Last Updated on April 3, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang pembahasan soal Analisis Real Barisan Cauchy. Soal-soal berikut diambil dari buku “Introduction to Real Analysis” oleh Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert.
**Selamat Menikmati**
Berikut ini adalah pembahasan soal Analisis Real Barisan Cauchy
Soal 1
Berikan sebuah contoh barisan terbatas yang bukan merupakan barisan Cauchy.
Jawab. Misalkan barisan $(x_n)$ dengan $x_n = (-1)^n$ untuk setiap bilangan asli $n.$ Perhatikan bahwa $$|x_n|=|(-1)^n|=1, \quad n\in \mathbb{N} $$Oleh karena itu, barisan tersebut adalah barisan yang terbatas.
Selain itu, barisan $(x_n)$ bukan merupakan barisan Cauchy jika ada $\varepsilon>0$ sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $N,$ terdapat $m, n\geq N$ sedemikian sehingga $$|x_n – x_m| \geq \varepsilon $$Untuk barisan $(x_n)$ dengan $x_n = (-1)^n$ untuk setiap bilangan asli $n,$ pilih $\varepsilon=1.$ Untuk setiap bilangan asli $N,$ pilih $m$ bilangan ganjil dan $n$ bilangan genap yang lebih dari $N.$ Maka, $$|x_n – x_m| = |(-1)^n – (-1)^m| = |-1-1|=2>1=\varepsilon $$
Oleh karena itu, $(x_n)$ merupakan barisan terbatas tapi bukan merupakan barisan Cauchy ♥
Soal 2
Tunjukkan secara langsung dari definisi bahwa barisan berikut adalah barisan Cauchy.
a) $\left( \frac{n+1}{n}\right), $
b) $\left(1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right).$
Jawab.
a) Diberikan sebarang $\varepsilon>0.$ Berdasarkan sifat Archimedes, terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $$\frac{1}{N} \leq \frac{\varepsilon}{2} $$
Dari sini, untuk bilangan asli $m$ dan $n$ yang lebih dari atau sama dengan $N$ berlaku $$\begin{aligned}\left| \frac{n+1}{n} – \frac{m+1}{m}\right| & = \left| \frac{1}{m} – \frac{1}{n} \right| \\ & \leq \left|\frac{1}{m}\right| + \left|\frac{1}{n}\right| \\ & = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \\ & \leq \frac{1}{N} + \frac{1}{N} \\ & = \frac{2}{N} \\ & < \varepsilon\end{aligned}$$
Ini menunjukkan bahwa barisan $\left( \frac{n+1}{n}\right)$ adalah barisan Cauchy ♥
b) Sebelumnya, perhatikan bahwa untuk bilangan asli $m$ dan $n$ dengan $$4 \leq m$$ berlaku $$2^m \leq m! $$yang berakibat bahwa $$\frac{1}{m!} \leq \frac{1}{2^m}. $$Dari sini, untuk bilangan asli $m$ dan $n$ dengan $4 \leq m \leq n$ diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \left| \left(1+\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{m!}\right) – \left( 1+\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}\right) \right| & = \left(\frac{1}{(m+1)!} + \frac{1}{(m+2)!} \cdots + \frac{1}{n!}\right) \\ & \leq \frac{1}{2^{m+1}} + \frac{1}{2^{m+2}} + \cdots + \frac{1}{2^n} \\ & = \frac{1}{2^m} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-m}}\right) \\ & < \frac{1}{2^m} \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2} + \cdots \right) \\ & \leq \frac{1}{2^m} \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\ & = \frac{1}{2^{m}}\end{aligned} $$
Diberikan sebarang $\varepsilon>0.$ Berdasarkan sifat Archimedes, terdapat bilangan asli $N$ sedemikian sehingga $$\frac{1}{2^N} < \varepsilon $$
Pilih bilangan asli $K$ sedemikian sehingga $K \geq \max (4,N).$ Maka, untuk bilangan asli $m$ dan $n$ yang lebih dari $K$ berlaku $$2^m \leq m!, \quad 2^n \leq n! $$
Tanpa mengurangi keumuman, kita asumsikan bahwa $m \leq n.$ Maka, berdasarkan hasil sebelumnya diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \left| \left(1+\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{m!}\right) – \left( 1+\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}\right) \right| & \leq \frac{1}{2^m} \\ & \leq \frac{1}{2^N} \\ & < \varepsilon\end{aligned}$$
Ini menunjukkan bahwa barisan $\left(1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)$ adalah barisan Cauchy ♥
Soal 3
Tunjukkan secara langsung dari definisi bahwa barisan-barisan berikut bukan merupakan barisan Cauchy.
a) $\left( (-1)^n \right),$
b) $\left( n + \frac{ (-1)^n }{n} \right),$
c) $(\ln n)$
Jawab.
a) Lihat Nomor 1 a ♥
b) Pilih $\varepsilon=1.$ Misalkan $N$ adalah sebarang bilangan asli. Berdasarkan sifat bilangan asli, maka dapat dipilih bilangan genap $m$ yang lebih dari $N$ dan tuliskan $n=2m.$ Maka, $$ \begin{aligned} \left| \left(m+\frac{ (-1)^m }{m}\right) – \left(n+\frac{(-1)^n}{n}\right)\right| & = \left| \left(m+\frac{ (-1)^m }{m}\right) – \left(2m+\frac{(-1)^{2m}}{2m}\right)\right| \\& = \left|\left(m+\frac1m\right) – \left( 2m+\frac{1}{2m} \right)\right| \\& = \left|-m-\frac{1}{2m}\right| \\ & = m+ \frac{1}{2m} \\ & \geq 1 \\ & = \varepsilon\end{aligned}$$
Ini menunjukkan bahwa barisan $\left( n + \frac{ (-1)^n }{ n } \right)$ bukan merupakan barisan Cauchy ♥
c) Pilih $\varepsilon = \ln 2.$ Diberikan sebarang bilangan asli $N$. Berdasarkan sifat bilangan asli, maka dapat dipilih bilangan genap $m$ yang lebih dari $N$ dan tuliskan $n=2m.$ Maka, $$\begin{aligned} |\ln m – \ln n| & = |\ln m – \ln (2m)| \\ & = \ln \frac{2m}{m} \\ & = \ln 2 \\ & = \varepsilon \end{aligned}$$
Ini menunjukkan bahwa barisan $(\ln n)$ bukan merupakan barisan Cauchy ♥
Soal 4
Tunjukkan secara langsung dari definisi bahwa jika $(x_n)$ dan $(y_n)$ adalah barisan Cauchy, maka $(x_n+y_n)$ dan $(x_n y_n)$ adalah barisan Cauchy.
Jawab. Diberikan sebarang $\varepsilon>0.$ Maka, terdapat bilangan asli $N_1$ sedemikian sehingga $$|x_n – x_m| < \varepsilon/2, \quad m,n \in \mathbb{N}; m, n \geq N_1 $$dan terdapat bilangan asli $N_2$ sedemikian sehingga $$|y_n – y_m| < \varepsilon/2, \quad m,n \in \mathbb{N}; m, n \geq N_2$$
Pilih $N=\max (N_1, N_2).$ Misal bilangan asli $n$ dan $m$ yang lebih dari $N.$ Maka, $n$ dan $m$ lebih dari $N_1$ dan $N_2.$
Akibatnya, $$\begin{aligned}|(x_n+y_n)-(x_m+y_m)| & = |(x_n-x_m)-(y_n – y_m)| \\ & \leq |x_n-x_m|+|y_n-y_m| \\ & < \varepsilon/2+\varepsilon/2 \\ & =\varepsilon \end{aligned}$$
Ini menunjukkan bahwa barisan $(x_n+y_n)$ juga merupakan barisan Cauchy. Kemudian, karena $(x_n)$ dan $(y_n)$, maka kedua barisan tersebut terbatas yang berakibat bahwa terdapat $A>0$ dan $B>0$ sedemikian sehingga $|x_n| \leq A$ dan $|y_n|\leq B$ untuk setiap bilangan asli $n.$
Misal bilangan asli $n$ dan $m$ yang lebih dari $N.$ Maka, $n,m\geq N_1$ dan $n,m\geq N_2.$ Akibatnya, $$\begin{aligned}|(x_n y_n)-(x_m y_m)| & = |(x_n y_n -x_n y_m)-(-x_n y_m – x_m y_m)| \\ & \leq |x_n y_n-x_n y_m|+|x_n y_m- x_m y_m| \\ & = |x_n| \cdot |y_n – y_m| + |y_m| \cdot |x_n – x_m| \\ & \leq A |y_n – y_m| + B |x_n – x_m|\\ & < A \varepsilon/2+ B \varepsilon/2 \\ & = \frac{A+B}{2}\varepsilon \end{aligned}$$
Karena $\varepsilon>0$ sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa barisan $(x_n y_n)$ adalah barisan Cauchy ♥
Soal 5
Jika $x_n := \sqrt{n},$ tunjukkan bahwa $(x_n)$ memenuhi $\lim |x_{n+1} – x_n| = 0,$ tetapi barisan tersebut bukan merupakan barisan Cauchy.
Jawab. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \lim |x_{n+1} – x_n | & = \lim |\sqrt{n+1} – \sqrt{n}| \\ & = \lim (\sqrt{n+1} – \sqrt{n}) \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ & = \lim \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ & = 0\end{aligned} $$
Kemudian, pilih $\varepsilon = 1.$ Diberikan sebarang bilangan asli $N.$ Misal $m \geq N$ dan $n = 2m.$ Maka, $$|x_n – x_n| = |\sqrt{2m} – \sqrt{m}| = \sqrt{m} (\sqrt{2}-1) \geq 1$$
Ini menunjukkan bahwa barisan $(x_n)$ bukan merupakan barisan Cauchy ♥
Soal 6
Misalkan $p$ adalah suatu bilangan asli. Berikan contoh sebuah barisan $(x_n)$ yang bukan merupakan barisan Cauchy, tetapi memenuhi bahwa $\lim |x_{n+p} – x_n| = 0.$
Jawab. Misalkan $p$ adalah suatu bilangan asli. Kita akan menggunakan barisan yang mirip dengan barisan yang didefinisikan pada soal nomor 5. Untuk setiap bilangan asli $n$, kita definisikan $x_n := \sqrt{n}$. Sama seperti sebelumnya, kita melihat bahwa barisan tersebut bukan merupakan barisan Cauchy. Akan tetapi, kita juga lihat bahwa $$\begin{aligned} \lim |x_{n+p} – x_n| & =\lim |\sqrt{n+p} – \sqrt{n}| \\ & = \lim (\sqrt{n+p} – \sqrt{n}) \frac{\sqrt{n+p} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+p} + \sqrt{n}} \\ & = \lim \frac{(n+p)-n}{\sqrt{n+p} + \sqrt{n}} \\ & = \lim \frac{p}{\sqrt{n+p} + \sqrt{n}} \\ & = 0\end{aligned}$$
Ini menunjukkan bahwa barisan tersebut bukan merupakan barisan Cauchy, tetapi memenuhi bahwa $\lim |x_{n+p} – x_n| = 0$ ♥
Soal 7
Misalkan $(x_n)$ adalah barisan Cauchy sedemikian sehingga $x_n$ adalah bilangan bulat untuk tiap bilangan asli $n.$ Tunjukkan bahwa barisan tersebut pada akhirnya adalah konstan.
Jawab. Untuk menunjukkan bahwa barisan tersebut pada akhirnya adalah bilangan konstan, cukup menunjukka bahwa terdapat bilangan asli $N$ sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $n \geq N$ berlaku $x_n = x_N$.
Karena $(x_n)$ adalah barisan Cauchy, maka untuk $\varepsilon = \frac12,$ terdapat bilangan asli $N$ sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $m$ dan $n$ dengan $m,n \geq N$ berlaku $$|x_n – x_m| < \frac12$$
Pilih $m = N$, maka $$|x_n – x_N|<\frac12, \quad n \geq N $$Perlu diingat kembali sifat bilangan bulat bahwa selisih dari dua bilangan bulat bernilai $0,1,2,$ dan seterusnya, yaitu berupa bilangan bulat tak negatif. Karena $x_n$ adalah bilangan bulat dan begitupun dengan $x_N$ dan keduanya selisihnya kurang dari $1/2$, maka harusnya selisih keduanya adalah $0.$ Dengan kata lain, keduanya adalah sama, yaitu $x_n = x_N$ untuk tiap $n \geq N.$
Ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan asli $N$ sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $n \geq N$ berlaku $x_n = x_N$. Oleh karena itu, $(x_n)$ merupakan barisan yang pada akhirnya adalah bilangan konstan ♥
Soal 8
Tunjukkan secara langsung bahwa barisan monoton naik yang terbatas adalah barisan Cauchy.
Jawab. Diberikan barisan $(x_n)$ monoton naik dan terbatas. Akan ditunjukkan bahwa barisan tersebut merupakan barisan Cauchy.
Diberikan sebarang $\varepsilon>0.$ Misalkan $M:=\sup_{n\in \mathbb{N}} x_n.$ Supremum tersebut ada karena barisannya terbatas. Berdasarkan definisi supremum, maka terdapat $x_N$ sedemikian sehingga $$M – \varepsilon < x_N \leq M $$
Misalkan $m,n$ adalah sebarang bilangan asli yang lebih dari $N.$ Tanpa mengurangi keumuman, kita asumsikan bahwa $m \geq n.$ Karena barisan tersebut naik, maka $$M-\varepsilon < x_N \leq x_n \leq x_m \leq M < M + \varepsilon$$
Dari sini, $$|x_n-x_m| < (M+\varepsilon)-(M-\varepsilon) = 2\varepsilon $$Secara keseluruhan, diperoleh bahwa $$|x_n – x_m| < 2\varepsilon, \quad m,n \geq N $$Ini menunjukkan bahwa $(x_n)$ adalah barisan Cauchy.
Soal 9
Jika $0<r<1$ dan $|x_{n+1} – x_n|< C r^n$ untuk semua $n \in\mathbb{N},$ tunjukkan bahwa $(x_n)$ adalah barisan Cauchy.
Jawab. Kita ingat kembali bahwa untuk $0<r<1$ berlaku $$\lim r^n = 0 $$Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa $(x_n)$ adalah barisan Cauchy. Diberikan sebarang $\varepsilon>0.$ Karena $\lim r^n = 0,$ maka terdapat $N\in\mathbb{N}$ sedemikian sehingga $$r^n < (1-r)\varepsilon, \quad n\geq N$$
Diberikan sebarang bilangan asli $m,n \geq N.$ Tanpa mengurangi keumuman, kita ausmsikan bahwa $m\geq n.$ Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} |x_m – x_n| & \leq |x_m – x_{m-1}|+|x_{m-1}-x_{m-2}| + \cdots + |x_{n+2} – x_{n+1}| + |x_{n+1}-x_n| \\ & < r^{m-1} + r^{m-2} + \cdots r^{n+1} + r^n \\ & = r^n + r^{n+1} + \cdots r^{m-2} + r^{m-1} \\ & < r^n + r^{n+1} + \cdots \\ & = \frac{r^n}{1-r} \\ & = \frac{1}{1-r} r^n \\ & < \varepsilon \end{aligned} $$
Ini menunjukkan bahwa $(x_n)$ adalah barisan Cauchy ♥
Soal 10
Jika $x_1<x_2$ adalah sebarang bilangan real dan $x_n := \frac12 (x_{n-2}+x_{n-1})$ untuk $n>2,$ tunjukkan bahwa $(x_n)$ konvergen. Apa limitnya?
Jawab. Terlebih dahulu ditunjukkan bahwa barisan tersebut merupakan barisan konvergen. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} |x_{n+1}-x_{n}| & = |\frac12 (x_n + x_{n-1}) – x_n| \\ & = \frac12 |x_n – x_{n-1}| \\ & = \left( \frac12 \right)^2 |x_{n-1}-x_{n-2}|\\ & \vdots\\ & = \left(\frac12\right)^{n-1} |x_2-x_1| \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$|x_{n+1}-x_{n}| = M \left(\frac12\right)^n$$ dengan $$M = 2|x_2-x_1|$$
Oleh karena itu, $$\left|\frac{x_{n+1}}{M}-\frac{x_{n+1}}{M}\right| = \left(\frac12\right)^n $$Berdasarkan nomor 9, diperoleh bahwa barisan $(x_n/M)$ adalah barisan Cauchy yang berakibat bahwa barisan $(x_n/M)$ adalah barisan konvergen. Dari ini, haruslah barisan $(x_n)$ juga merupakan barisan konvergen. Misalkan titik kekonvergenannya adalah $x.$
Selanjutnya adalah menentukan nilai $x.$ Perhatikan bahwa $$x_n = \frac12 (x_{n-1}+x_{n-2}) $$mengimplikasikan bahwa $$x_n + \frac12 x_n = x_{n-1} + \frac12 x_{n-2} $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Dari sini, kita peroleh bahwa $$x_n + \frac12 x_n = x_{n-1} + \frac12 x_{n-2} = x_{n-2}+\frac12 x_{n-3} = \cdots = x_2 + \frac12 x_1 $$dan $$x_n + \frac12 x_{n-1} = x_2 + \frac12 x_1 $$
Dengan mengambil $n\to\infty,$ $$x+\frac{x}{2} = x_2 + \frac12 x_1 $$Dari sini, $$x = \frac{2x_2+x_1}{3} $$Secara keseluruhan, diperoleh bahwa $(x_n)$ konvergen dengan $\lim x_n = (2x_2+x_1)/3$ ♥
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal Analisis Real Barisan Cauchy. Jika Anda tertarik dengan pembahasan Soal Analisis Real lainnya dari buku “Introduction to Real Analysis” oleh Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
