_{n}-x_{N}|<\epsilon/2$$
Dengan sifat nilai mutlak, diperoleh:
$$x_{N}-\epsilon/2<x_{n}<x_{N}+\epsilon/2$$
untuk tiap $n \geq N$. Sehingga, $x_{N}-\epsilon/2<x_{n}$ untuk tiap $n \geq N$. Ini mengakibatkan bahwa $x_{N}-\epsilon/2 \in E$. Karena $\alpha=\sup E$, maka $x_{N}-\epsilon/2 \leq \alpha$. Selain itu, $x_{n}<x_{N}+\epsilon/2$ untuk tiap $n \geq N$. Ini mengakibatkan bahwa $x_{N}+\epsilon/2 \notin E$.
Karena $x_{N}+\epsilon/2 \notin E$, maka $x_{N}+\epsilon/2\geq \alpha$. Dari sini,
$$|x_{N}-\alpha| \leq \epsilon/2$$
Akibatnya, untuk $n \in \mathbb{N}$ dan $n\geq N$, maka dengan ketaksamaan segitiga,
$$|x_{n}-\alpha| \leq |x_{n}-x_{N}|+|x_{N}-\alpha|<\epsilon/2+\epsilon/2$$
Ini membuktikan bahwa $(x_{n})$ adalah barisan yang konvergen ke $\alpha$ ♦
Kriteria Cauchy untuk Barisan
Berdasarkan teorema 1 dan teorema 4, maka kita peroleh kriteria Cauchy: $(x_{n})$ adalah barisan yang konvergen ke suatu bilangan real $\alpha$ jika dan hanya jika barisan tersebut adalah barisan Cauchy.
Selanjutnya kita akan melihat bagaimana penerapan kriteria Cauchy untuk barisan di analisis real. Kita akan menerapkan teorema ini untuk membuktikan bahwa barisan yang didefinisikan di awal adalah barisan konvergen. Misal $(x_{n})$ adalah barisan yang didefinisikan secara induksi sebagai berikut:
$$x_{1}=1, x_{2}=2$$ dan
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}+x_{n-1})$$
untuk $n>2$. Perhatikan bahwa untuk $n>2$,
$$|x_{n+1}-x_{n}|=\frac{1}{2}|x_{n}-x_{n-1}| =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} |x_{n-1}-x_{n-2}|= … = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}|x_{2}-x_{1}|=\frac{1}{2^{n-1}}$$
Dari sini, untuk tiap $n \in \mathbb{N}$ berlaku bahwa
$$|x_{n+1}-x_{n}|=\frac{1}{2^{n-1}}$$
Selanjutnya, untuk $m, n \in \mathbb{N}$ dengan $m>n$, berlaku
$$\begin{aligned}|x_{m}-x_{n}| &\leq |x_{m}-x_{m-1}|+|x_{m-1}-x_{m-2}|+ … +|x_{n+1}-x_{n}| \\ &=\frac{1}{2^{m-2}}+\frac{1}{2^{n-3}}+ … + \frac{1}{2^{n-1}} \\ &= \left[\frac{1}{2^{m-3}}-\frac{1}{2^{m-2}}\right]+\left[\frac{1}{2^{n-4}}-\frac{1}{2^{n-3}} \right]+ … + \left[\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{1}{2^{n-1}}\right]\\ &=-\frac{1}{2^{m-2}}+\frac{1}{2^{n-2}} \\ &< \frac{1}{2^{n-2}} \end{aligned}$$
Diberikan $\epsilon>0$ sebarang, berdasarkan sifat Archimedes, maka terdapat $N\in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga
$$\frac{1}{2^{n-2}}<\epsilon$$
Dari sini, untuk $m,n \in \mthbb{N}$ dan $m > n \geq N$, berlaku bahwa
$$|x_{m}-x_{n}| \leq \frac{1}{2^{n-2}} < \frac{1}{2^{N-2}}<\epsilon$$
Ini membuktikan bahwa $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy, sehingga dengan kriteria Cauchy, diperoleh bahwa $(x_{n})$ adalah barisan yang konvergen.
Sekian pembahasan kali ini tentang topik Analisis Real, yaitu Barisan Cauchy. Simak pembahasan lainnya mengenai Analisis Real Lanjut maupun topik lainnya. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
