Teorema-teorema Subgrup Struktur Aljabar

Last Updated on Juli 22, 2022 by prooffic

Postingan kali ini akan menyajikan tentang teorema-teorema subgrup struktur aljabar. Pembahasan berikut menyajikan tentang beberapa syarat yang harus dipenuhi oleh suatu subhimpunan tak kosong dari suatu grup agar membentuk subgrup dengan operasi yang sama seperti grup tersebut.

Pembahasan mengenai teorema-teorema subgrup struktur aljabar akan dibagi menjadi beberapa bagian sebagai berikut.

Definisi Grup

Misalkan $G$ adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner $\ast$. $G$ dikatakan sebagai grup dengan operasi biner $\ast$, ditulis sebagai $(G, \ast)$ ataupun terkadang dituliskan lebih ringkas dengan $G$ saja, jika memenuhi kriteria berikut.

1. Memenuhi sifat asosiatif, yaitu untuk setiap $a,b,c \in G$ berlaku $$a\ast (b\ast c) = (a \ast b) \ast c$$
2. Terdapat unsur identitas $e$ di $G$, yaitu unsur yang memenuhi $$a \ast e = e \ast a = a $$untuk setiap $a \in G$
3. Setiap unsur di $G$ memiliki invers, yaitu untuk setiap $a \in G$, terdapat $b \in G$ sedemikian sehingga $$a \ast b = b \ast a = e $$Unsur $b$ terkadang dituliskan dengan $a^{-1}.$

Di beberapa referensi, disebutkan bahwa $G$ memenuhi sifat tertutup. Tetapi, di sini kita tidak menyebutkannya karena pernyataan “operasi biner $G$” mengimplikasikan bahwa operasi tersebut memenuhi sifat tertutup, yaitu untuk setiap $a, b\in G$ berlaku $a \ast b \in G.$

Salah satu contoh grup yang umum kita temui adalah himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan standar. Contoh lainnya adalah himpunan bilangan real tak nol dengan operasi perkalian standar.

Catatan: 

• Meskipun operasi biner pada himpunan $G$ terkadang dimisalkan $”\ast”$ ataupun $”\cdot”$, akan tetapi untuk memudahkan penulisan, hanya ditulis berupa $a \ast b = ab$ maupun $a \cdot b = ab.$
• Jika disebutkan bahwa $G$ adalah grup, maka secara eksplisit dipahami bahwa $G$ dilengkapi dengan suatu operasi biner tertentu tanpa menyebutkannya lebih lanjut.

Subgrup

Misalkan $H$ subhimpunan tak kosong dari $G.$ Himpunan $H$ disebut sebagai subgrup dari $G$ jika $H$ membentuk grup dengan operasi yang sama seperti pada $G.$

Contoh subgrup adalah himpunan bilangan real positif terhadap operasi perkalian. Himpunan tersebut adalah subgrup dari himpunan bilangan real tak nol dengan operasi perkalian standar.

Teorema-teorema subgrup

Terdapat dua teorema subgrup yang akan dijelaskan di sini.

Teorema 1. Misalkan $G$ adalah grup. Diberikan $H$ subhimpunan tak kosong dari $G$. Maka, $H$ adalah subgrup dari $G$ jika dan hanya jika berlaku kedua sifat berikut.

1. Untuk setiap $a, b\in H$ berlaku $ab \in H$
2. Untuk setiap $a \in H$ berlaku $a^{-1} \in H$

Teorema tersebut memberikan karakterisasi kapan suatu subhimpunan tak kosong membentuk subgrup. Terlihat bahwa hanya diperlukan dua sifat saja, yaitu ketertutupan dan invers dari setiap elemen di subhimpunan itu juga tetap ada di himpunan tersebut. Berikut ini adalah bukti dari teorema tersebut.

Bukti. Pernyataan teoremanya berupa jika dan hanya jika, sehingga akan ditunjukkan dua arah, yaitu kiri ke kanan dan kanan ke kiri.

Terlebih dahulu asumsikan bahwa $H$ adalah subgrup dari $G.$ Misalkan $a, b \in H.$ Karena $H$ subgrup dari $G$, maka $H$ membentuk grup terhadap operasi yang sama dengan $G.$ Oleh karena itu, haruslah $ab \in H$. Ini menunjukkan sifat pertama.

Kemudian, misalkan $a \in H.$ Karena $H$ membentuk juga membentuk grup, maka haruslah $a^{-1} \in H.$ Ini menunjukkan sifat kedua. Akibatnya, jika $H$ adalah subgrup dari $G,$ maka sifat pertama dan kedua terpenuhi.

Selanjutnya, asumsikan bahwa kedua sifat tersebut terpenuhi dengan $G$ adalah grup, yaitu memenuhi sifat asosiatif, memiliki unsur identitas dan setiap unsurnya memiliki invers. Akan ditunjukkan bahwa $H$ adalah subgrup.

Untuk menunjukkan bahwa $H$ adalah subgrup, cukup tunjukkan bahwa $H$ membentuk grup dengan operasi yang sama dengan $G.$ Sifat 1 memberitau kita bahwa operasi tersebut membentuk operasi biner pada $H$.

Misalkan $a,b,c \in H.$ Karena $H \subseteq G,$ maka $a,b,c \in G$ yang berakibat bahwa $$a(bc) = (ab)c $$Ini menunjukkan bahwa $H$ memenuhi sifat asosiatif.

Selanjutnya adalah menunjukkan bahwa $H$ memiliki unsur identitas. Misalkan $e$ adalah unsur identitas dari $G.$ Karena $H$ tidak kosong, maka ada suatu $a\in H.$

Berdasarkan sifat 2, $$a a^{-1} \in H $$Kemudian, karena $a$ juga berada di $G,$ maka haruslah $$a a^{-1} = e $$Dari sini, $$e = a a^{-1} \in H $$

Dari sini, unsur identitias $e$ ada di $G.$ Selanjutnya, Misalkan $a\in H,$ maka $a\in G$ dan $$a a^{-1} = e = a^{-1} a $$yang berakibat bahwa $e$ adalah unsur identitas $H$. Jadi, $H$ memiliki unsur identitas yang merupakan unsur identitas $G$.

Berdasarkan sifat 2, setiap unsur $H$ memiliki invers di $H.$ Oleh karena itu, $H$ memenuhi sifat asosiatif, memiliki unsur identitas dan setiap unsurnya memiliki invers yang berakibat bahwa $H$ membentuk grup. Jadi, $H$ adalah subgrup dari $G$.

Secara keseluruhan, $H$ adalah subgrup jika dan hanya jika sifat 1 dan 2 terpenuhi ♥

Teorema 2 berikut ini juga memberikan karakterisasi suatu subhimpunan tak kosong untuk membentuk suatu subgrup.

Teorema 2. Misalkan $G$ adalah grup dan $H$ adalah subhimpunan tak kosong dari $G$. Maka, $H$ adalah subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab^{-1}\in H.$

Bukti. Kita akan membuktikan teorema tersebut dari dua arah. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $H$ adalah subgrup. Maka, $H$ membentuk grup terhadap operasi yang sama dengan $G.$

Diberikan $a,b \in H.$ Karena $H$ grup, maka ada $b^{-1} \in H$ sedemikian sehingga $b b^{-1} = e$ dengan $e$ unsur identitas $H.$

Kemudian, karena $a \in H$ dan $b^{-1} \in H,$ maka $a b^{-1} \in H.$ Ini membuktikan dari arah kiri ke kanan.

Sebaliknya, asumsikan bahwa untuk setiap $a,b\in H$ berlaku $ab^{-1} \in H.$ Akan ditunjukkan bahwa $H$ subgrup dari $G.$

Karena $H\neq \emptyset,$ maka ada $a \in H.$ Maka, untuk $b = a$, diperoleh bahwa $$e = a a^{-1} = a b^{-1} \in H $$dengan $e$ unsur identitas dari $G.$ Oleh karena itu, $e \in H$ dan unsur identitas $G$ ada di $H.$

Kemudian, misalkan $a\in H$ sebarang. Karena $a$ juga ada di $G$ dan $e$ unsur identitias $G,$ maka $$ae= ea = a $$Oleh karena itu, $$ae=ea=a $$untuk setiap $a \in H$ sebarang. Ini menunjukkan bahwa $e$ adalah unsur identitas dari $H.$

Selanjutnya adalah menunjukkan bahwa setiap unsur di $H$ memiliki invers. Misalkan $b \in H$ sebarang. Tulis $a = e$. Karena $G$ grup, maka ada $b^{-1}$ di $H$ sehingga $$bb^{-1}=e=b^{-1}b$$

Berdasarkan asumsi, maka $$b^{-1} = eb^{-1} = ab^{-1}\in H $$dan ini menunjukkan bahwa setiap unsur di $H$ memiliki invers di $H.$

Untuk sifat asosiatif, misalkan $a,b,c\in H.$ Karena $H \subseteq G$ dan $G$ adalah grup, maka haruslah $$a(bc) = (ab)c $$sehingga $H$ juga memenuhi sifat asosiatif.

Sejauh ini, kita telah menunjukkan bahwa $H$ memiliki identitas, unsur invers, dan memenuhi sifat asosiatif. Terakhir adalah menunjukkan bahwa operasi biner tersebut juga merupakan operas biner pada $H.$ Dengan kata lain, $H$ tertutup terhadap operasi yang sama dengan $G.$

Untuk itu, misalkan $a,b\in H.$ Karena setiap unsur $H$ memiliki invers, maka $b^{-1} \in H.$ Berdasarkan asumsi diperoleh bahwa $$ab = a (b^{-1})^{-1} \in H $$dan ini menunjukkan bahwa $H$ juga tertutup terhadap operasi yang sama dengan $G.$ Akibatnya, operasi biner tersebut (pada $G$ sehingga $G$ grup) juga merupakan operas biner pada $H.$

Jadi, $H$ adalah subgrup. Kita telah menunjukkan dari arah kanan ke kiri.

Oleh karena itu, $H$ adalah subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab^{-1}\in H$ ♥

Kesimpulan

Berdasarkan teorema 1 dan teorema 2, kita memperoleh pernyataan-pernyataan ekuivalen berikut. Ini memberikan kita sebuah karakterisasi bagi suatu subhimpunan tak kosong dari suatu grup untuk menjadi subgrup dari grup tersebut. Berikut ini adalah kesimpulan dari postingan teorema-teorema subgrup struktur aljabar.

Misalkan $G$ adalah grup dan $H$ subhimpunan tak kosong dari $G.$ Maka, pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen.

1. $H$ subgrup.
2. Untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab \in H$ dan $b^{-1} \in H$.
3. Untuk setiap $a,b\in H$ berlaku $ab^{-1} \in H$.

Demikian pembahasan  kali ini tentang teorema-teorema subgrup struktur aljabar. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya terkait dengan struktur Aljabar, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.