Last Updated on Juni 27, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang fungsi kontinu pada interval. Fungsi kontinu pada interval, terutama interval tutup terbatas, memiliki beberapa sifat yang menarik. Sifat-sifat tersebut adalah terkait dengan keterbatasan dan nilai maksimum dan nilai minimum. Pada artikel ini, kita akan membuktikan bahwa fungsi kontinu kontinu pada interval tutup terbatas akan terbatas pada interval tersebut. Lebih lanjut, kita akan menunjukkan bahwa fungsi kontinu pada interval tutup terbatas memiliki nilai maksimum dan minimum mutlak.
Terlebih dahulu diberikan definisi fungsi tersebut dan nilai maksimum/minimum mutlak. Untuk definisi fungsi kontinu, pembaca dapat merujuk pada artikel ini.
**Selamat menikmati**
Pendahuluan
Pada bagian ini, diberikan definisi mengenai fungsi terbatas dan juga nilai maksimum dan minimum mutlak pada suatu himpunan. Berikut ini adalah definisi fungsi terbatas.
Definisi Fungsi Terbatas
Misalkan $f$ adalah fungsi bernilai real dari $A \subseteq \mathbb{R}.$ Fungsi $f$ dikatakan terbatas pada $A$ jika ada $M>0$ sedemikian sehingga $$|f(x)| \leq M, \quad x \in A.$$
Sebagai contoh, misalkan fungsi $f$ pada $A=[0,1]$ dengan $f(x)=x.$ Jelas bahwa $|f(x)| \leq 1$ untuk setiap $x$ di $A.$ Di sini, $M=1$. Apakah hanya $M=1$? Tentu saja tidak, semua bilangan real yang lebih dari $1$ akan memenuhi juga.
Dari definisi tersebut, kita dapat melihat bahwa suatu fungsi bernilai real $f$ pada $A \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan tidak terbatas jika untuk setiap $M>0$ berlaku $$|f(x_M)| > M $$untuk suatu $x_M \in A.$ Dengan kata lain, suatu fungsi bernilai real $f$ pada $A \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan tidak terbatas jika untuk setiap $M>0$ terdapat suatu $x_M \in A$ sedemikian sehingga $$|f(x_M)| > M.$$
Tinjau kembali $f$ dengan $f(x)=x$. Akan tetapi, kita pilih $A=[0,\infty).$ Diberikan $M>0.$ Jelas bahwa $x_M=M+1>$. Lebih lanjut, $$|f(x_M)|=|x_M|=M+1>M. $$Ini menunjukkan bahwa $f$ tidak terbatas pada $A.$
Pada kedua contoh tersebut, meskipun rumus fungsinya sama, yaitu $f(x)=x,$ akan tetapi $f$ terbatas pada contoh yang sama dan $f$ tidak terbatas pada contoh kedua. Yap, karena domain dari kedua fungsi berbeda.
Kedua contoh tersebut memberikan penekanan kepada kita bahwa domain fungsi sangat berpengaruh apakah fungsi tersebut terbatas atau tidak.
Nilai Maksimum/Minimum Mutlak
Suatu fungsi bernilai real $f$ pada $A\subseteq \mathbb{R}^n$ dikatakan memiliki nilai maksimum mutlak pada $A$ jika ada $x^* \in A$ sedemikian sehingga $$f(x^*)=\sup_{x\in A} f(x).$$ Dengan kata lain, $f$ mencapai maksimumnya pada himpunan tersebut. Kemudian, fungsi bernilai real $f$ pada $A\subseteq \mathbb{R}^n$ dikatakan memiliki nilai minimum mutlak pada $A$ jika ada $x_* \in A$ sedemikian sehingga $$f(x_*)=\inf_{x\in A} f(x).$$ Dengan kata lain, $f$ mencapai minimumnya pada himpunan tersebut.
Perhatikan grafik berikut.
Warna hijau menunjukkan grafik fungsi $f$ pada $[0,2)$ dengan $f(x)=x^2.$ Dapat dilihat bahwa $$\sup_{x\in [0,2)} = 4,$$akan tetapi tidak ada $x\in[0,2)$ sedemikian sehingga $f(x)=4.$ Oleh karena itu, $f$ tidak mencapai maksimum mutlak pada $[0,2).$ Kita juga dapat melihat bahwa $f$ mencapai minimum mutlak di $x_* = 0.$
Fungsi Kontinu pada Interval Tutup Terbatas
Pada pembahasan definisi fungsi terbatas sebelumnya, meskipun fungsi $f(x)$ kontinu pada kedua contoh, akan tetapi keterbatasan fungsi tersebut bergantung pada domainnya. Lalu, domain seperti apakah yang menjamin fungsi kontinu tersebut terbatas? Jawabannya ada pada teorema berikut.
Teorema fungsi kontinu pada interval tutup terbatas merupakan fungsi yang terbatas
Misalkan $f$ adalah fungsi bernilai real pada interval tutup terbatas $I=[a,b]$. Jika $f$ kontinu pada $I,$ maka $f$ terbatas pada $I.$
Bukti. Kita akan membuktikan teorema tersebut dengan menggunakan kontradiksi. Untuk itu, andaikan $f$ tidak terbatas pada $I.$
Maka, berdasarkan definisi sebelumnya, untuk setiap bilangan asli $n>0$, terdapat $x_n \in I$ sedemikian sehingga $$|f(x_n)|>n.$$ Dari sini, diperoleh barisan $(x_n)$ di $I$ sedemikian sehingga $$|f(x_n)|>n. $$
Karena $x\in I$ untuk setiap bilangan asli $n$, maka $a \leq x_n \leq b$ untuk setiap bilangan asli $n.$ Dari sini, $(x_n)$ terbatas sehingga berdasarkan Teorema Bolzano-Weierstrass, terdapat subbarisan $(x_{n_k})$ dari $(x_n)$ yang konvergen ke $x.$
Lebih lanjut, diperoleh juga bahwa $a\leq x \leq b$ dan $x\in I.$ Kemudian, berdasarkan kriteria barisan untuk fungsi kontinu, diperoleh bahwa $(f(x_{n_k}))$ konvergen ke $f(x)$ karena $x_{n_k}\to x.$
Di lain pihak, karena $$|f(x_n)|>n,\quad n\in\mathbb{N}, $$maka $$|f(x_{n_k})|>n_k \neq k $$yang bertentangan dengan hasil yang diperoleh bahwa $(f(x_{n_k}))$ konvergen ke $f(x)$ karena $x_{n_k}\to x.$
Oleh karena itu, pengandaian salah dan haruslah $f$ terbatas pada $I$ ♥
Secara keseluruhan, pembuktiannya dapat menggunakan kontradiksi, yaitu dimulai dengan pengandaian yang memunculkan suatu barisan yang memiliki subbarisan yang konvergen tetapi barisan fungsi atas elemen-elemen barisan tersebut tidak terbatas. Dengan teorema Bolzano-Weierstrass dan kriteria barisan fungsi kontinu, diperoleh kontradiksi.
Teorema tersebut memberitahukan kepada kita bahwa domain fungsi kontinu yang menjamin fungsi tersebut terbatas pada domainnya adalah interval tutup dan terbatas.
Selanjutnya kita akan melihat fungsi kontinu pada interval tutup terbatas terkait dengan nilai maksimum dan minimum mutlak. Pada contoh yang diuraikan terkait dengan definisi fungsi yang memiliki nilai maksimum dan minimum mutlak, fungsi kontinu $f$ memiliki nilai minimum mutlak tetapi tidak memiliki nilai maksimum mutlak. Sama seperti teorema sebelumnya, domain yang menjamin agar fungsi kontinu memiliki nilai maksimum dan minimum mutlak adalah interval tutup terbatas sebagaimana pada teorema berikut.
Teorema fungsi kontinu pada interval tutup terbatas memiliki nilai maksimum dan minimum mutlak
Misalkan $f$ adalah fungsi bernilai real pada interval tutup terbatas $I=[a,b].$ Maka, ada $x^* \in I$ dan $x_* \in I$ sedemikian sehingga $$f(x^*) = \sup_{x \in I} f(x) $$dan $$f(x_*) = \inf_{x \in I} f(x).$$
Bukti. Terlebih dahulu ditunjukkan bahwa ada $x^* \in I$ sedemikian sehingga $$f(x^*) = \sup_{x \in I} f(x). $$Tinjau himpunan $$\mathcal{I}=\{f(x): x\in I\}.$$
Himpunan tersebut bukanlah merupakan himpunan kosong. Berdasarkan teorema sebelumnya, terdapat $M>0$ sedemikian sehingga $$|f(x)| \leq M $$untuk setiap $x\in I.$ Oleh karena itu, $\mathcal{I}$ merupakan himpunan tak kosong yang terbatas di atas.
Berdasarkan sifat kelengkapan bilangan real, diperoleh bahwa $\sup \mathcal{I}$ ada. Kemudian, dari definisi supremum, untuk setiap $n\in\mathbb{N},$ terdapat $x_n\in I$ sedemikian sehingga $$\sup \mathcal{I} – \frac{1}{n} < f(x_n) \leq \sup \mathcal{I}$$
Secara keseluruhan, diperoleh barisan $(x_n)$ di $I$ sedemikian sehingga $$\sup \mathcal{I} – \frac{1}{n} < f(x_n) \leq \sup \mathcal{I} $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Karena $(x_n)$ di $I$, maka $a \leq x_n \leq b$ untuk setiap bilangan asli $n$ yang berakibat bahwa $(x_n)$ terbatas.
Dari sini, $(x_n)$ memiliki subbarisan $(x_{n_k})$ dari $(x_n)$ yang konvergen ke $x^* \in \mathbb{R}.$ Lebih lanjut, dengan sifat konvergensi barisan, $x^* \in I.$
Oleh karena itu, barisan $(x_{n_k})$ konvergen ke $x$ dan memenuhi bahwa $$\sup \mathcal{I} – \frac{1}{n_k} < f(x_{n_k}) \leq \sup \mathcal{I}. $$Berdasarkan kritera barisan untuk fungsi kontinu, diperoleh bahwa $f(x_{n_k}) \to f(x).$ Di lain pihak, karena $$\sup \mathcal{I} – \frac{1}{n_k} < f(x_{n_k}) \leq \sup \mathcal{I}, \quad k \in \mathbb{N} $$maka dengan teorema apit diperoleh bahwa $$\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = \sup \mathcal{I}.$$
Dengan ketunggalan limit, karena $f(x_{n_k})\to f(x^*)$ dan $f(x_{n_k})\to \sup \mathcal{I},$ maka $$f(x^*) = \sup \mathcal{I}. $$Oleh karena itu, $$\sup_{x\in I} f(x) = \sup \mathcal{I} = f(x^*).$$
Jadi, ada $x^* \in I$ sedemikian sehingga $$f(x^*) = \sup_{x \in I} f(x), $$dengan kata lain, $f$ memiliki nilai maksimum mutlak pada $I.$ Hal yang sama dapat dilakukan untuk menunjukkan bahwa ada $x_* \in I$ sedemikian sehingga $$f(x_*) = \inf_{x \in I} f(x). $$Perbedaannya hanya terletak pada penggunaan definisi infimum.
Kedua teorema tersebut memberihatukan kita bahwa fungsi kontinu pada interval tutup terbatas merupakan fungsi terbatas dan memiliki nilai maksimum dan minimum mutlak pada interval tersebut. Terdapat sifat menarik lainnya dari fungsi kontinu pada interval tutup terbatas, yaitu terkait dengan kekontinuan seragam yang akan dibahas pada artikel lainnya.
Postingan ini terkait dengan pembahasan materi analisis real, terutama fungsi kontinu. Jika Anda tertarik dengan materi analisis real terutama fungsi kontinu, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan pembahasan materi analisis real lainnya, silahkan ke sini, dan jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
