Last Updated on Mei 12, 2021 by prooffic
Postingan kali ini adalah Soal dan Pembahasan ONMIPA 2018 Analisis Real Isian Singkat yang akan melengkapi postingan sebelumnya terkait dengan ONMIPA 2018 Analisis Real Uraian. Bagian ini terdiri dari 8 nomor dengan tingkat kesulitannya secara umum di bawah dari bagian uraian. Selain itu, pembahasan berikut juga akan melibatkan pemahaman dasar terkait dengan materi kalkulus terutama integrasi. Selain materi dari kalkulus tersebut, pembahasan berikut juga menyangkut mengenai supremum dan infimum, dalil L’Hopital, topologi dan kekonvergenan barisan.
Beberapa teorema/sifat juga akan diterapkan dalam penyelesaian berikut, seperti Lemma Stolz-Cesaro. Selain itu, juga melibatkan suatu bentuk deret yang pada umumnya telah dikenal luas. Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan ONMIPA 2018 Analisis Real Isian Singkat.
**Selamat menikmati**
soal 1
Diketahui himpunan $A \subseteq \mathbb{R}$ tak kosong. Jika $ \sup A = \inf A$, maka himpunan $A$ adalah …
Jawab: Sebelumnya, Jika $A \subseteq \mathbb{R}$ tak kosong, maka $\sup A$ menyatakan batas bawah terkecil dari $A$. Sehingga, $a \leq \sup A$ untuk setiap $a \in A$. Selain itu, $ \inf A$ menyatakan batas bawah terbesar dari $A$. Sehingga $\inf A \leq a$ untuk setiap $a \in A$. Oleh karena itu, jika $x = \sup A = \inf A$, maka $x \leq a \leq x$ untuk setiap $a \in A$. Dari sini, $a = x$ untuk setiap $a \in A$ dan $$A = \{ x \} $$Oleh karena itu, $A$ merupakan himpunan singleton (himpunan yang hanya terdiri dari satu anggota) ♦
Soal 2
Jika $$\lim_{x \rightarrow c} \frac{a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + \cdots + a_n (x-c)^n}{(x-c)^n} = 0,$$maka $$a_0 + a_1+ a_2 +\cdots + a_n = \cdots$$
Jawab: Misal $$f(x) = \frac{a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + \cdots + a_n (x-c)^n}{(x-c)^n}$$dan $$g(x) = (x-c)^n$$Karena $\lim_{x \rightarrow c} g(x) =0$ dan $\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$, maka haruslah $\lim_{x \rightarrow c} f(x) =0$ (Jika bukan nol, maka $\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}$ tidak di real atau tidak ada, sehingga kontradiksi dengan asumsi). Karena $\lim_{x \rightarrow c} f(x) =0$, maka $$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow c}\left( a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + \cdots + a_n (x-c)^n \right)&= 0 \\ a_0 &= 0 \end{aligned}$$Kemudian, dengan aturan L’Hopital, maka $\lim_{x \rightarrow c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = 0,$ yaitu $$\lim_{x \rightarrow c} \frac{a_1 + 2 a_2 (x-c) + 3 a_3 (x-c)^2 + \cdots + n a_n (x-c)^{n-1}}{n (x-c)^{n-1}} = 0$$Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, maka haruslah $a_1 = 0$
Selanjutnya, dengan aturan L’Hopital yang diterapkan secara berulang hingga tahap tertentu serta dengan argumen seperti sebelumnya, maka akan diperoleh bahwa $$a_0 = a_1 = \cdots = a_{n-1}$$
Dengan melakukan subtitusi ke $\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 0,$ maka diperoleh juga bahwa $a_n = 0.$ Akibatnya, $$a_0 + a_1+ a_2 + \cdots + a_n = 0 ♦$$
Soal 3
Nilai dari $\sum_{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{n^2} $ adalah …
Jawab: Deret tak hingga tersebut cukup terkenal dalam matematika yang dikenal sebagai Masalah Bassel dan nilainya adalah $ \frac{ \pi}{6} ♦$
Soal 4
Diketahui fungsi $f : [-5,4] \rightarrow \mathbb{R}$ kontinu. Jika $$E = \{x \in [-5,4] : f(x) = x \}$$maka klosur dari $E$ adalah …
Jawab: Dalam bidang analisis himpunan tersebut dikenal sebagai himpunan titik tetap (fixed point), lebih tepatnya himpunan titik tetap $f$ pada $[-5 ,4]$. Himpunan tersebut merupakan himpunan tutup yang berakibat bahwa klosur dari $E$ himpunan $E$ itu sendiri. Kita akan membuktikan klaim tersebut, yaitu $E$ adalah himpunan tutup.
Kita asumsikan bahwa fungsi tersebut adalah fungsi kontinu pada domainnya. Jika $E = \emptyset$, maka $E$ adalah himpunan tutup. Misalkan $E$ bukan himpunan kosong, maka dapat dibuat barisan $(a_k)$ di $E$ yang konvergen. Maka, titik kekonvergenan $a$ juga berada di $[-5 ,4]$. Berdasarkan hubungan kekontinuan dan kekonvergenan barisan, maka haruslah $f(a_{k}) \rightarrow f(a)$ untuk $k\rightarrow \infty$.
Karena $(a_n)$ di $E$, maka $f(a_{k}) = a_{k}$. Oleh karena itu, $$\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow \infty} f(a_{k}) &= f(a) \\ \lim_{k \rightarrow \infty} a_{k} &= f(a) \\ a &= f(a) \end{aligned} $$Sehingga, $a \in E.$ Oleh karena itu, sebarang barisan yang konvergen di $E$ konvergen ke suatu titik di $E$ itu sendiri. Akibatnya, $E$ merupakan himpunan tutup yang juga mengimplikasikan bahwa klosur dari $E$ adalah $E$ itu sendiri.
Jadi, klosur dari $E$ adalah $E$ ♦
Soal 5
Nilai dari $$\lim_{n \rightarrow \infty} n \int_{0} ^{1} \frac{2 x^2}{x + x^{2n+1}} dx $$adalah …
Jawab: Perhatikan bahwa untuk tiap $n \in \mathbb{N}, $ berlaku bahwa
$$n \int_{0} ^{1} \frac{2 x^n}{x + x^{2n+1}} dx = 2 \int_{0} ^{1} \frac{n x^{n – 1}}{1 + x^{2n}} dx $$
Kemudian, dengan pemisalan variabel $u = x^n$, maka $du = n x^{n-1} dx$ dan
$$\begin{aligned}n \int_{0} ^{1} \frac{2 x^n}{x + x^{2n+1}} dx &= 2 \int_{0} ^{1} \frac{n x^{n – 1}}{1 + x^{2n}} dx \\ &= 2 \int_{0} ^{1} \frac{du}{1 + u^{2}} \\ &= \arctan (1) – \arctan (0) \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$
Jadi, $$\lim_{n \rightarrow \infty} n \int_{0} ^{1} \frac{2 x^2}{x + x^{2n+1}} dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} ♦$$
Soal 6
Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ berlaku
$$f_n (x) = \begin{dcases} \frac{nx}{2n – 1} &, x\in \left[0, \frac{2n – 1}{n} \right] \\ 1 & , x\in \left[ \frac{2n – 1}{n} , 2\right] \end{dcases}$$
Untuk $n \rightarrow \infty$, maka $\int_{1} ^{2} f_n (x) dx $ konvergen ke …
Jawab: Perhatikan bahwa untuk tiap $n \in \mathbb{N}$ yang lebih dari 1, berlaku
$$\begin{aligned} \int _{1} ^{2} f_n (x) dx &= \int _{1} ^{2 -(1/n)} f_n (x) dx + \int _{2 – 1/n} ^{2} f_n (x) dx \\ &= \int _{1} ^{2 – (1/n)} \frac{nx}{2n – 1} dx + \int _{2 – 1/n} ^{2} (1) dx \\ &= \frac{n}{2n-1} \frac{1}{2} \left( \left( 2-\frac{1}{n}\right)^2 – 1^2 \right) + \left( 2 -\left(2- \frac{1}{n}\right) \right) \\ &= \frac{n}{2n-1} \frac{1}{2} \left( \left( 2-\frac{1}{n}\right)^2 – 1 \right) +\frac{1}{n} \end{aligned}$$
Dari sini, kita dapat melihat bahwa $\int_{1} ^{2} f_n (x) dx $ akan menuju $3/4$ ketika $n \rightarrow \infty$ ♦
Soal 7
Diketahui $a \in \mathbb{R}$ dan fungsi $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ memenuhi $|xf(x)+a|< \sin^2 (x-a)$ untuk setiap $x\in \mathbb{R}$. Nilai dari $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ adalah …
Jawab: Terlebih dahulu asumsikan bahwa $a \neq 0$. Berdasarkan teorema apit, karena $\lim_{x \rightarrow a} \sin^2 (x-a) = 0$, maka haruslah $$\lim_{x \rightarrow a} \left( xf(x)+a \right) = 0$$ Selain itu, juga diperoleh $$\left( \lim_{x \rightarrow a} \left( xf(x)\right)\right) + a= 0$$Sehingga, $$\lim_{x \rightarrow a} \left( xf(x)\right) = -a $$
Kemudian, karena untuk $x \neq 0$ berlaku $$f(x) = (x f(x)) \cdot \frac{1}{x}$$
Karena $a \neq 0$, maka dengan sifat limit fungsi, diperoleh bahwa $$\begin{aligned}\lim_{x \rightarrow a} f(x) &= \left( \lim_{x \rightarrow a} xf(x) \right) \lim_{x \rightarrow a} \left(\frac{1}{x}\right) \\ &= (-a) (\frac{1}{a}) \\ &= -1 \end{aligned}$$
Selanjutnya, misalkan bahwa $a = 0$, maka $|xf(x)|< \sin^2 (x)$ untuk setiap $x\in \mathbb{R}$. Sehingga, untuk $x$ bukan nol berlaku bahwa $$|f(x)|< \frac{\sin^2 (x)}{|x|} = \left|\frac{\sin (x)}{x} \right| \cdot \left|\sin(x) \right|$$Karena $$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin^2 (x)}{x} \cdot \sin(x) \right) = 0,$$maka dengan teorema apit, diperoleh bahwa $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$
Jadi, $$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) \begin{dcases} -1 &, a \neq 0\\ 0 &, a = 0 ♦\end{dcases}$$
Soal 8
Diketahui barisan bilangan real ${a_n}$ dan ${b_n}$ yang keduanya konvergen ke $0$. Jika {b_n} turun monoton dan $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} -b_n} = 2018,$$maka $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2 b_n} = …$$
Jawab: untuk menjawabnya, kita akan menggunakan lemma Stolz-Cesaro. Lemma tersebut menyatakan bahwa jika ${a_n}$ dan ${b_n}$ adalah barisan bilangan real yang keduanya konvergen ke $0$, serta $b_n$ adalah monoton turun untuk semua $n$ yang cukup besar dengan $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} -b_n} = x \in \bar{\mathbb{R}},$$maka $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}$ ada dan $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = x$
Dengan lemma tersebut dan asumsi bahwa $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} -b_n} = 2018,$$maka $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = 2018$$dan $$\begin{aligned}\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2 b_n} &= \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} \\ &= \frac{1}{2} 2018\\ &= 1009 \end{aligned}$$
Jadi, $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{2 b_n} = 1009$ ♦
Demikian Soal dan Pembahasan ONMIPA 2018 Analisis Real Isian Singkat kali ini. Jika Anda tertarik dengan pembahasan KNMIPA/ONMIPA lainnya, silahkan akses di sini. Sedangkan jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan mampir ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
