Last Updated on Juli 28, 2021 by prooffic
Postingan kali ini adalah tentang pembahasan soal analisis real bab 5 bagian 2 Fungsi kontinu (Kombinasi Fungsi-fungsi kontinu) pada buku Introduction to Real Analysis by Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert Pembahasan berikut merupakan pembahasan lanjutan sebelumnya yang terkait dengan pembahasan soal analisis real bab 5 bagian 1 Fungsi kontinu (Definisi Fungsi Kontinu).
**Selamat menikmati**
Pendahuluan
Sebelum memulai pembahasan soal analisis real bab 5 bagian 2 Fungsi kontinu, berikut ini adalah rangkuman mengenai sifat-sifat dari kombinasi fungsi-fungsi kontinu.
Teorema 1: Hubungan kekontinuan fungsi dan operasi dasar aritmatika
- Misalkan $A \subseteq \mathbb{R},$ dan misalkan $f$ dan $g$ adalah fungs-fungsi pada $A$ ke $\mathbb{R},$ dan misalkan $b \in \mathbb{R}.$ Misalkan bahwa $c \in A$ dan bahwa $f$ dan $g$ kontinu di $c.$
(a) Maka $f+g, f-g, fg,$ dan $bf$ kontinu di $c.$
(b) Jika $h : A \to \mathbb{R}$ kontinu di $c \in A$ dan jika $h(x) \neq 0$ untuk semua $x \in A,$ maka pembagian $f/h$ kontinu di $c.$ - Misalkan $A \subseteq \mathbb{R},$ dan misalkan $f$ dan $g$ kontinu pada $A$ ke $\mathbb{R},$ dan misalkan $b \in \mathbb{R}.$
(a) Maka $f+g, f-g, fg,$ dan $bf$ kontinu pada $A.$
(b) Jika $h : A \to \mathbb{R}$ kontinu pada $A$ dan $h(x) \neq 0$ untuk semua $x \in A,$ maka pembagian $f/h$ kontinu pada $A.$
Teorema 2: Kekontinuan dari nilai mutlak fungsi kontinu
Misalkan $A \subseteq \mathbb{R},$ dan misalkan $|f|$ didefinisika dengan $$|f|(x) := |f(x)| $$untuk setiap $x \in A.$
(a) Jika $f$ kontinu di sebuah titik $c \in A,$ maka $|f|$ kontinu di $c.$
(b) JIka $f$ kontinu pada $A,$ maka $|f|$ kontinu pada $A.$
Teorema 3: Kekontinuan dari akar kuadrat fungsi kontinu
Misalkan $A \subseteq \mathbb{R},$ misalkan $f : A \to \mathbb{R},$ dan misalkan $f(x) \geq 0$ untuk setiap $x \in A.$ Kita misalkan $\sqrt{f}$ didefinisikan dengan $$(\sqrt{f})(x) := \sqrt{f(x)} $$untuk setiap $x \in A.$
(a) Jika $f$ kontinu di sebuah titik $c \in A, $maka $\sqrt{f}$ kontinu di $c.$
(b) Jika $f$ kontinu pada $A,$ maka $\sqrt{f}$ kontinu pada $A.$
Teorema 4: Komposisi fungsi kontinu
- Misalkan $A, B \subseteq \mathbb{R}$ dan misalkan $f : A \to \mathbb{R}$ dan $g : B \to \mathbb{R}$ adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga $f(A) \subseteq B.$ Jika $f$ kontinu di suatu titik $c \in A$ dan $g$ kontinu di $b = f(c) \in B,$ maka kompoisis $g \circ f : A \to \mathbb{R}$ kontinu di $c.$
- Misalkan $A, B \subseteq \mathbb{R},$ misalkan $f : A \to \mathbb{R}$ kontinu pada $A$ dan misalkan $g : B \to \mathbb{R}$ kontinu pada $B.$ Jika $f(A) \subseteq B,$ maka fungsi komposisi $g \circ f : A \to \mathbb{R}$ kontinu pada $A.$
Pembahasan Soal
Dengan teorema-teorema tersebut, kita akan menyajikan pembahasan soal analisis real bab 5 bagian 2 Fungsi kontinu sebagai berikut.
Soal 1
Tentukan titik-titik diskontinu dari fungsi-fungsi berikut dan nyatakan teorema manakan yang digunakan pada setiap kasus.
(a). $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 1}, x \in \mathbb{R}$
(b). $g(x) = \sqrt{x + \sqrt{x}}, x \geq 0$
(c). $h(x) = \frac{\sqrt{1+| \sin (x)|}}{x}$
(d). $k(x) = \cos \sqrt{1 + x^2}$
Jawab:
(a). Fungsi tersebut kontinu pada $\mathbb{R}$ dengan menggunakan teorema 1.
(b). Fungsi tersebut kontinu pada $[0, \infty)$ dengan menggunakan teorema 1 dan teorema 3 dan teorema 4.
(c). Fungsi tersebut kontinu pada $\mathbb{R} – \{ 0 \}$ dengan menggunakan teorema 1 dan fakta bahwa fungsi $x \mapsto \sin x$ adalah fungsi kontinu pada $\mathbb{R}$ dan juga teorema 4.
(d). Fungsi tersebut kontinu pada $\mathbb{R}$ dengan menggunakan teorema 1, teorema 4 dan fakta bahwa $x \mapsto \cos x$ adalah fungsi kontinu pada $\mathbb{R}.$
Soal 2
Tunjukkan bahwa jika $f : A \to \mathbb{R}$ kontinu pada $A \subseteq \mathbb{R}$ dan jika $n \in \mathbb{N},$ maka fungsi $f^n$ didefinisikan dengan $$f^n (x) = (f(x))^n, $$untuk setiap $x \in A,$ kontinu pada $A.$
Jawab: Kita akan membuktikannya dengan menggunakan induksi matematika. Berdasarkan asumsi, maka $f^n = f^1 = f$ kontinu pada $A.$ Kemudian, asumsikan bahwa $f^n$ kontinu pada $A$ untuk $n \in \mathbb{N}.$ Kemudian, perhatikan bahwa untuk setiap $x \in A,$ berlaku bahwa $$f^{n+1}(x) = (f(x))^{n+1} = (f(x))^n (f(x)) \cdots (*)$$Karena $f^n$ dan $f$ kontinu pada $A,$ maka dengan teorema 1 dan $(*),$ diperoleh bahwa $f^{n+1}$ kontinu pada $A.$
Dari sini, $f^n$ kontinu pada $A$ untuk $n=1.$ Selain itu, asumsi $f^n$ kontinu pada $A$ mengimplikasikan $f^{n+1}$ kontinu pada $A.$ Sehingga, dengan induksi matematika, diperoleh bahwa $f^n$ kontinu pada $A$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$
Baca Juga:
Kumpulan Pembahasan Soal Analisis Real Introduction to Real Analysis
Analisis Real: Fungsi kontinu
Soal 3
Berikan contoh fungsi $f$ dan $g$ yang keduanya tidak kontinu di suatu titik $c \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga (a) jumlahan $f+g$ kontinu di $c,$ (b) hasil kali $fg$ kontinu di c.
Jawab: Misalkan fungsi $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang didefinisikan dengan $$f(x) = \begin{dcases} 1 &, x \geq 0 \\ -1 &, x<0 \end{dcases} $$dan $$g(x) = \begin{dcases} -1 &, x \geq 0 \\ 1 &, x<0 \end{dcases} $$Perhatikan bahwa $f$ dan $g$ tidak kontinu di $c = 0. $Kemudian, Anda dapat memeriksa bahwa $$f(x) + g(x) = 0$$dan $$f(x) \cdot g(x) = -1$$untuk setiap $x \in \mathbb{R}$
Oleh karena itu, $f$ dan $g$ diskontinu di $c = 0,$ tetapi $f+g$ dan $fg$ kontinu di $c = 0$
Soal 4
Misalkan $x \mapsto \left \lfloor {x} \right \rfloor$ menyatakan fungsi bilangan bulat terbesar. Tentukan titik-titik kontinuitas dari fungsi $$f(x) = x – \left \lfloor {x} \right \rfloor, x \in \mathbb{R}$$
Jawab: Berikut ini adalah grafik dari fungsi $f(x).$
Kita dapat melihat bahwa fungsi tersebut kontinu kecuali pada titik-titik yang berupa bilangan bulat. Selain dari grafik tersebut, kita juga juga dapat melihat bahwa fungsi $x \mapsto x$ merupakan fungsi yang kontinu pada keseluruhan garis bilangan real. Sedangkan, fungsi $x \to \left \lfloor {x} \right \rfloor$ merupakan fungsi yang hanya kontinu di titik selain bilangan bulat. Sehingga, dengan teorema 1, diperoleh bahwa fungsi $x \mapsto \left \lfloor {x} \right \rfloor$ hanya akan kontinu pada titik-titik selain berupa bilangan bulat.
Catatan: Berikut ini adalah bukti bahwa fungsi $x \mapsto \left \lfloor {x} \right \rfloor$ kontinu hanya pada titik-titik selain bilangan bulat. Misal bahwa $c$ adalah bilangan real yang bukan merupakan bilangan bulat. Maka, terdapat dengan tunggal bilangan bulat $n$ sedemikian sehingga $$n-1 \leq c <n $$Perhatikan bahwa untuk setiap $x$ di $[n-1, n)$, berlaku bahwa $\left \lfloor {x} \right \rfloor = n-1.$ Akibatnya, $$|\left \lfloor {x} \right \rfloor – \left \lfloor {c} \right \rfloor| = |(n-1)-(n-1)| = 0 < \varepsilon $$untuk setiap $\varepsilon>0.$ Akibatnya, kita dapat memilih $\delta = 1$ (sebarang nilai $\delta$ lainnya juga akan memenuhi) sehingga pernyataan implikasi pada definisi formal limit fungsi bernilai benar.
Kemudian, misalkan bahwa $n$ adalah sebarang bilangan bulat. Perhatikan bahwa $\left \lfloor {x} \right \rfloor = n-1$ untuk setiap $x < n$ dan $\left \lfloor {x} \right \rfloor = n$ untuk setiap $x \geq n.$ Oleh karena itu, limit kiri dari $\left \lfloor {x} \right \rfloor$ di $n$ adalah $n-1.$ Sedangkan limit kanan dari $\left \lfloor {x} \right \rfloor$ di $n$ adalah $n.$ Karena $n-1 \neq n,$ maka limit kiri dan limit kanan dari $\left \lfloor {x} \right \rfloor$ tidak bernilai sama di $n.$ Sehingga, $x \mapsto \left \lfloor {x} \right \rfloor$ tidak kontinu di $n.$ Jadi, $x \mapsto \left \lfloor {x} \right \rfloor$ hanya kontinu pada titik-titik selain titik berupa bilangan bulat.
Soal 5
Misalkan $g$ didefinisikan pada $\mathbb{R}$ dengan $g(1) = 0,$ dan $g(x) = 2$ jika $x \neq 1,$ dan misalkan $f(x) = x + 1$ untuk semua $x \in \mathbb{R}.$ Tunjukkan bahwa $\lim_{x \to 0} g \circ f \neq (g \circ f)(0).$ Kenapa hal tersebut tidak bertentangan dengan teorema 5.2.6?
Jawab: Misalkan bahwa $x \neq 0,$ maka $f(x) \neq 0.$ Sehingga, $g \circ f (x) = 2. $Oleh karena itu, $\lim_{x \to 0} g \circ f = 2.$ Selain itu, kita punya bahwa $$g \circ f (0) = g(f(0))=g(1)=0 $$Akibatnya, kita peroleh bahwa $$\lim_{x \to 0} g \circ f \neq (g \circ f)(0) $$Hal ini tidak bertentangan dengan teorema 5.2.6 karena $g$ tidak memenuhi asumsi teorema tersebut, yaitu $g$ tidak kontinu di $f(0) = 1.$
Soal 6
Misalkan $f$ dan $g$ didefinisikan pada $\mathbb{R}$ dan misalkan $c \in \mathbb{R}.$ Misalkan bahwa $\lim_{x \to c} f = b$ dan bahwa $g$ kontinu di $b.$ Tunjukkan bahwa $\lim_{x \to c} g \circ f = g(b).$
Jawab: Diberikan sebarang $\varepsilon>0.$ Karena $g$ kontinu di $b,$ maka terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x$ dengan $|y – b|<\delta,$ berlaku bahwa $$|g(y) – g(b)|<\varepsilon \cdots (*)$$Selanjutnya, karena $$\lim_{x \to c} f = b $$maka terdapat $\gamma>0$ sedemikian sehingga untuk $x$ dengan $|x-c|<\gamma,$ berlaku bahwa $$|f(x) – f(b)|<\delta \cdots (**)$$
Dari sini, untuk $x$ dengan $0<|x-c|<\gamma,$ dari $(**)$ diperoleh bahwa $$|f(x) – f(b)|<\delta $$yang berkibat bahwa dari $(*)$ akan diperoleh $$|g(f(x)) – g(f(c))|<\varepsilon $$Oleh karena itu, untuk setiap $\varepsilon>0,$ terdapat $\gamma>0$ sedemikian sehingga untuk $x$ dengan $0<|x-c|<\gamma,$ berlaku $$|g\circ f (x) – g \circ f (c)| = |g(f(x))-g(f(c))|<\varepsilon $$Ini membuktikan bahwa $$\lim_{x \to c} g\circ f (x) = g(b)$$
Soal 7
Berikan contoh fungsi $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ yang diskontinu di setiap titik $[0,1],$ tetapi sedemikian sehingga $|f|$ kontinu pada $[0,1].$
Jawab: Tinjau fungsi $f$ dengan $$f(x) = \begin{dcases} 1 &, x \in \mathbb{Q} \\ -1 &, x \notin \mathbb{Q} \end{dcases} $$untuk setiap $x \in [0,1].$ Perhatikan bahwa dengan kriteria barisan untuk kekontinuan fungsi, diperoleh bahwa $f$ tidak kontinu di setiap titik $[0,1].$ Tetapi, karena $|f|=1$ pada $[0,1],$ maka $|f|$ kontinu pada $[0,1].$
Soal 8
Misalkan $f$ dan $g$ adalah fungsi kontinu dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{R},$ dan misalkan bahwa $f(r) = g(r)$ untuk setiap bilangan rasional $r.$ Apakah benar bahwa $f(x) = g(x)$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}?$
Jawab: Jawabannya adalah iya. Kita akan membuktikan hal tersebut. Misalkan bahwa $x \in \mathbb{R}$ sebarang. Jika $x$ adalah bilangan rasional, maka $f(x) = g(x).$ Kemudian, misalkan bahwa $x$ bukan bilangan irasional. Berdasarkan sifat kepadatan bilangan rasional, maka terdapat barisan bilangan rasional $(r_n)$ sedemikian sehingga $r_n \to x.$ Perhatikan bahwa karena $r_n \in \mathbb{Q},$ maka $f(r_n) = g(r_n)$ untuk setiap bilangan asli $n.$
Selanjutnya, dengan kriteria barisan untuk kekontinuan fungsi, maka diperoleh bahwa $f(r_n) \to f(x)$ dan $g(r_n) = g(x).$ Selain itu, karena $f(r_n) = g(r_n)$ untuk setiap bilangan asli $n,$ dan kedua barisan $(f(r_n))$, $(g(r_n))$ konvergen, maka dengan ketunggalan limit, keduanya konvergen ke nilai yang sama, yaitu $$f(x)=g(x) $$Dari kedua kasus tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa $f(x) = g(x)$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
Soal 9
Misalkan $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang memenuhi $h(m/2^n) = 0$ untuk semua $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}.$ Tunjukkan bahwa $h(x) = 0$ untuk semua $x \in \mathbb{R}.$
Jawab: Perhatikan bahwa himpunan bilangan diadik $$\left\{ \frac{m}{2^n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\right\} $$merupakan himpunan yang padat di $\mathbb{R}.$ Kita akan menggunakan fakta tersebut untuk menunjukkan bahwa $f(x) = 0$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
Diberikan sebarang $x \in \mathbb{R}.$ Jika $x$ adalah bilangan diadik, maka $h(x) = 0.$ Kemudian, asumsikan bahwa $x$ bukan bilangan diadik. Karena himpunan bilangan diadik padat di $\mathbb{R},$ maka terdapat barisan bilangan diadik $(h_n)$ sedemikian sehingga $h_n \to x.$ Karena $f$ kontinu pada $\mathbb{R},$ maka berdasarkan kriteria barisan untuk kekontinuan, diperoleh bahwa barisan $(f(h_n))$ konvergen ke $f(x).$
Karena $h_n$ bilangan diadik untuk setiap $n,$ maka $f(h_n) = 0.$ Akibatnya, barisan $(f(h_n))$ adalah barisan yang semua sukunya bernilai nol. Sehingga haruslah limitnya juga nol, berakibat bahwa $f(x) = 0.$
Dari kedua kasus tersebut, dapat disimpulkan bahwa $f(x) = 0$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
Soal 10
Misalkan $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kontinu pada $\mathbb{R},$ dan misalkan bahwa $$P := \{x \in \mathbb{R} : f(x) > 0\} $$Jika $c \in P,$ tunjukkan bahwa ada persekitaran $V_\delta (c) \subseteq P.$
Jawab: Karena $c \in P,$ maka $f(c) > 0.$ Dari sini, $\varepsilon = f(c) > 0.$ Karena $f$ kontinu pada $\mathbb{R}, $maka $f$ kontinu di $c.$ Oleh karena itu, untuk $\varepsilon = f(c), $terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x \in \mathbb{R}$ dengan $|x-c|<\delta$ berlaku bahwa $$|f(x) – f(c)| < \varepsilon = f(c) $$Berdasarkan sifat nilai mutlak, maka $$\begin{aligned}|f(x) – f(c)| < \varepsilon = f(c) \Leftrightarrow -f(c) & < f(x) – f(c) < f(c) \\ 0 & < f(x) < 2f(c) \end{aligned} $$Akibatnya, untuk $x \in \mathbb{R}$ dengan $|x-c|<\delta,$ berlaku bahwa $f(x)>0.$ Perhatikan bahwa $$\left\{ x \in \mathbb{R} : |x-c|<\delta\right\} = V_{\delta} (c) $$Sehingga, jika $x \in V_\delta (c),$ berlaku bahwa $f(x)>0.$ Dengan kata lain. $$V_\delta (c) \subseteq P$$
Soal 11
Misalkan $f$ dan $g$ kontinu pada $\mathbb{R},$ misalkan $$S := \{ x \in \mathbb{R} : f(x) \geq g(x)\} $$Jika $(s_n) \subseteq S$ dan $\lim (s_n) = s,$ tunjukkan bahwa $s \in S.$
Jawab: Diberikan barisan $(s_n) \subseteq S$ dengan $\lim (s_n) = s.$ Akan ditunjukkan bahwa $s \in S.$ Karena $f$ dan $g$ kontinu pada $\mathbb{R},$ maka berdasarkan kriteria barisan untuk kekontinuan fungsi, diperoleh bahwa $$\lim f(s_n) = f(s) $$dan $$\lim g(s_n) = g(s) $$Kemudian, karena $(s_n) \subseteq S,$ maka $f(s_n) /geq g(s_n)$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ Dari sini, dengan sifat konvergensi barisan, diperoleh bahwa $$\lim f(s_n) \geq \lim g(s_n) $$yang berakibat bahwa $$f(s) \geq g(s) $$Jadi, $s \in S.$
Soal 12
Sebuah fungsi dikatakan aditif jika $$f(x+y) = f(x) + f(y) $$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}.$ Buktikan bahwa jika $f$ kontinu di suatu titik $x_0,$ maka fungsi tersebut kontinu di setiap titik dari $\mathbb{R}.$
Jawab: Sebelumnya, karena $f$ aditif, maka diperoleh bahwa $$f(x) = f(x-x_0) + f(x_0) $$dan $$f(x-x_0) = f(x) – f(x_0) $$Dari kekontinuan $f$ di $x_0,$ kita punya $$\lim_{x \to x_0} (f(x) – f(x_0)) = 0 $$ Akibatnya, $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to x_0} f(x-x_0) = 0$$
Kemudian, misalkan $c$ adalah sebarang bilangan real. Kita akan menunjukkan bahwa $f$ kontinu di $c.$ Perhatikan bahwa untuk setiap $x \in \mathbb{R},$ kita punya $$f(x) = f(x-c) + f(c) \cdots (1)$$Karena $$\lim_{x \to c} f(x-c) = \lim_{x \to 0} f(x) = 0, $$maka $$\begin{aligned}\lim_{x \to c} (f(x-c)+f(c)) &= \lim_{x \to 0} \left( f(x)\right) + f(c) \\ &= 0+f(c) \\ &= f(c) \end{aligned} $$Akibatnya, dari $(1),$ kita dapat melihat bahwa $\lim_{x \to c} f(x)$ dan $$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c}(f(x-c) + f(c)) = f(c) $$Sehingga, $f$ kontinu di $c.$ Karena $c$ adalah bilangan real sebarang dan diperoleh bahwa $f$ kontinu di $c,$ maka dapat disimpulkan bahwa $f$ kontinu pada $\mathbb{R}.$
Soal 13
Misalkan bahwa $f$ adalah fungsi kontinu aditif pada $\mathbb{R}.$ Jika $c = f(1),$ tunjukkan bahwa $f(x) = cx$ untuk semua $x \in \mathbb{R}.$
Jawab: Perhatikan bahwa berdasarkan hasil sebelumnya, diperoleh $f(0) = 0. $Misalkan bahwa $n \in \mathbb{N}.$ Maka, untuk sebarang $x,$ berlaku $$\begin{aligned} f(nx) &= f((n-1)x) + f(x) \\ &= f((n-2)x) + f(x) + f(x) \\ &= f(x)+f(x)+ \cdots + f(x) \end{aligned}$$dengan angka $f(x)$ pada penjumlahan terakhir tersebut ada sebanyak $n.$ Sehingga, untuk setiap bilangan asli $n,$ diperoleh $$f(nx) = n f(x).$$ Anda dapat membuktikannya lebih lanjut dengan menggunakan induksi matematika.
Selain itu, berdasarkan hasil tersebut kita punya $$\begin{aligned} f(1) &= f \left(\frac{n}{n}\right) \\ &= f \left(\frac{1}{n} \cdot n \right)\\ &= n f\left( \frac{1}{n} \right)\end{aligned} $$Ini berakibat bahwa $f(1/n) = (1/n) f(1) = c/n$ untuk setiap bilangan asli $n.$
Kemudian, $$0=f(0)=f(-nx+nx) = f(-nx)+f(nx) $$berakibat bahwa $f(-nx) = -f(nx) = -n f(x)$ untuk setiap bilangan asli $n.$ Oleh karena itu, untuk setiap bilangan bulat $n,$ kita punya $f(nx) = n f(x).$
Selanjutnya, misalkan $r$ adalah sebarang bilangan rasional. Kita tuliskan $r = m/n$ dengan $m \in \mathbb{Z}$ dan $n \in \mathbb{N}.$ Dari sini, dengan sifat yang telah diperoleh sebelumnya, $$\begin{aligned} f(r) &= f\left( \frac{m}{n}\right) \\&= f\left(m\cdot \frac{1}{n}\right)\\&= m f\left( \frac{1}{n}\right) \\ &= m\cdot \frac{1}{n} f(1)\\ & = \frac{m}{n} f(1) = r f(1) = c r \end{aligned} $$Akibatnya, $f(r) = cr$ untuk setiap bilangan rasional $r.$
Misalkan $x \in \mathbb{R}$ adalah sebarang bilangan irasional. Karena bilangan rasional padat di $\mathbb{R},$ maka terdapat barisan bilangan rasional $(r_n)$ sedemikian sehingga $r_n \to x.$ Karena $r_n \in \mathbb{Q},$ maka $f(r_n) = c r_n.$ Akibatnya, $$\begin{aligned}\lim (f(r_n)) &= \lim (c r_n) \\ &= c \lim r_n \\ &= c x \end{aligned} $$Berdasarkan kriteria barisan untuk kekontinuan fungsi, maka $f(r_n) \to f(x).$ Sehingga, dengan ketunggalan limit, maka haruslah $f(x) = cx.$
Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa $f(x) = cx$ untuk setiap bilangan irasional $x.$ Jadi, $f(x) = cx$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
Soal 14
Misalkan $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ memenuhi hubungan $$g(x+y) = g(x) g(y) $$untuk semua $x, y \in \mathbb{R}.$ Tunjukkan bahwa jika $g$ kontinu di $x = 0,$ maka $g$ kontinu di setiap titik dari $\mathbb{R}.$ Juga jika kita punya $g(a) = 0$ untuk suatu $a \in \mathbb{R},$ maka $g(x) = 0$ untuk semua $x \in \mathbb{R}.$
Jawab: Asumikan bahwa $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ memenuhi hubungan $$g(x+y) = g(x) g(y) $$untuk semua $x, y \in \mathbb{R}$ dan kontinu di $x = 0.$ Misal $g(a) = 0$ untuk suatu $a.$ Misalkan $x$ adalah sebarang bilangan real. Maka, dengan asumsi, diperoleh bahwa $$g(x) = g(x-a+a) =g(x-a) g(a) = 0 $$Sehingga, kita punya $g(x) = 0$ untuk semua $x$ di $\mathbb{R}.$
Selanjutnya, kita akan tunjukkan bahwa $g$ kontinu pada $\mathbb{R}.$ Untuk itu, diberikan sebarang titik $c$ di $\mathbb{R.}$ Karena $g$ kontinu di $x = 0,$ maka $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $$Karena limit tersebut ada, maka $$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to c} g(x-c) $$Kemudian, dari asumsi sebelumnya, maka $$\begin{aligned} g(x) &= g(x-c+c)\\ &= g(x-c) g(c)\end{aligned} $$Karena $\lim_{x \to c} g(x-c)$ ada, maka $\lim_{x \to c} g(x-c) g(c)$ ada dengan $$\lim_{x \to c} g(x-c) g(c) = g(c) \lim_{x \to c} g(x-c) = g(c) g(0) $$
Dari sini, $$\lim_{x \to c}g(x) = \lim_{x \to c} g(x-c) g(c) = g(c) g(0) $$Selanjutnya, kita akan menentukan nilai dari $g(0).$ Dari asumsi, kita peroleh $g(2x) = g(x)^2$ untuk setiap $x$ dengan mengambil $x=y.$ Karena $$g(0) = \lim_{x \to o} g(x) = \lim_{x \to 0} g(2x) $$maka, dengan teorema 1, diperoleh $$g(0) = g(0)^2 $$Dari sini, $g(0)$ bernilai $0$ atau $1.$
Jika $g(0) = 0,$ maka $g$ bernilai konstan pada $\mathbb{R}$ yang berakibat bahwa $g$ kontinu pada $\mathbb{R}.$ Sebaliknya, jika $g(0)$ bernilai $1,$ maka diperoleh bahwa $$\lim_{x \to c}g(x) = \lim_{x \to c} g(x-c) g(c) = g(c) g(0) = g(c) \cdot 1 = g(c) $$Oleh karena itu, $g$ kontinu di $c.$
Dari kedua kasus tersebut, kita dapat disimpulkan bahwa $g$ kontinu di $c.$ Dari sini, kita dapat disimpulkan bahwa $g$ kontinu pada $\mathbb{R}.$
Jadi, jika $g$ kontinu di $x = 0,$ maka $g$ kontinu di setiap titik dari $\mathbb{R}.$ Selain itu, jika kita punya $g(a) = 0$ untuk suatu $a \in \mathbb{R},$ maka $g(x) = 0$ untuk semua $x \in \mathbb{R}.$
Soal 15
Misal $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kontinu di titik $c,$ dan misalkan $$h(x) = \sup \{f(x), g(x)\} $$untuk $x \in\mathbb{R}.$ Tunjukkan bahwa $$h(x) = \frac{1}{2} (f(x) + g(x)) +\frac{1}{2} |f(x) – g(x)|$$ untuk semua $x \in \mathbb{R}.$ Gunakan ini untuk menunjukkan bahwa $h$ kontinu di $c.$
Jawab: Kita akan membagi menjadi beberapa kasus sebagai berikut. Kasus pertama, yaitu ketika $f(x) \geq g(x).$ Sedangkan kasus kedua adalah $f(x) < g(x).$
Kasus I: Jika $f(x) \geq g(x),$ maka $f(x) – g(x) /geq 0$ dan $$|f(x) – g(x)| = f(x) – g(x) $$yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} h(x) &= \sup \{ f(x), g(x) \} \\&=f(x) \\&= \frac{1}{2} (f(x) + g(x)) +\frac{1}{2} (f(x) – g(x))\\ &= \frac{1}{2} (f(x) + g(x)) +\frac{1}{2} |f(x) – g(x)|\end{aligned}$$
Kasus II: Selain itu, misalkan $f(x) < g(x).$ Maka $g(x) – f(x) > 0.$ Dari sini $$|f(x) – g(x)| = g(x) – f(x)$$ yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} h(x) &= \sup \{ f(x), g(x) \} \\& = g(x) \\ &=\frac{1}{2} (f(x) + g(x)) +\frac{1}{2} (g(x)-f(x))\\ &= \frac{1}{2} (f(x) + g(x)) +\frac{1}{2} |f(x) – g(x)|)\end{aligned}$$
Dari kedua kasus tersebut, kita perolah bahwa $$\begin{aligned} h(x) &= \sup\{ f(x), g(x) \} &= \frac{1}{2} (f(x) + g(x)) + \frac{1}{2}|f(x) – g(x)|\end{aligned} $$untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$ Kemudian, asumsikan bahwa $f$ dan $g$ kontinu di $c.$ Maka, berdasarkan hasil tersebut serta dengan teorema 1 dan 2, diperoleh bahwa $h$ kontinu di $c.$
Jadi, $$h(x) = \frac{1}{2} (f(x)+g(x))+\frac{1}{2}|f(x)-g(x)| $$untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ dan $h$ kontinu di $c.$
Demikian pembahasan kali ini tentang pembahasan soal analisis real bab 5 bagian 2 Fungsi kontinu (Kombinasi Fungsi-fungsi kontinu). Jika Anda tertarik dengan pembahasan Soal Analisis Real dari Buku Introduction to Real Analysis by Bartle and Sherbert, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
