Last Updated on April 16, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang solusi KNMIPA 2021 yang dikirim oleh salah satu pengunjung blog. Soal berikut terdiri dari 3 nomor yang masing-masing merupakan soal Struktur Aljabar, Analisis Real, dan Analisis Kompleks. Soal pertama dan kedua merupakan soal persiapan KNMIPA Universitas Indonesia.
Baca Juga:
Pembahasan KNMIPA 2020
Pembahasan KNMIPA 2021
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA
**Selamat menikmati**
Soal 1
Berikanlah suatu contoh grup $(G,*)$ sehingga $|G|=2^{2021}$ dan $a=a^{-1}$ untuk setiap $a\in G.$
Jawab.
Misalkan himpunan $\mathcal{A}=\{a_1, …, a_{2021}\}$ yang terdiri dari $2021$ objek yang berbeda satu sama lain. Didefinisikan $$G=2^{\mathcal{A}} $$yang keluarga himpunan yang terdiri dari semua subhimpunan dari $\mathcal{A}.$ Jelas bahwa $$|G| = 2^{\mathcal{A}}$$
Selanjutnya, didefinisikan operasi “$*$” pada $G$ dengan $$A*B = (A\cup B) \setminus (A \cap B) $$untuk setiap $A,B \in 2^{\mathcal{A}}.$ Berdasarkan sifat operasi himpunan, maka operasi tersebut memenuhi sifat tertutup dan asosiatif pada $G$ dengan unsur identitasnya adalah himpunan kosong $\emptyset$.
Lebih lanjut, jika $A=B \in 2^{\mathcal{A}},$ maka $$A*A = (A\cup B) \setminus (A \cap B) = A \setminus A = \emptyset $$Jadi, $(G,*)$ adalah grup dengan $|G|=2^{2021}$ dan $a=a^{-1}$ untuk setiap $a\in G.$
Soal 2
Misalkan $D = \{z \in \mathbb{C} : |z-2i| \leq 2\}$ dan pemetaan $f : D \to \mathbb{C}$ didefinisikan dengan $f(z) = \frac1z.$ Tentukan luas daerah hasil pemetaan $f$ tersebut.
Jawab. Misalkan $x+iy \in D.$ Maka, $$x^2+(y-2)^2 \leq 2 $$atau $$x^2+y^2 – 4y + 2\leq 0 $$
Kemudian, kita akan menentukan nilai dari $u$ dan $v$ sedemikian sehingga $$\frac1z = u + iv $$Untuk itu, perhatikan bahwa $$\frac1z = \frac{1}{x+iy} = \frac{1}{x+iy} = \frac{1}{x+iy} \cdot \frac{x-iy}{x-iy} = \frac{x -iy}{x^2+y^2}$$
Dari sini. $$u = \frac{x}{x^2 + y^2}, \quad v = \frac{-y}{x^2 + y^2} $$Langkah berikutnya menentukan nilai $x$ dan $y$ dalam $u$ dan $v.$
Dari kedua persamaan tersebut, diperoleh bahwa $$\frac{x}{u} = x^2+y^2 = – \frac{y}{v} $$dan $$x = – \frac{uy}{v} $$Subtitusi ke $$u = \frac{x}{x^2+y^2 } $$diperoleh bahwa $$\begin{aligned} u & = \frac{- \frac{uy}{v}}{\left(- \frac{uy}{v}\right)^2 + y^2} \\ u & = – \frac{- \frac{uy}{v}}{ \frac{u^2 y^2}{v^2} + y^2} \\ y & = – \frac{v}{u^2 + v^2} \end{aligned} $$
Kemudian, subtitusi nilai $y$ ke persamaan $x = – \frac{uy}{v}$, diperoleh bahwa $$x = \frac{u}{u^2 + v^2} $$Dari sini, $$x = \frac{u}{u^2 + v^2}, \quad y = – frac{v}{u^2 + v^2} $$
Subtutis kembali ke ketaksamaan $$x^2+y^2 – 4y + 2\leq 0 $$sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2 + y^2 -4y +2 & \leq 0 \\ \frac{u^2}{(u^2 + v^2)^2} + \frac{v^2}{(u^2 + v^2)^2} + \frac{4v}{u^2 + v^2} +2 & \leq 0 \\ \frac{u^2+v^2}{(u^2 + v^2)^2} + \frac{4v}{u^2 + v^2} + 2 & \leq 0 \\ 2(u^2 + v^2) + 4v + 1 & \leq 0 \\ u^2 + v^2 + 2 v + \frac12 & \leq 0 \\ u^2 (v+1)^2 -1 + \frac12 & \leq 0 \\ u^2 + (v+1)^2 & \leq \frac12 \\ u^2 + (v+1)^2 & \leq \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \end{aligned}$$
Oleh karena itu, hasil pemetaannya merupakan lingkaran yang berpusat di $(0,-1)$ dengan jari-jari $1/\sqrt{2}.$ Jadi, luas daerah hasil pemetaannya adalah $\pi/2$ satuan luas.
Soal 3
Diketahui barisan real $\{a_n\}$ dan $\{b_n\}$ yang keduanya konvergen ke nol. Jika $\{b_n\}$ monoton turun dan $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} – a_n}{b_{n+1} – b_n} = 2018, $$maka $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2 b_n} = \cdots$$
Jawab. Soal ini merupakan soal ONMIPA Tahun 2018 Analisis Real Isian Singkat nomor 8.
Demikian postingan kali ini terkait dengan solusi KNMIPA 2021 yang dikirimkan oleh salah seorang pengunjung blog ini. Jika Anda tertarik dengan soal dan pembahasan ONMIP/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
