Last Updated on Juni 27, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang Pembahasan Soal KNMIPA 2022 Tingkat Universitas Negeri Makassar. Materi soal terdiri dari Kombinatorika, Analisis Real, Aljabar Linear, Analisis Kompleks, dan Struktur Aljabar.
**Selamat Menikmati**
Berikut adalah pembahasan Soal KNMIPA 2022 Tingkat Universitas Negeri Makassar bagian 1.
Bagian 1
Soal 1
Bilangan bulat positif $n$ terbesar agar $2^n$ membagi habis koefisien dari $y^{22}$ pada ekspansi $(3y+9)^{100}$ adalah …
Jawab. Terlebih dahulu kita menentukan koefisien dari $y^{22}$ pada ekspansi $(3y+9)^{100}$ dengan menggunakan teorema Binomial Newton. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (3y+9)^{100} &= 3^{100} (y+3)^{100} \\ & = 3^{100} \sum_{j=0}^{100} \binom{100}{k} 3^{100-k} y^k \end{aligned} $$Tinjau suku untuk $k=22$, yaitu $$3^{100}\binom{100}{22} 3^{100-22} y^{22} = 3^{100} \binom{100}{22} 3^{78} y^{22}$$
Oleh karena itu, koefisien dari $y^{22}$ pada ekspansi $(3y+9)^{100}$ adalah $$3^{100}\frac{100!}{78! 22!} 3^{78} =3^{178} \frac{100!}{78! 22!} $$
Dengan melakukan perhitungan, diperoleh bahwa nilai $n$ terbesar sehingga $2^n$ membagi $3^{178} \frac{100!}{78! 22!}$ adalah $4$ ♥
Baca Juga:
1) Pembahasan Soal KNMIPA/ONMIPA 2021
2) Soal 2Pembahasan Soal KNMIPA/ONMIPA Tingkat Nasional
Soal 2
Misalkan $(x_i, y_i, z_i)$ dengan $i=1,\cdots, 9$ adalah $9$ titik berbeda dengan koordinat bulat pada ruang $xyz$. Buktikan bahwa terdapat sepasang dari titik-titik tersebut yang jika dihubungkan akan membentuk ruas garis dengan titik tengahnya merupakan koordinat bulat juga!
Jawab. Misalkan dua buah titik $X=(a_1, a_2, a_3)$ dan $Y=(b_1, b_2, b_3)$. Maka, titik tengah dari garis yang menghubungkan $X$ dan $Y$ adalah $$\left( \frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{b_1 + b_2}{2}, \frac{c_1 + c_2}{2} \right).$$
Dari koordinat titik tengan tersebut, garis yang menghubungkan dua titik berbeda $(x_i, y_i, z_i)$ dan $(x_j, y_j, z_j)$ akan memiliki titik tengah berupa bilangan bulat jika tiap pasangan $x_i$ dan $x_j$, $y_i$ dan $y_j$dan, $z_i$ dan $z_j$ masing-masing keduanya ganjil maupun keduanya genap.
Kemudian, banyaknya pasangan ganjil-genap pada koordinat $(x_i, y_i, z_i)$ adalah $2\cdot 2 \cdot 2 = 8.$ Sementara itu, terdapat 9 titik. Maka, berdasarkan Pigeon Hole Principle, terdapat paling sedikit satu pasang titik-titik dengan pasangan ganjil-genap yang sama yang berakibat bahwa garis yang dihubungkan pasangan titik tersebut memiliki koordinat bilangan bulat ♥
Soal 3
Contoh fungsi $f$ yang memenuhi $|f(x)-f(y)|\leq (x-y)^2$ untuk setiap bilangan real $x$ dan $y$ adalah …
Jawab. Dapat dilihat bahwa sebarang fungsi konstan memenuhi sifat tersebut, yaitu $f(x) = c$ dengan $c\in\mathbb{R}$ suatu konstanta ♥
Lebih lanjut, kita akan membuktikan bahwa hanya fungsi konstan yang memenuhi sifat tersebut. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} |f(x)-f(y)| \leq & (x-y)^2 \\ \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} & \leq |x-y|\end{aligned} $$
Dari sini, untuk setiap $c\in\mathbb{R},$ diperoleh $$\lim_{x\to c} \frac{|f(x)-f(c)|}{|x-c|} \leq \lim_{x\to c} |x-c| = 0 $$yang berakibat bahwa $f'(c)=0$ untuk setiap $c\in\mathbb{R}.$ Karena $f'(c)=0$ untuk setiap $c\in\mathbb{R},$ maka $f$ adalah konstan ♥
Soal 4
Buktikan bahwa jika fungsi $f$ memiliki derivatif (turunan) di setiap $x\in [a,b]$, maka untuk setiap bilangan real $t$ di antara $f'(a)$ dan $f'(b)$, terdapat $c\in [a,b]$ sedemikian sehingga $f'(c)=t$.
Jawab. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan bahwa $f'(a)<t<f'(b)$ dan $a<b$. Tinjau fungsi $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ dengan $$g(x)=f(x)-tx.$$ Maka, $g$ terdiferensialkan pada domainnya dengan $$g'(x)=f'(x)-t, \quad t \in [a,b]. $$
Karena $g$ kontinu, maka $g$ mencapai maksimum pada suatu titik $c$ di $[a,b].$ Andaikan bahwa $c=a$.
Perhatikan bahwa $g'(a) = f'(a) – t >0.$ Dari sini, ada $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x$ dengan $a < x < a + \delta \leq b$ berlaku $$\frac{g(x)-g(a)}{x-a}-g'(a) > – g'(a) $$yang berakibat bahwa $$\frac{g(x)-g(a)}{x-a}>0 $$dan $$g(x) > g(a),\quad a < x < a + \delta \leq b $$yang kontradiksi dengan $g$ mencapai maksimum di $c=a.$
Kemudian, andaikan bahwa $c=b.$ Perhatikan juga bahwa $g'(b) = f'(b) – t < 0.$ Dari sini, ada $\gamma>0$ sedemikian sehingga untuk $x$ dengan $a \leq b-\gamma < x < b$ berlaku $$\frac{g(x)-g(b)}{x-b}-g'(b) < – g'(b) $$yang berakibat bahwa $$\frac{g(x)-g(b)}{x-b}>0 $$dan $$g(x) > g(b),\quad a\leq b – \gamma < x < b $$yang kontradiksi dengan $g$ mencapai maksimum di $c=b.$
Oleh karena itu, haruslah $c \in (a,b).$ Dari sini, karena $g$ mencapai maksimum di $c\in(a,b),$ maka $g'(c)=0$ dan $f'(c) = t.$
Secara keseluruhan, diperoleh bahwa terdapat $c\in [a,b]$ sedemikian sehingga $f'(c)=t$ ♥
Bagian 2
Berikut adalah pembahasan Soal KNMIPA 2022 Tingkat Universitas Negeri Makassar bagian 2.
Soal 2
Misalkan $Int : P^3 \to P^4$ dengan $$Int (f) (x) = \int_0^x f(t) dt $$yang merupakan suatu pemetaan linear. Carilah matriks representasi pemetaan $Int$ dari basis standar $P^3$ ke basis standar $P^4!$
Jawab. Terlebih dahulu kita perlu mengingat kembali terkait dengan basis standar dari $P^n$ dan matriks representasi. Misalkan $n\in\mathbb{N}.$ $P^n$ adalah himpunan semua polinom berderajat $n$ yang memiliki basis standar $$P_n = \{1, x, …, x^n\}. $$
Misalkan $V$ dan $W$ adalah masing-masing dua buah ruang vektor berdimensi hingga. Misalkan $\mathcal{A}$ dan $\mathcal{B}$ masing-masing adalah basis terurut bagi $V$ dan $W$ dengan $$\mathcal{A}=\{v_1, …, v_m\} $$dan $$\mathcal{A}=\{w_1, …, w_m\}.$$
Jika $T:V\to W$ adalah pemetaan linear, maka matirks representasi pemetaan $T$ dari basis $\mathcal{A}$ ke $\mathcal{B}$ adalah $$M = \begin{pmatrix} [T(v_1)]|_{\mathcal{B}} & \cdots & [T(v_m)]|_{\mathcal{B}} \end{pmatrix} $$dengan $[T(v_i)]|_{\mathcal{B}}$ adalah koordinat $T(v_i)$ relatif terhadap basis $\mathcal{B}.$
Selanjutnya, akan ditentukan matriks representasi pemetaan $Int$ dari $P_3$ ke $P_4.$ Untuk itu, perhatikan bahwa untuk $i=0,1,…,n$ diperoleh $$Int(x^{i-1})(x) = \int_0^x t^{i-1} dt = \frac{1}{i} x^{i} $$yang berakibat bahwa untuk $i=1$, $$Int(1)|_{P_4} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}, $$untuk $i=2$,$$Int(x)|_{P_4} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac12 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}, $$untuk $i=3$,$$Int(x)|_{P_4} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac13 \\0 \end{pmatrix}, $$ dan untuk $i=4$,$$Int(x)|_{P_4} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac14 \end{pmatrix}.$$
Oleh karena itu, matriks representasi untuk $Int$ adalah $$M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac13 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac14\end{pmatrix}$$
Jadi, matriks representasi pemetaan $Int$ dari basis standar $P^3$ ke basis standar $P^4!$ adalah $$M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac13 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac14\end{pmatrix}. $$
Soal 3
Misalkan $A$ dan $B$ merupakan subruang berdimensi hingga dari ruang vektor atas lapangan $F$. Buktikan bahwa $$dim (A+B) = dim A + dim B – dim (A \cap B)$$
Jawab. Misalkan $dim (A) = m$ dan $dim (B) = n.$ Lebih lanjut, misalkan $dim (A\cap B) = k.$
Diberikan himpunan$$\{u_1, …, u_k\}$$ sebagai basis bagi $A\cap B$. Berdasarkan teorema perluasan basis, maka dengan fakta bahwa $A \cap B$ adalah subruang dari $A,$ himpunan $$\{u_1, …, u_k\}$$ dapat diperluas menjadi himpunan $$\mathcal{A} = \{u_1, …, u_k, x_{k+1}, …, x_m\}$$ yang merupakan basis bagi $A.$ Dengan argumen yang sama, himpunan $$\{u_1, …, u_k\} $$dapat diperluas menjadi himpunan $$\mathcal{B} = \{u_1, …, u_k, y_{k+1}, …, y_n\} $$yang merupakan basis bagi $B.$
Akan ditunjukkan bahwa himpunan $$\mathcal{M}=\{u_1, …, u_k, x_{k+1}, …, x_m, y_{k+1},…, y_n\} $$merupakan basis bagi $A+B.$ Misalkan $v \in A+B.$ Maka, $v = a+b$ untuk suatu $a\in A$ dan $b \in B.$ Dari sini, karena $\mathcal{A}$ basis bagi A, maka $$a = a_1 u_1 + \cdots + a_k u_k + a_{k+1} x_k + \cdots a_m x_m $$untuk suatu $a_1,…,a_m \in F.$ Kemudian, karena $\mathcal{B}$ basis bagi $B,$ maka $$b = b_1 u_1 + \cdots + b_k u_k + b_{k+1} y_k + \cdots b_n y_n $$untuk suatu $b_1,…,b_m \in F.$ Dari sini, $$\begin{aligned} v & = a+b\\ & = (a_1 u_1 + \cdots + a_k u_k + a_{k+1} x_k + \cdots a_m x_m )+(b_1 u_1 + \cdots + b_k u_k + b_{k+1} y_k + \cdots b_n y_n ) \\ & = (a_1+b_1)u_1 + \cdots (a_k+b_k) u_k + a_{k+1} x_k + \cdots a_m x_m + b_{k+1} y_k + \cdots b_n y_n \end{aligned} $$yang membuktikan bahwa $\mathcal{M}$ merentang $A+B.$
Selanjutnya ditunjukkan bahwa $\mathcal{M}$ bebas linear. Tinjau persamaan homogen $$a_1 u_1 + \cdots + a_k u_k + a_{k+1} x_{k+1} + \cdots + a_m x_m + b_{k+1} y_{k+1} + \cdots b_n y_n = 0$$ dengan koefisien-koefisien ada di $F.$
Dari sini, $$a_1 + u_1 + \cdots + a_k u_k + a_{k+1} x_{k+1} + \cdots + a_m x_m = – b_{k+1} y_{k+1} – \cdots b_n y_n $$Perhatikan bahwa ruas kiri di persamaan terakhir merupakan elemen di $A$ dan ruas kanannya merupakan elemen di $B$. Misalkan $$x = a_1 + u_1 + \cdots + a_k u_k + a_{k+1} x_{k+1} + \cdots + a_m x_m = – b_{k+1} y_{k+1} – \cdots b_n y_n $$
Maka, $x \in A\cap B.$ Oleh karena itu, $$- b_{k+1} y_{k+1} – \cdots b_n y_n = x = c_1 u_1 + \cdots c_k u_k $$untuk suatu $c_1, …, c_k\in F$ dan $$b_{k+1} y_{k+1} + \cdots b_n y_n + c_1 u_1 + \cdots c_k u_k = 0. $$Karena $\mathcal{B}$ basis, maka himpunan tersebut bebas linear yang berakibat bahwa $$c_1 = \cdots = c_k = b_{k+1} = \cdots = b_n = 0. $$Dari sini, $$x = a_1 + u_1 + \cdots + a_k u_k + a_{k+1} x_{k+1} + \cdots + a_m x_m = 0 $$
Karena $\mathcal{A}$ basis, maka $\mathcal{A}$ bebas linear yang berakibat bahwa $a_1 = \cdots = a_m = 0.$ Oleh karena itu, $\mathcal{M}$ bebas linear. Jadi, $\mathcal{M}$ adalah basis bagi $A+B.$ Perhatikan bahwa $$|\mathcal{M}| = m+n-k.$$ Dari sini, $dim (A+B) = dim (A) + dim (B) – dim (A\cap B)$ ♥
Soal 4
Nilai $5 \Re (z) + 7 \Im (z)$ jika $z = (3-3i)^{2010}$ adalah …
Jawab. Perhatikan bahwa dengan hukum de Moivre diperoleh bahwa $$\begin{aligned} z & = (3-3i)^{2010} \\ & = (3\sqrt{2})^{2010} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2010} \\ & = (3\sqrt{2})^{2010} (\cos (7 \pi / 4)+ i \sin (7 \pi / 4))^{2010} \\ & = (3\sqrt{2})^{2010} (\cos (2010 \cdot 7 \pi / 4)+ i \sin (2010 \cdot 7 \pi / 4)) \\ & = (3\sqrt{2})^{2010} (\cos (7035\pi/2) + i \sin (7035\pi/2)) \\ & = (3\sqrt{2})^{2010} (\cos (3\pi/2) + i \sin (3\pi/2)) \\ & = (3\sqrt{2})^{2010} (-i)\end{aligned}$$
Dari sini, $5 \Re (z) + 7 \Im (z) = -7 (3\sqrt{2})^{2010} $. ♥
Soal 5
Tentukan semua nilai $z\in \mathbb{C}$ sedemikian sehingga $z^2=2+2i\sqrt{3}.$
Jawab. Perhatikan bahwa $$z^2 = 4 \left(\frac12+\frac12i \sqrt{3}\right) = 4 \exp \left(\frac{\pi}{4}i\right)$$
Selanjutnya, kita peroleh bahwa $$z = \pm \left(4 \exp \left(\frac{\pi}{4}i\right)\right)^{\frac12} = \pm 2 \exp \left[\frac{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}{2}\right] $$dengan $k=0,1.$
Dari sini, nilai $z$ yang memenuhi adalah $$z = \pm 2 \exp \left[\frac{i\frac{\pi}{4}}{2}\right] = \pm 2 \exp \frac{\pi i}{8}$$dan $$z = \pm 2 \exp \left[\frac{i\left(\frac{\pi}{4}+2\pi\right)}{2}\right] = \pm 2 \exp \frac{9\pi i}{8} $$
Jadi, $z\in \mathbb{C}$ sedemikian sehingga $z^2=2+2i\sqrt{3}$ adalah $$\pm 2 \exp \frac{\pi i}{8}, \pm 2 \exp \frac{9\pi i}{8}.$$
Soal 6
Misalkan $A$ dan $B$ dua buah subgrup dari grup $G.$ Buktikan bahwa $AB$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $BA\subseteq AB.$
Jawab. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $AB$ adalah subgrup dari $G.$ Akan ditunjukkan bahwa $BA\subseteq AB.$
Diberikan $x\in BA.$ Maka, $x=ba$ untuk suatu $a\in A$ dan $b\in B.$ Perhatikan bahwa $x^{-1} \in G$ karena $G$ grup dengan $$x^{-1} = a^{-1} b^{-1}. $$Selanjutnya, dapat dilihat bahwa $x^{-1}\in AB$ karena $a^{-1}\in A$ dan $b^{-1} \in B.$
Lebih lanjut, karena $AB$ subgrup dari $G$, maka $x=(x^{-1})^{-1} \in AB.$ Secara keseluruhan, jika $x\in BA,$ maka $x \in AB$ yang membuktikan bahwa $BA\subseteq AB.$
Langkah berikutnya adalah menunjukkan bahwa jika $BA \subseteq AB,$ maka $AB$ subgrup dari $G.$ Untuk itu, asumsikan bahwa $BA \subseteq AB.$
Cukup ditunjukkan bahwa jika $x,y\in AB,$ maka $xy^{-1} \in AB$ (lihat teorema). Diberikan $x,y\in AB.$ Maka, $$x = a_1 b_1, \quad y=a_2 b_2 $$untuk suatu $a_1, a_2 \in A$ dan $b_1, b_2 \in B.$ Kemudian, $$xy^{-1} = (a_1 b_1) (a_2 b_2)^{-1} = (a_1b_1)(b_2^{-1}a_2^{-1})=a_1(b_1 b_2^{-1}) a_2^{-1})$$
Misalkan $b=b_1b_2^{-1}$. Maka, $b\in B$. Perhatikan bahwa $ba_2^{-1} \in BA \subseteq AB.$ Karena $ba_2^{-1} \in AB,$ maka $ba_2^{-1} = a_3 b_3$ untuk suatu $a_3\in A$ dan $b_3\in B$. Dari sini, $a_1 a_3 \in A$ yang berakibat bahwa $$xy^{-1} = a_1(b_1 b_2^{-1}) a_2^{-1}) = a_1 b a_2^{-1} = a_1 a_3 b_3 \in AB.$$
Secara keseluruhan, jika $x,y\in AB,$ maka $xy^{-1} \in AB.$ Dari sini, $AB$ subgrup dari $G.$
Jadi, $AB$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $BA\subseteq AB$ ♥
Soal 7
Misalkan $f:R_1 \to R_2$ suatu epimorfisma ring dengan $A$ idela dari $R_1$, dengan $$f(A)=\{f(a):a\in A\}. $$Buktikan bahwa $f(A)$ merupakan ideal dari $R_2.$
Jawab. Perhatikan bahwa $f(A)$ adalah subgrup (terhadap operasi pertama/penjumlahan) dari $R_2.$ Oleh karena itu, cukup ditunjukkan bahwa untuk setiap $r \in R_2$ berlaku $r \cdot f(A) \subseteq f(A)$ dan $f(A)\cdot r \subseteq f(A)$
Untuk itu, misalkan $r \in R_2$. Karena $f$ adalah epimorfisma dari $R_1$ ke $R_2$, maka ada $x \in R_1$ sedemikian sehingga $$f(x) = r. $$Kemudian, misalkan $f(a) \in f(A).$ Karena $f$ juga homomorfisma, maka $$r \cdot f(a) = f(x) f(a) = f(xa). $$
Karena $x \in R_1$, $a \in A$, dan $A$ ideal dari $R_1,$ maka $xa\in A$ yang berakibat bahwa $$r\cdot f(a) = f(xa) \in f(A). $$Ini menunjukkan bahwa untuk setiap $r \in R_2$ berlaku $r \cdot f(A) \subseteq f(A)$. Dengan cara yang sama, diperoleh bahwa untuk setiap $r \in R_2$ berlaku $f(A)\cdot r \subseteq f(A)$.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa $f(A)$ merupakan ideal dari $R_2$ ♥
Demikian postingan tentang Pembahasan Soal KNMIPA 2022 Tingkat Universitas Negeri Makassar. Postingan ini terkait dengan pembahasan soal KNMIPA / ONMIPA Bidang Matematika, dan jika Anda tertarik dengan postingan yang serupa, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
