Last Updated on Desember 22, 2021 by prooffic
Pada postingan kali ini, kita akan membahas tentang salah satu materi dasar dan penting dalam matematika. Materi tersebut adalah Himpunan. Materi himpunan dalam matematika diajarkan baik di tingkat sekolah maupun tingkat perguruan tinggi. Ide tentang himpunan merupakan dasar dari seluruh matematika, dan seluruh objek matematika berdasar pada konsep himpunan. Himpunan memiliki makna yang sama dengan kumpulan, dan biasanya (tidak selalu) terdiri dari beberapa objek-objek tertentu. Objek-objek dalam himpunan disebut dengan elemen. Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf latin kapital, seperti $A$, $C$, $M$ dan sebagainya. $a$ sebagai elemen dari himpunan $A$ dinyatakan dengan $a \in A$. Berikut ini istilah mendasar dalam teori himpunan.
Himpunan Kosong
Meskipun pada umumnya himpunan memiliki elemen, terdapat himpunan yang tidak memiliki elemen. Untuk kasus ini, kita menyebut himpunan tersebut sebagai himpunan kosong dan dinyatakan dengan $ \emptyset $. Beberapa contoh himpunan kosong adalah sebagai berikut.
- $A = \left\{ x \in \mathbb{R} | x^{2} + 1=0 \right\}$
- $B = $ { $n \in \mathbb{N} $ sedemikian sehingga $n$ ganjil dan $n$ genap}
- $C =$ { manusia yang bisa hidup kekal }
Pada contoh pertama, anggota $x\in A$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $$x^{2}+1=0$$ Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, kita dapatkan bahwa $x=\pm \sqrt{-1}$ yang bukan merupakan bilangan real.
Pada contoh kedua, misalkan $B$ memiliki anggota, katakanlah $m$. Karena $m$ adalah ganjil dan genap, maka ada $k$, $l \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $m=2k+1$ dan $m=2l$. Perhatikan bahwa $k \neq l$. Dari sini, $$2k+1=2l$$ sehingga diperoleh $$1=2l-2k=2(l-k).$$ Dengan kata lain, $1$ merupakan bilangan genap. Ini tidak mungkin, sehingga haruslah $B$ merupakan himpunan kosong. Selanjutnya, karena tidak ada manusia yang dapat hidup kekal selamanya, maka $C$ merupakan himpunan kosong.
Subset
Misalkan $A$ dan $B$ adalah himpunan. $A$ dikatakan subset dari $B$ jika semua elemen dari $A$ adalah juga elemen dari $B$. Secara matematika, dituliskan $$\forall x \in A : x \in B$$ atau $$x \in A \Rightarrow x \in B$$ Jika $A$ subset dari $B$, maka ditulis $A \subseteq B$. Perhatikan beberapa contoh berikut.
- Himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ merupakan subset dari himpunan bilangan real $\mathbb{R}$. Begitu juga dengan himpunan bilangan bulat $\mathbb{Z}$ dan himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}$ yang masing-masing merupakan subset dari himpunan bilangan real $\mathbb{R}$. selanjutnya, himpunan bilangan real merupakan subset dari himpunan bilangan kompleks $\mathbb{C}$. Hubungan tersebut dapat dituliskan $$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$
- misalkan $\mathbb{X}$ adalah himpunan makhluk hidup dan $\mathbb{Y}$ adalah himpunan yang terdiri dari hewan. Maka, $\mathbb{Y} \subseteq \mathbb{X}$
Dapat kita lihat bahwa setiap himpunan memiliki subset. Subset dari setiap himpunan adalah himpunan himpunan kosong, yaitu $ \emptyset \subseteq \mathbb{A} $ untuk setiap himpunan $\mathbb{A}$. Bukti dari klaim tersebut mengacu pada konsep logika matematika terutama pada konsep implikasi. Misalkan $A$ adalah sebarang himpunan. Perhatikan bahwa $\emptyset$ tidak memiliki anggota maka pernyataan $”x \in \emptyset”$ selalu bernilai benar. Karena pernyataan $” x \in A \Rightarrow x \in B “$ memiliki anteseden yang selalu bernilai salah, maka pernyataan implikasi tersebut bernilai benar. Dari sini, pernyataan $” x \in A \Rightarrow x \in B “$ bernilai benar, sehingga $ \emptyset \subseteq \mathbb{A} $
Kesamaan Dua Himpunan
Dua buah himpunan $A$ dan $B$ dikatakan sama apabila memenuhi $A \subseteq B$ dan $ B \subseteq A$, yaitu
$A=B \Leftrightarrow A \subseteq B$ dan $B \subseteq A$
Dengan definisi tersebut, kita dapat melihat bahwa himpunan bilangan real $\mathbb{R}$ tidak sama dengan himpunan bilangan kompleks $\mathbb{C}$ karena $\mathbb{C}$ bukan subset dari $\mathbb{R}$, yaitu $i+1 \in \mathbb{C}$ bukan anggota dari $\mathbb{R}$. Sekian kali ini tentang materi himpunan dalam matematika yang berupa himpunan kosong, subset dan kesamaan dua himpunan. Silahkan baca materi terkait himpunan lainnya dan topik-topik lainnya. Semoga membantu, sekian dan terima kasih.
