Last Updated on Juli 22, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan mengenai Soal dan Pembahasan Subgrup pada materi Struktur Aljabar. Jika Anda ingin terlebih dahulu membaca mengenai materi subgrup terutama untuk mengetahui kapan suatu subhimpunan merupakan subgrup, silahkan ke sini.
Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Subgrup.
Soal 1
Misalkan $H \subset G, H \neq \emptyset$ dan $G$ grup. Buktikan bahwa $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $HH^{-1} = H.$
Bukti. Terlebih dahulu catat bahwa $$H^{-1} = \{h^{-1} : h\in H\} $$Kita akan membuktikan pernyataan tersebut dari kedua arah. Terlebih dahulu kita membuktikan dari kir ke kanan. Untuk itu, kisa asumsikan bahwa $H$ adalah subgrup dari $G.$
Karena $H$ subgrup dari $G,$ maka $$H = H^{-1} $$Diberikan sebarang $y \in HH^{-1}.$ Maka, $y = hk^{-1}$ untuk suatu $h \in H$ dan $k \in H.$ Dari asumsi bahwa $H$ subgrup diperoleh $k^{-1} \in H$
Karena $h$ dan $k^{-1}$ ada di $H,$ maka $y=hk^{-1} \in H.$ Oleh karena itu, $HH^{-1} \subseteq H.$
Sebaliknya, asumsikan bahwa $y \in H.$ Tulis $$y = ye=y (yy^{-1}) = y^2 y^{-1} $$Karena $y\in H$ dan $H$ subgrup, maka $y^2 \in H.$
Dari sini, $y = y^2 y^{-1} \in HH^{-1}.$ Oleh karena $H\subseteq HH^{-1}.$
Karena $HH^{-1} \subseteq H$ dan $H\subseteq HH^{-1},$ maka berdasarkan kesamaan dua himpunan diperoleh bahwa $HH^{-1} = H.$
Baca Juga: Kesamaan dua Himpunan
Ini menunjukkan bahwa jika $H$ subgrup dari $G,$ maka $$HH^{-1} = H $$Sebaliknya, asumsikan bahwa $HH^{-1} = H.$ Akan ditunjukkan bahwa $H$ subgrup dari $G.$
Kita akan menggunakan teorema 2 pada postingan ini. Misalkan $h,k \in H.$ Dari sini, $h \in H$ dan $k^{-1} \in H^{-1}$ yang berakibat bahwa $hk^{-1} \in HH^{-1}.$
Karena $HH^{-1} = H,$ maka haruslah $hk^{-1} \in H.$ Oleh karena itu, berdasarkan teorema tersebut, diperoleh bahwa $H$ subgrup dari $G.$ Jadi, jika $HH^{-1} = H,$ maka $H$ subgrup dari $G.$
Secara keseluruhan, $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $HH^{-1} = H.$
Soal 2
Misalkan $G$ grup dan $H,K$ masing-masing merupakan subgrup dari $G.$ Buktikan bahwa $H, K$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $HK=KH.$
Bukti. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $H$ dan $K$ adalah subgrup dari $G.$ Dari sini, $$H^2 = H, \quad K^2 = K$$
Pertama, kita menunjukkan dari kiri ke kanan. Asumsikan bahwa $HK$ adalah subgrup.
Diberikan sebarang $x \in HK.$ Maka $x = hk$ untuk suatu $h \in H$ dan $k \in K.$
Karena $HK$ subgrup, maka $x^{-1} \in HK.$ Dari sini, $$x^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1} h^{-1} \in HK $$
Akibatnya, $$k^{-1} h^{-1} = h_1 k_1 $$untuk suatu $h_1 \in H$ dan $k_1 \in K.$ Dari sini, $$k_1^{-1} h_1^{-1} = (k^{-1} h^{-1})^{-1} = hk$$
Karena $H$ dan $K$ subgrup, maka $h_1^{-1] \in H$ dan $k_1^{-1} \in K.$ Dari sini, $$hk = k_1^{-1} h_1^{-1} \in KH$$ Oleh karena itu, $HK \subseteq KH.$
Kemudian, diberikan $x \in KH.$ Maka, $x = kh$ untuk suatu $k \in K$ dan $h \in H.$
Kemudian, $$x^{-1} = (kh)^{-1} = h^{-1} k^{-1} $$Karena $H$ dan $K$ subgrup, maka $h^{-1} \in H$ dan $k^{-1} \in K.$ Oleh karena itu, $$x^{-1} \in HK $$
Dari asumsi bahwa HK subgrup, diperoleh bahwa $$x = (x^{-1})^{-1} \in HK. Oleh karena itu, jika $x \in KH,$ maka $x \in HK$ yang berakibat bahwa $KH \subseteq HK.$
Karena $HK \subseteq KHK dan $KH \subseteq HK,$ maka $HK=KH.$ Ini membuktikan dari kiri ke kanan.
Sebaliknya, asumsikan bahwa $HK=KH$. Akan ditunjukkan bahwa $HK$ subgrup.
Misalkan $x, y\in HK.$ Maka $$x = h_1 k_1, \quad y = h_2 k_2 $$untuk suatu $h_1, h_2 \in H$ dan $k_1, k_2 \in K.$ Dari sini, $y^{-1} = k_2^{-1} h_2^{-1} \in KH.$
Karena $HK=KH$ dan $y^{-1} \in KH,$ maka $y^{-1} \in HK$ dan terdapat suatu $h_3\in H$ dan $k_4 \in K$ sehingga $$y^{-1} = h_3 k_3 $$Kemudian, $$xy = (h_1 k_1)(h_3 y_3) \in (HK)(HK) = H(KH)K = H(HK)K = H^2 K^2 =HK $$Oleh karena itu, jika $x,y \in HK,$ berlaku $xy \in HK.$
Berdasarkan teorema 2, diperoleh bahwa $HK$ subgrup. Ini menunjukkan dari kanan ke kiri. Jadi, $H, K$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $HK=KH.$
Soal 3
Buktikan bahwa jika $H,K$ subgrup dari $G,$ maka $H \cap K$ juga subgrup dari $G.$
Bukti. Asumsikan bahwa $H,K$ subgrup dari $G.$ Misalkan $x,y \in H \cap K.$ Dari sini, $x, y \in H$ dan $x,y \in K.$ Karena $H,K$ subgrup dari $G,$ maka $y^{-1} \in H$ dan $y^{-1} \in K.$
Dari sini, $x \in H$ dan $y^{-1} \in H.$ Berdasarkan teorema 2, diperoleh $xy^{-1}\in H.$
Selain itu, $x \in K$ dan $y^{-1} \in K.$ Dengan teorema 2, juga diperoleh $xy^{-1} \in K.$ Akibatnya, $xy^{-1} \in H\cap K.$
Oleh karena itu, jika $x, y\in H \cap K,$ maka $xy^{-1} \in H \cap K$ sehingga dengan teorema 2, $H \cap K$ adalah subgrup.
Demikian postingan kali ini tentang Soal dan Pembahasan Subgrup. Jika Anda tertarik dengan topik Struktur Aljabar lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi/topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
