Last Updated on Mei 12, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang soal dan pembahasan ONMIPA 2018 Matematika Analisis Real Uraian, terutama bagian Kedua atau uraian. Pembahasan solusi menggunakan sifat konvergensi barisan dan barisan fungsi, serta menggunakan sifat-sifat Integral (Riemann).
**Selamat menikmati**
soal 1
Selidiki kekonvergenan barisan bilangan real $\{x_n\}$, dengan $x_1=1$ dan $$x_{n+1}=\frac{x^2 _n+2}{2x_n}, n \geq 1, n \in \mathbb{N}$$
Jawab: Akan ditunjukkan bahwa barisan tersebut konvergen dengan menunjukkan bahwa ekor barisan $\{x_{n+1}\}$ adalah barisan turun yang terbatas di bawah oleh bilangan real $\sqrt2$. Peninjauan ekor barisan tersebut karena pada dasarnya barisan ${x_n}$ secara keseluruhan bukan merupakan barisan yang monoton. Sebelumnya, jelas bahwa suku-suku barisan tersebut adalah tak-negatif, Anda dapat membuktikannya menggunakan prinsip induksi matematika. Kemudian, berdasarkan ketaksamaan HM-GM-AM-QM, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \sqrt{(x_n) (\sqrt{2})} & \leq \sqrt{\frac{x^2 _n +(\sqrt{2})^2}{2}} \\ x^2 _n \sqrt2 & \leq \frac{x^2 _n+2}{2} \\ \sqrt2 & \leq \frac{x^2 _n+2}{2 x_n}=x_{n+1} \end{aligned}.$$ Oleh karena itu, diperoleh bahwa ekor barisan $\{x_{n+1}\}$ adalah barisan yang terbatas di bahwa oleh $\sqrt2$. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ekor barisan tersebut merupakan barisan yang monoton turun.
Perhatikan bahwa, untuk tiap $n \in \mathbb{N}$, berlaku bahwa $$\begin{aligned} x_{n+2}-x_{n+1} & = \frac{x^2 _{n+1}+2}{2x_{n+1}}-x_{n+1} \\ & = \frac{-x^2 _{n+1}+2}{2x_{n+1}} \end{aligned}$$
Karena $x_{n+1} \geq \sqrt2$, maka $x^2 _{n+1} \geq 2$ dan $-x^2 _{n+1}+2 \leq 0$. Akibatnya, diperoleh bahwa $$\frac{-x^2 _{n+1}+2}{2x_{n+1}} \leq 0$$ dan $$ x_{n+2}-x_{n+1} \leq 0 $$ Sehingga, untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, $$ x_{n+2} \leq x_{n+1} $$ Dari sini, barisan tersebut monoton turun dan terbatas di bawah. Oleh karena itu, berdasarkan teorema konvergensi barisan monoton, diperoleh bahwa ${x_{n+1}}$ merupakan barisan yang konvergen. Karena ${x_{n+1}}$ adalah subbarisan dari barisan ${x_n}$, maka berdasarkan sifat ekor barisan dan kekonvergenan, diperoleh bahwa barisan ${x_n}$ konvergen. Misalkan bahwa $x= \lim_{n \to \infty} x_n$, maka $$x=\frac{x^2+2}{2x}$$yang berakibat bahwa $x=\pm\sqrt2$. Karena barisan tersebut terdiri dari suku-suku positif, maka haruslah $x=\sqrt2$.
Jadi, barisan $x_n$ konvergen dengan titik konvergensi $\sqrt2$. $\blacksquare$
Soal 2
Buktikan bahwa Jika untuk setiap bilangan asli $n$, $f_n$ merupakan fungsi naik dan ${f_n}$ konvergen seragam ke $f$ pada $[a,b]$, maka
$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n (x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
Jawab: Asumsikan bahwa $a<b$. Perhatikan bahwa karena $f_n$ merupakan fungsi naik untuk tiap $n$, maka $f_n$ merupakan fungsi yang terintegral (Riemann) pada [a,b]. Sehingga, $$\int_{a}^{b} f_n (x) dx$$ ada. Selanjutya, akan ditunjukkan bahwa fungsi $f$ adalah fungsi naik pada interval tersebut. Misalkan $s,t$ di interval tersebut dengan $s<t$, maka $$f(s)-f(t) = \lim_{n \to \infty} f_n (s)-\lim_{n \to \infty} f_n (t)= \lim_{n \to \infty} [f_n (s)-f_n (t)]$$ Karena $f_n$ naik, maka haruslah $$\lim_{n \to \infty} [f_n (s)-f_n (t)] \geq 0$$. Akibatnya, $$f(s)-f(t)\geq 0$$. Karena $s,t$ sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ adalah fungsi naik pada interval tersebut. Akibatnya, fungsi tersebut terintegralkan dan $$\int_{a}^{b} f(x) dx$$ ada. Kemudian akan ditunjukkan bahwa $$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n (x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$.
Diberikan sebarang $\varepsilon>0$, karena ${f_n}$ konvergen seragam ke $f$ pada $[a,b]$, maka terdapat bilangan asli $N$ sedemikian sehingga untuk bilangan asli $n$ dengan $n \geq N$, berlaku bahwa $$|f_n (x)-f(x)|<\frac{\varepsilon }{b-a}$$ untuk setiap $x\in [a,b]$. Dari sini, dengan sifat integral (Riemann), diperoleh bahwa untuk tiap bilangan asli $n$ dengan $n\geq N$, berlaku $$\left|\int_{a}^{b} f_n (x) dx- \int_{a}^{b} f(x) dx\right|\leq \int_{a}^{b} \left|f_n (x)-f(x)\right| dx<\frac{\varepsilon}{b-a} (b-a)$$
Sehingga, $$\left|\int_{a}^{b} f_n (x) dx- \int_{a}^{b} f(x) dx\right|<\varepsilon$$ untuk tiap bilangan asli $n$ dengan $n\geq N$. Ini membuktikan bahwa $\left\{ \int_{a}^{b} f_n (x) dx \right\}$ konvergen ke $\int_{a}^{b} f(x) dx$, yaitu
$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n (x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx \blacksquare$$
Soal 3
Diketahui fungsi $f$ mempunyai turunan yang kontinu pada $[a,b]$. Jika $f(a)=f(b)=0$ dan $$\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx=1,$$tunjukkan bahwa $$\int_{a}^{b} x^2 [f'(x)]^2 dx \geq \frac{1}{4}.$$
Jawab: Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa $$\int_{a}^{b} xf(x)f'(x) dx =-\frac{1}{2}.$$Dengan integrasi parsial, maka diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \int xf(x)f'(x) dx & = \frac{1}{2} x [f(x)]^2 – \int \frac{1}{2} [f(x)]^2 dx\end{aligned}$$ Karena $f(a)=f(b)=0$ dan $$\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx=1,$$ maka $$\begin{aligned} \int xf(x)f'(x) dx & = \frac{1}{2} \cdot 0- \frac{1}{2} \\ &=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$
Selanjutnya, dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh bahwa
$$\begin{aligned} \frac{1}{4}=\left(-\frac{1}{2}\right)^2 &=\left(\int_{a}^{b} xf(x)f'(x) dx \right)^2 \\ &\leq \left( \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \right) \left(\int_{a}^{b} [xf'(x)]^2 dx \right) \\ &= 1 \cdot \left(\int_{a}^{b} x^2[f'(x)]^2 dx \right) \\&= \int_{a}^{b} x^2[f'(x)]^2 dx \end{aligned}$$
Jadi, $$\int_{a}^{b} x^2[f'(x)]^2 dx \geq \frac{1}{4} \blacksquare$$
Sekian pembahasan kali ini mengenai soal dan pembahasan onmipa 2018 Matematika Analisis Real Uraian. Jika anda tertarik dengan soal dan pembahasan knmipa/onmipa lainnya, silahkan baca di sini, dan jika anda tertarik dengan topik-topik lainnya, silahkan baca di sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
