Last Updated on Agustus 1, 2022 by prooffic
Postingan kali ini adalah tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2022 Analisis Real Tingkat Wilayah. Soal Analisis Real ONMIPA 2022 terdiri dari dua bagian, yaitu Isian Singkat dan Uraian, dan masing-masing bagian terdiri dari dua nomor. Materi yang termuat dalam soal-soal berikut adalah barisan dan deret, turunan, dan integral.
**Selamat membaca**
Baca Juga
KNMIPA 2021 Analisis Real Tingkat Wilayah
Pembahasan Soal KNMIPA 2021 Tingkat Universitas, Tingkat Wilayah dan Tingkat Nasional
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Tingkat Nasional
Isian Singkat
Nomor 1
Jawab. Perhatikan bahwa untuk $x\neq y$ berlaku $$\begin{aligned} |f(x) – f(y)| & \leq |x^3 – x^2y|^2 \\ |f(x) – f(y)| & \leq |x^2|^2 |x-y|^2 \\ \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| & \leq |x|^4 |x-y|.\end{aligned}$$
Misalkan $c \in \mathbb{R}$ sebarang. Untuk $x \neq c$ diperoleh $$\left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right| \leq |x|^4 |x-c|.$$
Maka, dengan mengambil $x \to c$ diperoleh $$\begin{aligned} |f'(c)| & = \left|\lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \right| \\ & = \lim_{x \to c} \left| \frac{f(x) – f(c)}{x-c} \right| \\ & \leq \lim_{x \to c} |x|^4 |x-c| \\ & = 0. \end{aligned}$$
Ini berarti bahwa $f'(c) = 0$ untuk setiap $c \in \mathbb{R}.$ Oleh karena itu, $f$ konstan pada $\mathbb{R}.$
Dari sini, $$f(x) = f(1) = 1, \quad x \in \mathbb{R}. $$Jadi, $f(2022) = 1$ ♦
Soal 2
Jawab. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a_n & = \sum_{k=0}^n\frac{1}{n+k} \\ & = \sum_{k=0}^n \frac1n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \\ & = \frac1n \sum_{k=0}^n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}. \end{aligned}$$
Dengan mengenali bahwa jumlahan tersebut adalah jumlah Riemann untuk integral dari $x \mapsto 1/(1+x)$ untuk $x = 0$ sampai $1,$ maka diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n & = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+k} \\ & = \lim_{n \to \infty} \frac1n \sum_{k=0}^n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \\ & = \int_0^1 \frac{dt}{1+t} \\ & = \ln (1+t) |_{t=0}^{t=1} \\ & = \ln 2. \end{aligned}$$
Uraian
Soal 1
Jawab. Untuk membuktikan bahwa $\lim_{x \to \infty} f(x)$ ada, cukup dengan membuktikan bahwa $f$ naik murni dan terbatas di atas. Perhatikan bahwa karena $$f'(x) = \frac{x}{x^4 + [f(x)]^4} $$untuk setiap $x\in [1,\infty)$, maka $f'(x) > 0$ untuk setiap $x \in [1,\infty).$
Oleh karena itu, $f$ naik murni pada $[1,\infty).$ Selanjutnya, berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, diperoleh bahwa $$f(x) = \int_1^x f'(t) dt + f(1) = \int_1^x \frac{t dt}{t^4 + f(t)^4} + 1.$$
Dari ini, dengan fakta sebelumnya bahwa $f$ naik murni, $$\begin{aligned} |f(x)| & = \left| \int_1^x \frac{t dt}{t^4 + f(t)^4} + 1 \right| \\ & = \int_1^x \frac{t dt}{t^4 + f(t)^4} + 1 \\ & < \int_1^\infty \frac{t dt}{t^4 + f(1)^4} + 1 \\ &= \int_1^\infty \frac{t dt}{t^4 + 1} + 1 \\ & = \int_1^\infty \frac12 \cdot\frac{d(t^2)}{1 + t^4} +1 \\ & = \frac12 \int_1^\infty \frac{d(t^2)}{1 + (t^2)^2} + 1 \\ & = \frac12 \arctan (t^2) |_{t=1}^{t = \infty} + 1 \\ &= 1 + \frac{\pi}{8}. \end{aligned}$$
Akibatnya, $|f(x)| < 1 + \frac{\pi}{8}$ untuk setiap $x \in [1,\infty).$ Dari sini, $f$ terbatas. Karena $f$ monoton naik murni dan $f$ juga terbatas, maka dapat disimpulkan bahwa $\lim_{x \to \infty} f(x)$ ada. Kemudian, karena $|f(x)| < 1 + \frac{\pi}{8}$ untuk setiap $x \in [1,\infty),$ maka $\lim_{x \to \infty} f(x) \leq 1 + \frac{\pi}{8}.$
Jadi, $\lim_{x \to \infty} f(x)$ ada dan nilai limitnya tidak melebihi $1 + \frac{\pi}{8}$ ♦
Soal 2
Jawab. Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa $$1<|x_n| \leq 2 $$untuk setiap bilangan asli $n$. Untuk $n=1$ diperoleh $$1 < \sqrt{2} = x_1 < 2. $$
Asumsikan bahwa $1 < x_k \leq 2$ dengan $k \in \mathbb{N}.$ Maka, $$x_{k+1} = (\sqrt{2})^{x_{k}} > (\sqrt{2})^1 = \sqrt{2} > 1 $$dan $$x_{k+1} = (\sqrt{2})^{x_{k}} \leq (\sqrt{2})^2 = 2.$$
Dari sini, $$1 < x_{k+1} \leq 2. $$Oleh karena itu, dengan prinsip induksi matematika diperoleh bahwa $$1 < x_n < 2 $$untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$
Selanjutnya, tinjau fungsi bernilai real $f$ pada $(1,2]$ dengan $$f(x) = (\sqrt{2})^x, \quad x \in (1,2]. $$Maka, $$ \begin{aligned} f'(x) & = (\sqrt{2})^x \ln \sqrt{2} \\ & = (\sqrt{2})^x \ln x^\frac12 \\ & = (\sqrt{2})^x \frac12 \ln 2 \\ & = 2^{\frac{x}{2}-1} \ln 2. \end{aligned}$$
Dari sini, untuk $x, y \in (1,2]$ terdapat $c = c_{x,y}$ dengan $c$ antara $x$ dan $y$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned}|f(x) – f(y)| & = |f'(c)| |x-y| \\ & = 2^{\frac{c}{2}-1} (\ln 2) \cdot |x-y| \\ & \leq 2^{\frac{2}{2}-1} (\ln 2) \cdot |x-y| \\ & = (\ln 2) \cdot |x-y|. \end{aligned}$$
Catat bahwa $C = \ln$ berada pada interval $(0,1)$ dan $1 < x_n \leq 2, n \in \mathbb{N}$. Untuk setiap $n \in \mathbb{N},$ pilih $x = x_{n+1}$ dan $y = x_{n}$.
Maka, berdasarkan definisi untuk $(x_n)$ diperoleh $$f(x) = (\sqrt{2})^{x_{n+1}} = x_{n+2}$$ dan $$f(y) = (\sqrt{2})^{x_{n}} = x_{n+1}. $$Dari hubungan $$|f(x) – f(y)| \leq C |x-y| $$diperoleh $$|x_{n+2} – x_{n+1}| \leq C |x_{n+1} – x_n|.$$
Akibatnya, untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ berlaku $$|x_{n+2} – x_{n+1}| \leq C |x_{n+1} – x_n| $$dengan $C = \ln 2$ konstanta yang berada di interval $(0,1).$ Oleh karena itu, barisan $X=(x_n)$ adalah barisan kontraktif yang berakibat bahwa barisan tersebut adalah konvergen (lihat link ini untuk sifat tersebut).
Baca Juga: Barisan Kontraktif dan Aplikasinya.
Misalkan $x = \lim_{n \to \infty} x_n$. Berdasarkan hubungan $$x_n = (\sqrt{2})^{x_{n-1}} $$untuk $n>1,$ maka $$x = (\sqrt{2})^x. $$Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, diperoleh bahwa $x = 2.$
Jadi, $X$ adalah barisan konvergen dan nilai limitnya adalah $x = 2$ ♦
Catatan: Tebakan bahwa barisan tersebut terbatas di atas oleh $2$ adalah dari hubungan $$x_n = (\sqrt{2})^{x_{n-1}} $$untuk $n>1,$ yaitu $$\lim_{n\to \infty} x_n = (\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{\cdots}}}. $$Perhatikan bahwa $$(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{\cdots}}} = 2.$$
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2022 Analisis Real Tingkat Wilayah. Jika Anda tertarik dengan pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
