Pembahasan Soal ONMIPA 2017 Analisis Kompleks

Last Updated on November 14, 2024 by prooffic

Postingan kali ini adalah tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2017 Analisis Kompleks. Pembahasan berikut terdiri dari Isian singkat.

**Selamat menikmati**

Soal 1

Berapa banyak akar berbeda dari persamaan $z^{12} = 1$ yang bukan merupakan bilangan real?

Jawab: Akan lebih memudahkan jika yang dicari terlebih dahulu adalah akar real. Untuk itu, perhatikan bahwa karena argumen dari $1$ adalah $0,$ maka berdasarkan rumus akar dari suatu bilangan kompleks, $$ z = exp \left(\frac{2\pi k}{12} i \right) $$dengan $k = 0, 1, \cdots, 11.$ $z$ akan bernilai real jika dan hanya jika $k = 0$ atau $k = 6.$ Sehingga, banyaknya akar yang bukan bilangan real adalah $12 – 2 = 10.$

Jadi, banyak akar berbeda dari persamaan $z^{12} = 1$ yang bukan merupakan bilangan real adalah 10.

Soal 2

Diketahui $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ adalah fungsi analitik dengan $$f(z) = u(x) + i v(y) $$untuk setiap bilangan kompleks $z = x + iy.$ Jika $f(20) = 17$ dan $f(17) = 20$ maka nilai dari $f(2017)$ adalah …

Jawab: Sebelumnya, karena $f(20)=17,$ maka $$17 = f(20)=f(20+i \cdot 0) = u(20)+iv(0)$$Akibatnya, $v(0)=0.$ Selain itu,  $f(2017)=u(2017)+i v(0) =u(2017).$ Sehingga, kita hanya perlu mencari $u(2017).$

Karena $f$ analitik, maka berdasarkan persamaan Cauchy-Riemann, diperoleh bahwa $u_x = v_y.$ Karena bagian real dari $f$ hanya bergantung dari $x$ dan bagian imajiner dari $f$ hanya bergantung dari $y,$ maka haruslah $u_x = v_y$ adalah bilangan konstan. Misalkan $u_x = v_y = a$ untuk suatu bilangan real $a.$ Sehingga, $u(x) = ax+b$ dan $v(y)=ay+c$ untuk suatu bilangan real $b$ dan $c.$ Oleh karena itu, $u(x)$ dan $v(y)$ adalah fungsi linear masing-masing terhadap $x$ dan $y.$

Selain itu, karena $f(20) = 17$ dan $f(17) = 20,$ maka $$\begin{aligned}17 &= f(20) =  u(20) + iv(0) = u(2) \\ 20 &= f(17) = u(17) + i v(0) = u(17)\end{aligned}$$

Sehingga, diperoleh sistem persamaan linear dua variabel, yaitu $$\begin{aligned} a (20)+b & = u(20) = 17 \\ a(17) + c &= u(17) =20\end{aligned}$$Jika persamaan tersebut diselesaikan, maka diperoleh bahwa $a = -1$ dan $b=37.$ Oleh karena itu, $$u(2017) = (-1)(2017)+37 = -1980$$

Jadi, $f(2017) = -1980$ ♥

Soal 3

Untuk sebarang bilangan kompleks $a$ dan bilangan real positif $r,$ didefinisikan $$D_r^a = \{z\in\mathbb{C} : |z-a|<r\}. $$Jika fungsi $$T(z) = \frac{z}{z+1} $$memenuhi $$T^{-1}(D_r^0) = D_{2017r}^a, $$maka $a = …$

Jawab: Dengan manipulasi aljabar, diperoleh bahwa $$T(z) = \frac{z}{1-z} = -\left(1+\frac{1}{z-1}\right) $$Agar $T^{-1}$ terdefinisi pada $D^0_r$, maka haruslah $r<1$. Kemudian, misalkan fungsi-fungsi $f,g,h,k$ dengan $$f(z)=1+z, g(z)=\frac{1}{z}, h(z)=z-1, k(z)=-z. $$

Maka, $$T^{-1}(z) = k \circ f \circ g \circ h (z). $$Kemudian, perhatikan bahwa $f$ dan $h$ merupakan translasi. Selain itu, $k$ adalah rotasi. Didefinisikan $$\tilde{D}_r^a = \{z\in\mathbb{C}:|z-a|=r\}.$$ Karena $T^{-1}$ pada dasarnya adalah transformasi fraksional linear, maka kita cukup meninjau himpunan $\tilde{D}_r^a$ dibandingkan dengan $T^{-1}(D_r^0)$.

Berdasarkan sifat dari $h,$ diperoleh $$\tilde{D}_r^0 \xrightarrow{h} \tilde{D}_r^{-1}. $$Dengan sifat $g$ diperoleh $$ \tilde{D}_r^{-1} \xrightarrow{g} \tilde{D}^{\frac{1}{r-1}}_{\frac{\sqrt{r}}{1-r}}. $$ Dengan sifat $f$ diperoleh $$\tilde{D}^{\frac{1}{r-1}}_{\frac{\sqrt{r}}{1-r}} \xrightarrow{f} \tilde{D}^{\frac{1}{r-1}+1}_{\frac{\sqrt{r}}{1-r}} = \tilde{D}_{\frac{r}{r-1}}^{\frac{\sqrt{r}}{1-r}}$$

Selanjutnya, dengan sifat $k$ diperoleh $$\tilde{D}^{\frac{r}{r-1}}_{\frac{\sqrt{r}}{1-r}} \xrightarrow{k} \tilde{D}^{-\frac{r}{r-1}}_{\frac{\sqrt{r}}{1-r}}$$

Dengan $$ \tilde{D}^{-\frac{r}{r-1}}_{\frac{\sqrt{r}}{1-r}} = \tilde{D}_{2017r}^a, $$maka $$\frac{\sqrt{r}}{1-r} = 2017 $$dan dengan mengkuadratkan kedua ruas diperoleh $$r^2-2019r+1=0 $$yang berakibat bahwa (dengan rumus akar persamaan kuadrat) $$r = \frac{2019 \pm \sqrt{2015\cdot 2023}}{2}$$

Kemudian, diperoleh juga bahwa $$\begin{aligned} a & = -\frac{r}{r-1} \\ & = – 1 -\frac{1}{r-1} \\ & = -1 – \frac{2}{2017\pm \sqrt{2015\cdot 2023}} \\ & = \frac{-2019 \mp \sqrt{2015\cdot 2023}}{2017 \pm \sqrt{2015\cdot 2023}} \end{aligned}$$

Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $$\frac{-2019 \mp \sqrt{2015\cdot 2023}}{2017 \pm \sqrt{2015\cdot 2023}}$$

Soal 4

Misalkan $f$ adalah suku banyak berderajat $2$ yang memenuhi $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=2} \frac{zf'(z)}{f(z)} dz =0 $$dan $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=2} \frac{z^2 f'(z)}{f(z)} dz = -2. $$

Jika $f(0)=2017,$ maka rumus eksplisit dari $f(z)$ adalah …

Jawab: Karena $f$ adalah polinom berderajat $2,$ maka dapat ditulis $$f(z) = a (z-z_1)(z-z_2). $$Dari sini, $$f'(z) =a( 2z – (z_1+z_2))$$

Berdasarkan sifat residu, diperleh bahwa $$0=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=2} \frac{z f'(z)}{f(z)} dz = Res_{z=z_1} \frac{z f'(z)}{f(z)} + Res_{z=z_2} \frac{z f'(z)}{f(z)} $$dan $$-2=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=2} \frac{z^2 f'(z)}{f(z)} dz = Res_{z=z_1} \frac{z^2 f'(z)}{f(z)} + Res_{z=z_2} \frac{z^2 f'(z)}{f(z)} $$

Kemudian, karena $$\frac{z f'(z)}{f(z)} = \frac{z(2z-(z_1+z_2))}{(z-z_1)(z-z_2)}, $$maka dengan sifat residu diperoleh bahwa $$Res_{z=z_1} \frac{z f'(z)}{f(z)} = \frac{z_1(2z_1 – (z_1+z_2))}{z_1-z_2} = z_1$$dan $$Res_{z=z_2} \frac{z f'(z)}{f(z)} = \frac{z_2(2z_2 – (z_1+z_2))}{z_2-z_1} =z_2 $$yang berakibat bahwa $$0 = z_1+z_2$$

Selanjutnya, karena $$\frac{z^2 f'(z)}{f(z)} = \frac{z^2(2z-(z_1+z_2))}{(z-z_1)(z-z_2)}, $$maka dengan sifat residu diperoleh bahwa $$Res_{z=z_1} \frac{z^2 f'(z)}{f(z)} = \frac{z_1^2(2z_1 – (z_1+z_2))}{z_1-z_2} = z_1^2$$dan $$Res_{z=z_2} \frac{z^2 f'(z)}{f(z)} = \frac{z_2^2(2z_2 – (z_1+z_2))}{z_2-z_1} =z_2^2 $$yang berakibat bahwa $$-2 = z_1^2+z_2^2$$

Secara keseluruhan, diperoleh hubungan $$z_1+z_2 = 0,\quad z_1^2+z_2^2 = -2 $$yang berakibat bahwa $z_1=-z_2$ dan $$2z_2^2 = – 2. $$Dari sini, $z_2 = \pm i$ dan $z_1 = \mp i.$

Akibatnya, $$f(z)=a(z-i)(z+i). $$Karena $f(0)=2017, $maka $a z_1 z_2 = 2017a$ yang mengimplikasikan bahwa $$a(i)(-i)=2017 $$dan $a=2017.$ Jadi, $f(z)=2017(z-i)(z+i)=2017(z^2+1)$ ♥

Bagian Kedua

Soal 1

Misalkan $\lambda$ bilangan kompleks yang memenuhi $\lambda^{2017} = 1$ dan $\lambda \neq 1$

1. Buktikan bahwa $1,\lambda, \lambda^2, \lambda^3, …, \lambda^{2016}$ semuanya berbeda.
2. Hitungan nilai dari $$(1-\lambda)(1-\lambda^2)(1-\lambda^2) \cdots (1-\lambda^{2016})$$

Jawab. Asumsikan bahwa $\lambda$ memenuhi $\lambda^{2017} = 1$ dan $\lambda \neq 1.$ Berdasarkan rumus akar bilangan kompleks, diperleh bahwa $$\lambda = \exp\left(\frac{0+2k\pi}{2017}\right) = \exp\left(\frac{2k\pi}{2017}\right) $$dengan $k = 0, 1, …, 2016$.

Karena $\lambda \neq 1,$ maka $k$ yang memenuhi adalah $\{1,2, …, 2016\}.$ Diberikan $k$ tetap.

Misalkan $j \in \{1,…,2016\}$. Perhatikan bahwa $$\lambda^j = \exp\left(\frac{2jk\pi}{2017}\right) \neq 1. $$Selanjutnya, misalkan $j,l \in \{1,2,…,2016\}$ berbeda. Akan ditunjukkan bahwa $\lambda^j \neq \lambda^l.$

Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan bahwa $j>l.$ Andaikan bahwa $\lambda^j = \lambda^l$. Dari sini, $$\exp\left(\frac{2jk\pi}{2017}\right) = \exp\left(\frac{2lk\pi}{2017}\right) $$dan $$\exp\left(\frac{2(j-l)k\pi}{2017}\right) = 1. $$

Lebih lanjut, $$\frac{2(j-l)k\pi}{2017} = 2m\pi $$untuk suatu $m \in \mathbb{Z^+}.$ Akibatnya, $$(j-l)k = 2017m. $$Perhatikan bahwa $2017$ adalah bilangan prima. Selain itu, karena $j,l\in \{1,2,…,2016\}$ berbeda dan $k \in \{1,2, …, 2016\},$ maka ruas kiri pada persamaan terakhir tidak habis dibagi oleh 2017. Sementara itu, ruas kanan habis dibagi $2017.$

Hal tersebut tidak mungkin sehingga pengandaian salah dan haruslah $\lambda^j \neq \lambda^l$. Secara keseluruhan, diperoleh bahwa $1,\lambda, \lambda^2, \lambda^3, …, \lambda^{2016}$ semuanya berbeda.

Selanjutnya akan ditentukan nilai dari $$(1-\lambda)(1-\lambda^2)(1+\lambda^2) \cdots (1-\lambda^{2016}). $$ Misalkan $\lambda$ tetap dan memenuhi asumsi pada soal. Tinjau fungsi $f(z)=z^2017-1.$ Perhatikan bahwa $$f(z)=(z-1)(z-\lambda)(z-\lambda^2) \cdots (z-\lambda^{2016}).$$

Kemudian, $f'(z) = 2017z^{2016}.$ Di lain pihak, dengan bentuk sebelumnya diperoleh $$f'(z) = (z-\lambda)(z-\lambda^2) \cdots (z-\lambda^{2016}) + (z-1)H_{\lambda} (z) $$untuk suatu polinom $H_{\lambda} (z).$ Dari sini, $$2017 z^{2016} = (z-\lambda)(z-\lambda^2) \cdots (z-\lambda^{2016}) + (z-1)H_{\lambda} (z)$$

Ambil $z=1,$ diperoleh bahwa $$2016 = (1-\lambda)(1-\lambda^2) \cdots (1-\lambda^{2016}). $$Jadi, $$(1-\lambda)(1-\lambda^2)(1+\lambda^2) \cdots (1-\lambda^{2016}) = 2016.$$

Catatan: Soal asli pada naskah adalah $$(1+\lambda)(1+\lambda^2)(1+\lambda^2) \cdots (1+\lambda^{2016})$$

Soal 2

Diberikan bilangan real positif $M$. Misalkan fungsi analitik $f:D\to \mathbb{C}$ dengan $D=\{z:|z|\leq 1\} $mempunyai bentuk deret $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n $$dan memenuhi bahwa $|f(z)| \leq M$ untuk setiap $z\in D.$

a) Untuk setiap $n \geq 0$ dan $0<r<1,$ buktikan bahwa $$|a_n| = \frac{1}{2\pi} \left|\int_{|z|=r} \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz\right|.$$
b) Dengan menggunakan (a) dan mengambil $r\ to 1,$ buktikan bahwa $|a_n| \leq M$ untuk setiap $n \geq 0.$

Jawab. Karena $f$ analitik, maka berdasarkan ekpansi deret untuk $f$, diperoleh bahwa $$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}, \quad n \geq 0. $$Lebih lanjut, berdasarkan teorema integral Cauchy, diperoleh bahwa $$f^{n}(0) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{|z|=r} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}} d\zeta. $$

Dari sini, $$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{1}{n!} \frac{n!}{2\pi i}\int_{|z|=r} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}} d\zeta = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=r} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}} d\zeta. $$Dengan mengambil nilai mutlak, maka diperoleh $$|a_n|=\frac{1}{2\pi} \left|\int_{|z|=r} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}} d\zeta\right|. $$Jadi, $$|a_n|=\frac{1}{2\pi} \left|\int_{|z|=r} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}} d\zeta\right|. $$

Kemudian, dengan menggunakan sifat dasar integral kompleks, diperoleh bahwa $$|a_n| \leq \frac{1}{2\pi} \int_{|z|=r} \frac{|f(\theta)|}{|\theta|^{n+1}} d\theta \leq \frac{1}{2\pi} \frac{M}{r^{n+1}} 2\pi r = \frac{M}{r} $$untuk setiap $n \geq 0$ dan $0<r<1$. Dengan mengambil $r\to 1,$ diperoleh bahwa $$|a_n| \leq M $$untuk setiap $n \geq 0$ ♥

Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2017 Analisis Kompleks. Postingan ini terkait dengan pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi/topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.