Last Updated on November 12, 2024 by prooffic
Pada postingan kali ini kita akan membahas mengenai Soal dan pembahasan onmipa 2018 Matematika Analisis Kompleks, yaitu bagian isian singkat dan bagian uraian.
**Selamat menikmati**
ISIAN SINGKAT
SOAL 1
Bilangan bulat terkecil $n$ dengan $n \geq 2018$ sehingga $(\sqrt{3} +3i)^n$ merupakan bilangan real adalah …
Jawab: Perhatikan bahwa dengan Teorema D’Moivre, diperoleh:
$$\begin{aligned} \left(\sqrt{3} +3i \right)^n &= \left(\sqrt{3}\right)^n \left(1+\sqrt{3}i \right)^n \\ &=\left(\sqrt{3}\right)^n (2)^n \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3}i \right)^n \\ &= (2\sqrt{3})^n (\cos(\pi/3)+i \sin(\pi/3))^n \\ &= (2\sqrt{3})^n \left(\cos(n\pi/3)+i\sin(n\pi/3)\right) \end{aligned}$$
Agar baris terakhir tersebut merupakan bilangan real, maka haruslah $\sin(n\pi/3)=0$. Sehingga, $n$ merupakan bilangan bulat kelipatan tiga dan lebih dari $2018$. Jadi, bilangan bulat terkecil yang memenuhi syarat-syarat tersebut adalah $2019$ $\blacksquare$
SOAL 2
Diketahui bahwa segi-12 dan segi-18 beraturan dengan lingkaran luar yang jari-jarinya satu satuan mempunyai $T$ titik persekutuan, dengan $T>1$. Nilai $T$ adalah …
Jawab: Misal segi-12 dan segi-18 beraturan tersebut masing-masing adalah $T_{12}$ dan $T_{18}$. Karena $T>1$, maka dapat diasumsikan bahwa lingkaran luar keduanya adalah sama, yaitu lingkaran satuan pada bidang kompleks dan salah satu titik persekutuannya adalah $i$.
Maka, banyaknya titik potong lingkaran satuan dengan masing-masing $T_{12}$ dan $T_{18}$ adalah $12$ dan $18$. Jika $z$ adalah titik persekutuan $T_{12}$ dan lingkaran satuan, maka $z^12=1$ yang berakibat bahwa $$z=exp(\frac{2\pi k i}{12})$$ dengan $k=0,…, 11$.
Jika $w$ adalah titik persekutuan $T_{18}$ dan lingkaran satuan, maka $w^{18}=1$ yang berakibat bahwa $$z=exp(\frac{2\pi j i}{18})$$ dengan $j=0,…, 17$. Tulis$$exp(\frac{2\pi k i}{12})=exp(\frac{2\pi j i}{18}).$$
Oleh karena itu, masalah tersebut pada dasanya adalah menentukan banyak $j,k$ yang memenuhi sehingga $$\frac{k}{6}-\frac{j}{9}=2m$$ dengan $m$ adalah bilangan bulat. Dapat dicek banyaknya pasangan adalah $6$. Jadi, $T=6$.
SOAL 3
Apabila diketahui fungsi $$f(z)=z Re(z)+\bar{z} Im (z)+\bar{z}$$ terdiferensial kompleks di titik $z_{0}$, maka nilai dari $f'(z_0)$ adalah …
Jawab: Terlebih dahulu tulis $z=x+i y$ dan $z_0 = x_0 + i y_0$, maka $$\begin{aligned} f(z) &=(x+iy) (x)+(x-iy) (y)+(x-iy) \\ &= (x^2+x+xy)+(xy-y-y^2)i \end{aligned}$$
Misalkan bahwa $u=x^2+x+xy$ dan $v=xy-y-y^2.$ Terlebih dahulu akan ditentukan $z_0$ sehingga $f(z)$ terdiferensialkan kompleks di titik tersebut. Ingat kembali bahwa $(z)$ akan terdiferensialkan kompleks di $z_0$ jika dan hanya jika $f(z)$ memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di titik tersebut, yaitu $$u_x(z_0)=v_y(z_0)$$ dan $$u_y(z_0)=-v_x(z_0)$$
perhatikan bahwa, dari $u_x(z_0)=v_y(z_0)$, diperoleh $$2(x_0)+1+y_0)=x_0-1-2y_0$$Kemudian, dari $u_y(z_0)=-v_x(z_0)$ diperoleh bahwa $$x_0=-y_0$$
sehingga, diperoleh dua buah persamaan
$$\begin{aligned}x_0+3y_0 &=-2 \\ x_0+y_0 &=0\end{aligned}$$
yang memiliki solusi $(x_0,y_0)=(1,-1)$. Dari sini, fungsi tersebut terdiferensialkan kompleks hanya di $z_0=(-1,1)$ dengan $$f'(z_0)=u_x(1,-1)+v_x(1,-1) i = 2+(-1)i$$
Jadi, $f'(z_0)=2-i$
Soal 4
Nilai integral kompleks $$\int_{|z|=1} \left(z^2 \sin \frac{1}{z}+\frac{1}{z^2} \sin{z}\right) dz$$
Jawab: Kita akan menentukan nilai integral tersebut dengan menggunakan teori residu. Perhatikan bahwa pole dari fungsi integrannya hanya $z=0$. Sehingga, terlebih dahulu akan ditentukan residu dari fungsi integrannya di titik $z=0$. Tinjau deret mclaurin dari fungsi $\sin \frac{1}{z}$ dan $\sin z$ berikut. Karena
$$\sin z = z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots$$
maka
$$\frac{1}{z^2} \sin z = \frac{1}{z}-\frac{z}{3!}+\frac{z^3}{5!}-\frac{z^5}{7!}+\cdots$$
dan
$$z^2 \sin \frac{1}{z} = z-\frac{1}{3!z}+\frac{1}{5!z^3}-\frac{1}{7!z^5}+\cdots$$
Sehingga, $$\begin{aligned}\int_{|z|=1} \left(z^2 \sin \frac{1}{z}+\frac{1}{z^2} \sin{z}\right) dz &= 2\pi i Res_{z=0} \left(z^2 \sin \frac{1}{z}+\frac{1}{z^2} \sin{z}\right) \\ &= 2\pi i (1-\frac{1}{3!}) \\ &= \frac{5\pi i}{3}\end{aligned}$$
Demikian kali ini tentang Soal dan pembahasan onmipa 2018 Matematika Analisis Kompleks. Jika Anda tertarik dengan soal dan pembahasan lainnya tentang Soal dan pembahasan onmipa/knmipa lainnya, silahkan ke sini. Jika anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu, sekian dan terima kasih.