Last Updated on Agustus 1, 2022 by prooffic
Postingan kali ini adalah tentang Teorema Rolle dan Buktinya. Teorema Rolle ini sangat berperan penting dalam matematika terutama pada bidang Analisis Real. Kajian awal tentang Turunan biasanya melibatkan Teorema Rolle. Berikut ini adalah pembahasan tentang Teorema Rolle dan Buktinya.
Baca Juga: Pembahasan Soal Analisis Real buku Bartle “Introduction to Real Analysis”
**Selamat Membaca**
Pendahuluan
Teorema Rolle pertama kali diperkenalkan oleh Michel Rolle (1652-1719). Ia adalah anggota dari French Academy dan membuat kontribusi pada geometri analitik dan hasil-hasil awal dalam bidang yang sekarang kita sebut sebagai Kalkulus. Teorema tersebut pada dasarnya dibuktikan pada tahun 1691 oleh Michel Rolle meskipun hanya untuk kasus fungsi polinomial. Bukti untuk kasus khusus diberikan oleh Cauchy pada tahun 1823 sebagai akibat dari teorema nilai rata-rata. Istilah Teorema Rolle sendiri pertama kali digunakan tahun 1834.
Baca Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Tingkat Universitas, Tingkat Wilayah, dan Tingkat Universitas
Pembahasan Soal ONMIPA Analisis Real
Pembahasan Soal ONMIPA 2022 Analisis Real Tingkat Wilayah
Teorema Rolle
Isi pernyataan dari Teorema Rolle adalah sebagai berikut.
Interpretasi dan Ilustrasi Teorema Rolle
Teorema Rolle pada dasarnya menyatakan bahwa jika nilai fungsi pada ujung interval adalah nol, maka terdapat titik di dalam interval tersebut sehingga turunan pertamannya adalah nol. Karena turunan pertama menyatakan gradien garis singgung, maka interpretasi lain dari teorema Rolle adalah bahwa jika nilai fungsi pada ujung interval adalah nol, maka terdapat titik di dalam interval sehingga gradien garis singgung kurva $f$ pada titik tersebut adalah nol. Dapat pula dikatakan bahwa jika nilai fungsi pada ujung interval adalah nol, maka terdapat titik di dalam interval sehingga garis singgung kurva $f$ pada titik tersebut adalah berupa garis horizontal (sejajar dengan sumbu$-x$).
Ilustrasi dari Teorema Rolle dapat dilihat pada gambar berikut.
Dari gambar tersebut, terlihat bahwa titik yang dimaksud merupakan nilai maksimum lokal ataupun nilai minimum lokal. Hal ini sama seperti pada pengetahuan awal kita dari kalkulus dasar bahwa nilai turunan dari fungsi pada titik ekstrim (berupa maksimum lokal atau minimum lokal) adalah nol.
Dari pengamatan tersebut, kita akan membuktikan teorema Rolle dengan menggunakan sifat turunan dari maksimum/minimum lokal. Bukti yang akan kita gunakan tidak akan menggunakan teorema nilai rata-rata karena nantinya kita akan menggunakan teorema Rolle untuk membuktikan teorema nilai rata-rata.
Bukti
Pada bagian ini akan dibuktikan teorema Rolle. Tetapi terlebih dahulu diberikan teorema terkait dengan turunan dari maksimum/minimum loka.
Definisi Maksimum dan Minimum Lokal
Berikut ini adalah definisi dari maksimum lokal.
Berikut ini adalah definisi minimum lokal.
Berdasarkan definisi tersebut, maka contoh dari maksimum global adalah $c$ pada gambar di atas. Sementara itu, contoh dari minimum lokal adalah $d$ pada gambar di atas.
Tununan fungsi di maksimum dan minimum lokal
Berikut ini adalah teorema yang akan digunakan untuk membuktikan teorema Rolle.
Misalkan $c$ adalah titik interior dari interval $I$ sedemikian sehingga $f : I \to \mathbb{R}$ mempunyai global maksimum di $c$. Jika $f$ memiliki turunan di $c$, maka $f'(c) = 0.$ Lebih lanjut, jika $d$ adalah titik interior dari $I$ sedemikian sehingga $f : \to \mathbb{R}$ mempunyai global minimum di $c$ dan juga memiliki turunan di titik tersebut, maka $f'(c) = 0.$
Bukti. Akan ditunjukkan bahwa $f'(c)=0$. Untuk itu, andaikan bahwa $f'(c) \neq 0.$ Maka, ada dua kemungkinan, yaitu $f'(c)>0$ atau $f'(c) <0.$ Terlebih dahulu asumsikan bahwa $f'(c) < 0.$
Karena $f$ memiliki turunan di $c$, maka untuk $\varepsilon = f'(c) >0$, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x\in I \cap (c-\delta, c+\delta)$ berlaku $$\left| \frac{f(x) – f(c)}{x-c} – f'(c) \right| < f'(c) $$yang berakibat bahwa $$\frac{f(x) – f(c)}{x- c} – f'(c) > -f'(c) $$dan $$\frac{f(x) – f(c)}{x-c} > 0 $$untuk $x\in I \cap (c-\delta, c+\delta).$ Akan tetapi, jika $x > c$ dan $x\in I \cap (c-\delta, c+\delta)$, berlaku $$f(x) – f(c) = \frac{f(x) – f(c)}{x-c} (x-c) > 0$$dan $$f(x) > f(c) $$yang kontradiksi dengan asumsi bahwa $f$ memiliki maksimum lokal di $c.$
Oleh karena itu, pengandaian salah dan tidak berlaku bahwa $f'(c)>0.$ Selanjutnya, asumsikan bahwa $f'(c)<0.$
Karena $f$ memiliki turunan di $c$, maka untuk $\varepsilon = – f'(c) >0$, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x\in I \cap (c-\delta, c+\delta)$ berlaku $$\left| \frac{f(x) – f(c)}{x-c} – f'(c) \right| < – f'(c) $$yang berakibat bahwa $$\frac{f(x) – f(c)}{x- c} – f'(c) < -f'(c) $$dan $$\frac{f(x) – f(c)}{x-c} < 0 $$untuk $x\in I \cap (c-\delta, c+\delta).$ Akan tetapi, jika $x < c$ dan $x\in I \cap (c-\delta, c+\delta)$, berlaku $$f(x) – f(c) = \frac{f(x) – f(c)}{x-c} (x-c) < 0$$dan $$f(x) < f(c) $$yang kontradiksi dengan asumsi bahwa $f$ memiliki minimum lokal di $c.$
Oleh karena itu, pengandaian salah dan tidak berlaku bahwa $f'(c)<0.$ Oleh karena itu, tidak benar bahwa $f'(c) \neq 0$ yang kontradiksi dengan pengandaian sehingga pengandaian salah dan haruslah $f'(c) = 0.$
Selanjutnya, misalkan bahwa $d$ adalah titik sehingga $f$ memiliki minimum lokal . Perhatikan bahwa $-f$ maksimum lokal di $d$. Berdasarkan kasus sebelumnya, maka $(-f)'(d)=0$ yang berakibat bahwa $f'(d) = 0$.
Jadi, jika $c$ adalah titik interior dari interval $I$ sedemikian sehingga $f : I \to \mathbb{R}$ mempunyai global maksimum di $c$ dan $f$ memiliki turunan di $c$, maka $f'(c) = 0.$ Lebih lanjut, jika $d$ adalah titik interior dari $I$ sedemikian sehingga $f : \to \mathbb{R}$ mempunyai global minimum di $c$ dan juga memiliki turunan di titik tersebut, maka $f'(c) = 0$ ♥
Bukti Teorema Rolle
Asumsikan bahwa $f$ adalah fungsi kontinu pada interval $I=[a,b]$ dan asumsikan bahwa $f’$ ada untuk setiap titik pada selang buka $(a,b).$ Selain itu, asumsikan bahwa $f(a) = f(b) =0.$ Jika $f(x) = 0$ pada interval tersebut, maka bukti selesai.
Asumsikan bahwa $f$ tidak identik dengan nol pada interval tersebut. Akan dibagi menjadi dua kasus, yaitu $f(x_1)>0$ untuk suatu $x_1$ di $(a,b)$ dan $f(x_2)<0$ untuk suatu $x_2 \in (a,b)$.
Terlebih dahulu asumsikan bahwa $f(x_1)>0$ untuk suatu $x_1$ di $(a,b)$. Berdasarkan teorema maksimum-minimum mutlak (kunjungi link ini untuk melihat tentang teorema maksimum-minimum mutlak), terdapat $c \in [a,b]$ yang merupakan maksimum global sedemikian sehingga $$f(c) = \sup_{x\in [a,b]} f(x). $$
Karena $f(x_1)>0$ untuk suatu $x_1$ di $(a,b)$, maka haruslah $$f(c) = \sup_{x\in [a,b]} f(x) >0 $$dan $c\in (a,b).$ Oleh karena itu, $f'(c)$ ada (ini disebabkan karena $c\in (a,b)$). Kemudian, perhatikan bahwa karena $f$ memiliki maksimum global di $c$, maka $f$ juga memiliki maksimum lokal di $c$. Oleh karena itu, berdasarkan teorema sebelumnya, $f'(c) = 0.$
Secara keseluruhan, terdapat $c\in (a,b)$ sedemikian sehingga $f'(c)=0.$
Selanjutnya, asumsikan $f(x_2)<0.$ Perhatikan bahwa $-f(x_2) > 0.$ Tinjau fungsi $g=-f$. Fungsi tersebut memiliki sifat bahwa $g(a) = 0 =g(b)$ dan terdapat $x_2\in (a,b)$ dengan $g(x_2) >0$. Selain itu, fungsi tersebut kontinu pada $I$ dan memiliki turunan pada interval $(a,b).$
Oleh karena itu, berdasarkan kasus sebelumnya, terdapat $c\in (a,b)$ sedemikian sehingga $g'(c) = 0$. Karena $g = -f$, maka $f'(c) = 0.$ Secara keseluruhan, jika $f(x_2)<0$ untuk suatu $x_2\in (a,b)$, maka $f'(c)=0$ untuk suatu $c\in (a,b)$.
Dari kedua kasus tersebut, dapat disimpulkan bahwa terdapat $c\in (a,b)$ sedemikian sehingga $f'(c) = 0.$ Jadi, jika $f$ adalah fungsi kontinu pada interval $I=[a,b]$ dan memiliki turunan pada interval buka $(a,b),$ serta $f(a) = f(b) =0,$ maka ada paling sedikit satu titik $c$ di $(a,b)$ sedemikian sehingga $f'(c) = 0$ ♥
Demikian postingan kali ini tentang Teorema Rolle dan Buktinya. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya tentang Analisis Real, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi/topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
