Last Updated on Juli 8, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang Barisan Kontraktif dan Penerapannya dalam Aproksimasi Akar Persamaan. Terlebih dahulu akan diberikan definisi dari barisan kotraktif. Kemudian, akan diberikan hubungan antara barisan kontraktif dan barisan Cauchy. Setelah itu, diberikan pula penerapan barisan kontraktif dalam menunjukkan konvergensi suatu barisan. Pembahasan diakhiri dengan penerapan barisan kontraktif dalam menentukan aproksimasi akar dari suatu persamaan.
**Selamat Menikmati**
Baca Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA 2021
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Matematika
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Analisis Real
Definisi Barisan Kontraktif
Berikut ini adalah definisi dari barisan kontraktif.
Suatu barisan $(x_n)$ dikatakan sebagai barisan kontraktif jika ada konstanta $C>0$ dengan $0<C<1$ sedemikian sehingga $$|x_{n+2}-x_{n+1}| \leq C |x_{n+1}-x_n| $$untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Konstanta $C>0$ disebut sebagai konstanta barisan kontraktif.
Salat satu contoh barisan kontraktif adalah barisan $(x_n)$ yang didefinisikan dengan $x_1=2$ dan $$x_{n+1} := 2 + \frac{1}{x_n}, \quad n > 1. $$Berikut ini adalah bukti bahwa barisan tersebut adalah barisan kontraktif.
Bukti. Akan ditunjukkan bahwa $(x_n)$ adalah barisan kontraktif dengan menggunakan definisi. Dapat dilihat bahwa $x_n \geq 2$ untuk setiap bilangan asli $n.$ Dari sini, untuk setiap bilangan asli $n > 1$ diperoleh $$\begin{aligned} |x_{n+2} -x_{n+1}| & = \left| \left( 2 + \frac{1}{x_{n + 1}} \right) – \left( 2 + \frac{1}{x_{n}} \right) \right| \\ & = \left| \frac{|x_{n+1} – x_n|}{x_{n+1} x_n} \right| \\ & \leq \frac14 |x_{n+1}-x_n| \end{aligned}$$
Ini menunjukkan bahwa $(x_n)$ adalah barisan kontraktif ♥
Hubungan Barisan Kontraktif dan Barisan Cauchy
Teorema berikut memberikan hubungan antara barisan kontraktif dan barisan Cauchy.
Bukti. Misalkan $(x_n)$ adalah barisan kontraktif, yaitu terdapat konstanta $C$ dengan $0<C<1$ dengan $$|x_{n+2} – x_{n+1}| \leq |x_{n+1} – x_n|, \quad n \geq 1. $$Perhatikan bahwa $$ \begin{aligned} |x_{n+2}-x_{n+1}| & \leq C |x_{n+1} – x_n| \\ & \leq C^2 |x_n – x_{n-1}| \\ & \leq C^3 |x_{n-1} – x_{n-2}| \\ & \vdots \\ & \leq C^n |x_2 – x_1 | \end{aligned}$$
Kemudian, misalkan $m, n$ adalah bilangan asli. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan bahwa $m>n.$ Dengan ketaksamaan segitiga dan juga rumus deret geometri tak hingga, diperolah bahwa $$\begin{aligned} |x_m – x_n| & \leq |x_{m} – x_{m-1}| + |x_{m-1} – x_{m-2}| + \cdots + |x_{n+1} – x_{n}| \\ & \leq C^{m-2} |x_2 – x_1| + C^{m-3} |x_2 – x_1| + \cdots C^{n-1} |x_2 – x_1| \\ & = (C^{m-2} + C^{m-3} + \cdots + C^{n-1}) |x_2 – x_1| \\ & < ( C^{n-1} + C^{n-1} + \cdots ) |x_2 – x_1| \\ & = C^{n-1} \frac{1}{1-C} |x_2 – x_1| \end{aligned}$$
Karena $0<C<1$, maka $\lim C^{n-1} = 0$. Berdasarkan ketaksamaan sebelumnya dan fakta bahwa $\lim C^{n-1} = 0$, diperoleh $(x_n)$ adalah barisan Cauchy.
Kemudian, berdasarkan kriteria Cauchy pada link ini, diperoleh bahwa $(x_n)$ merupakan barisan konvergen ♥
Sifat menarik lainnya dari barisan kontraktif adalah bahwa kita dapat mengaproksimasi nilai titik konvergensi dari barisan tersebut sebagaimana diperlihatkan pada teorema berikut.
Jika $(x_n)$ adalah barisan kontraktif dengan konstanta $C$. Misalkan $x = \lim x_n$. Maka,
- untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ berlaku $$|x- x_n| \leq \frac{C^{n-1}}{1 – C} |x_2 – x_1| $$
- untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ berlaku $$|x – x_n| \leq \frac{C}{1-C} |x_n – x_{n-1}|$$
Bukti. Berdasarkan teorema sebelumnya, $x = \lim x_n$ ada. Selain itu, diperoleh juga bahwa $$|x_m – x_n| \leq \frac{C^{n-1}}{1 – C} |x_2 – x_1|, \quad m > n $$Ambil $m \to \infty,$ diperoleh bahwa $$|x – x_n| \leq \frac{C^{n-1}}{1 – C} |x_2 – x_1|, \quad n \in \mathbb{N}. $$Ini menunjukkan bagian 1. Selanjutnya akan ditunjukkan untuk bagian 2.
Dengan ketaksamaan segitiga, $$ \begin{aligned} |x_m – x_n| & \leq |x_m – x_{m-1}| + |x_{m-1} – x_{m-2}| + \cdots + |x_{n+1} – x_n| \\ & \leq C^{m-(n+1)} |x_{n+1} – x_n| + C^{m-(n+1) -1} |x_{n+1} – x_n| + \cdots + |x_{n+1} – x_n| \\ & \leq (C^{m-n} + C^{m-n- 1} + \cdots + C) |x_n – x_{n-1}| \\ & \leq (C + C^2 + \cdots) |x_n- x_{n-1}|\end{aligned} $$untuk setiap bilangan asli $m $ dan $n$ dengan $m \geq n.$ Dengan mengambil $m \to \infty,$ diperoleh $$|x – x_n| \leq \frac{C}{1-C} |x_n – x_{n-1}| $$untuk setiap bilangan asli $n$ yang membuktikan bagian 2 ♥
Penerapan Barisan Kontraktif dalam Aproksimasi Akar Persamaan
Diketahui persamaan suku banyak $x^3 – 5x + 1 =0$ memiliki akar $r$ dengan $0 < r < 1.$ Akan digunakan barisan kontraktif untuk menentukan aproksimasi bagi $r.$
Terlebih dahulu persamaan suku banyak tersebut ditulis dalam bentuk $$x = \frac15 (x^3 + 1). $$Karena $0 < r < 1$, didefinisikan $x_1$ antara $0$ dan $1.$ Untuk $n>1,$ didefinisikan $$x_n := \frac15 (x_{n-1}^3 + 1).$$
Terlebih dahulu akan ditunjukan bahwa barisan yang telah didefinisikan tersebut adalah barisan kontraktif. Berdasarkan kontruksi, $0 < x_1 < 1.$ Kemudian, asumsikan bahwa $0 < x_k < 1$ dengan $k\in\mathbb{N}$. Maka, $$x_{k+1} = \frac15 (x_{k}^3 + 1) > \frac15 (0+1) = \frac15 >0. $$
Di lain pihak, $$x_{k+1} = \frac15 (x_{k}^3 + 1) < \frac15 (1^3 + 1) = \frac25 < 1. $$Oleh karena itu, dengan prinsip induksi matematika diperoleh $$0 < x_n < 1 $$untuk setiap bilangan asli $n.$
Kemudian, perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ berlaku $$\begin{aligned} |x_{n+2} – x_{n+1}| & = \left|\frac15 (x_{n+1}^3 + 1) – \frac15 (x_{n}^3 + 1)\right| \\ & = \frac15 |x_{n+1}^3 – x_n^3| \\ & = \frac15 |x_{n+1} – x_n| (x_{n+1}^2 + x_{n+1} x_n + x_n^2) \\ & \leq \frac15 |x_{n+1} – x_n| (1^2 + 1 \cdot 1 + 1^2) \\ & = \frac35 |x_{n+1} – x_n|. \end{aligned} $$Ini menunjukkan bahwa barisan $(x_n)$ adalah barisan kontraktif dengan konstanta $C=\frac35$.
Kemudian, perhatikan bahwa jika $x = \lim x_n,$ maka $x = \frac15 (x^3 + 1).$ Dari sini, berdasarkan asumsi, diperoleh $x = r$ dan $r = \lim x_n.$
Berdasarkan fakta tersebut, $r$ dapat diaproksimasi menggunakan $x_1, x_2, x_2$ dan seterusnya. Untuk tujuan tersebut, pilih $x_1 = 0.1.$ Berdasarkan kontruksinya, $x_2 = 0.2002$. Oleh karena itu, $$|x_2 – x_1| = |0.2002 – 0.1| = 0.1002.$$
Dari teorema sebelumnya, $$|r – x_n| \leq \frac{C^{n-1}}{1-C} |x_2 – x_1| = \frac{(3/5)^{n-1}}{1 – 3/5} |x_2 – x_1| < \frac52 \left(\frac35\right)^{n-1} \cdot 0.1002 = \left(\frac35\right)^{n-1} \cdot 0.2505 $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Sebagai contoh, pilih $n=7,$ maka $$|r – x_7| < 0.02. $$
Secara keseluruhan, cara menggunakan barisan kontraktif untuk mengaproksimasi akar dari suatu persamaan adalah terlebih dahulu mengubah bentuk persamaan tersebut yang memungkinkan untuk dikontruksi barisan kontraktif. Kemudian, tunjukkan bahwa barisan tersebut konvergen dan tentukan konstanta kontraktifnya. Gunakan teorema sebelumnya untuk menentukan errornya, yaitu suku sebelah kanan pada ketaksamaan. Setelah itu, tentukan nilai $n$ sesuai kebutuhan Anda.
Demikian postingan kali ini tentang Barisan Kontraktif dan Penerapannya dalam Aproksimasi Akar Persamaan. Postingan ini adalah postingan yang terkait dengan materi Analisis Real, jika Anda tertarik dengan materi Analisis Real lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
