Last Updated on April 18, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang pembahasan soal Analisis Real Prinsip Induksi Matematika. Soal berikut diambil dari buku Introduction to Real Analysis oleh Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert bagian 1.2 yang berisi materi tentang prinsip Induksi matematika dan terdiri dari pembuktian dan beberapa contoh penggunaan prinsp tersebut.
Baca Juga: Pembahasan Soal Analisis Real Bartle
**Selamat menikmati**
Soal 1
Buktikan bahwa $$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} $$untuk semua $n\in\mathbb{N}.$
Jawab.
Basis Induksi. Misalkan $n=1.$ Jelas bahwa pernyataan berlaku untuk $n$ demikian.
Langkah Indusi. Terlebih dahulu asumsikan bahwa pernyataan benar untuk $n=k,$ yaitu $$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1} $$Akan ditunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk $n=k+1.$ Untuk itu, perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{k+1}{(k+1)+1} & = \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ & = \frac{1}{k+1} \left(k+\frac{1}{k+2}\right) \\ & = \frac{1}{k+1} \cdot \frac{k^2 + 2k +1}{k+2} \\ & = \frac{1}{k+1} \cdot \frac{(k+1)^2}{k+2} \\ & = \frac{k+1}{(k+1)+1} \end{aligned}$$
Ini berarti bahwa pernyataan juga benar untuk $n = k + 1.$ Olhe karena itu, berdasarkan prinsip induksi matematika, diperolah bahwa pernyataan benar untuk setiap bilangan asli $n$ ♥
Soal 2
Buktikan bahwa $$1^3 + 2^3 + \cdots n^3 = \left[\frac12 n (n+1)\right]^2 $$untuk semua $n\in\mathbb{N}.$
Jawab.
Basis Induksi. Untuk $n=1,$ diperoleh bahwa ruas kirinya adalah $1.$ Sementara itu, ruas kanannya adalah $$\left[\frac12 n (n+1)\right]^2 = \left[\frac12 \cdot 1\cdot (1+1)\right]^2 = 1 $$sehingga pernyataan benar untuk $n=1.$
Langkah Induksi. Terlebih dahulu asumsikan bahwa pernyataan benar untuk $n=k,$ yaitu $$1^3 + 2^3 + \cdots k^3 = \left[\frac12 k (k+1)\right]^2 $$Kita akan menunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk $n=k+1.$ Untuk itu, perhatikan bahwa $$\begin{aligned} 1^3 + 2^3 + \cdots k^3 + (k+1)^3 & = \left[\frac12 k (k+1)\right]^2 + (k+1)^3 \\ & = \frac14 k^2 (k+1)^2 + (k+1)^3 \\ & = (k+1)^2 \left( \frac14 k^2 + (k+1)\right) \\ & = (k+1)^2 \left(\frac{k^2 + 4k + 4}{4}\right) \\ & = \frac14 (k+1)^2 (k+2)^2 \\ & = \left[ \frac12 (k+1) ((k+1)+1) \right]^2\end{aligned}$$
Ini berarti bahwa pernyataan benar untuk $n=k+1.$ Dengan prinsip induksi matematika, diperoleh bahwa pernyataan benar untuk setiap $n\in\mathbb{N},$ yaitu $$1^3 + 2^3 + \cdots n^3 = \left[\frac12 n (n+1)\right]^2 $$untuk semua $n\in\mathbb{N}$ ♥
Soal 3
Buktikan bahwa $$3 + 11 + \cdots + (8n-5) = 4n^2 – n $$untuk semua $n \in \mathbb{N}.$
Jawab.
Basis Induksi. Untuk $n=1,$ ruas kirinya adalah $3.$ Sementara itu, ruas kanannya adalah $$4 n^2 – n = 4 (1)^2 – 1 = 3 $$Ini menunjukkan bahwa pernyataan benar untuk $n=1.$
Langkah Induksi. Terlebih dahulu asumsikan bahwa pernyataan benar untuk $n=k,$ yaitu $$3 + 11 + \cdots + (8n-5) = 4n^2 – n. $$Akan ditunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk $n=k+1.$ Perhatikan bahwa $$\begin{aligned}3 + 11 + \cdots + (8k-5) + (8 (k+1) – 5) & = 4k^2 – k + (8 (k+1) – 5) \\ & = 4 k^2 – k + 8k + 8 – 5 \\ & = 4 k^2 +7k + 3 \\ & = 4 (k+1)^2 – (k+1)\end{aligned}$$
Ini berarti bahwa pernyataan juga benar untuk $n = k + 1.$ Berdasarkan prinsip induksi matematika, diperoleh bahwa pernyataan benar untuk setiap bilanga asli $n,$ yaitu $$3 + 11 + \cdots + (8n-5) = 4n^2 – n $$untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$
Soal 4
Buktikan bahwa $$1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \frac{4n^3 – n}{3} $$untuk semua $n \in \mathbb{N}.$
Jawab.
Basis Induksi. Untuk $n=1,$ ruas kirinya adalah $1$. Sementara itu, ruas kanannya adalah $$\frac{4\cdot 1^3 – 1}{3} = \frac{4-1}{3} = 1 $$Ini menunjukkan bahwa pernyataan benar untuk $n=1.$
Langkah Induksi. Terlebih dahulu asumsikan bahwa pernyataan benar untuk $n=k,$ yaitu $$1^2 + 3^2 + \cdots + (2k-1)^2 = \frac{4k^3 – k}{3} $$Akan ditunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk $n= k + 1.$ Kita dapat melihat bahwa $$\begin{aligned} 1^2 + 3^2 + \cdots + (2k-1)^2 +(2 (k+1) – 1)^2 & = \frac{4k^3 – k}{3} + (2 (k+1) – 1)^2 \\ & = \frac{k (4k^2-1)}{3} + (2k+1)^2 \\ & = \frac{k (2k+1) (2k-1)}{3} + (2k+1)^2 \\ & = (2k+1) \left( \frac{k (2k-1)}{3} + (2k+1) \right) \\ & = (2k+1) \left( \frac{k(2k-1)}{3} + \frac{6k + 3}{3} \right) \\ & = (2k+1) \frac{2k^2 + 5k +3}{3} \\ & = (2k+1) \frac{(2k+3)(k+1)}{3} \\ (k+1) \frac{(2k+1)(2k+3)}{3} \\ & = (k+1) \frac{4k^2 + 8 k + 3}{3} \\ & = (k+1) \frac{4 (k+1)^2 – 1}{3} \\ & = \frac{4 (k+1)^3 – (k+3)}{3} \end{aligned}$$
Ini menunjukkan bahwa pernyataan benar untuk $n = k + 1.$ Berdasarkan prinsip induksi matematika, diperoleh bahwa pernyataan benar untuk setiap bilangan asli $n,$ yaitu $$1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \frac{4n^3 – n}{3} $$untuk semua $n \in \mathbb{N}$ ♥
Soal 5
Buktikan bahwa $$1^2 – 2^2 + 3^2 + \cdots + (-1)^{n+1} n^2 = (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2} $$untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$
Jawab.
Basis Induksi. Misalkan $n=1.$ Ruas kirinya adalah $1.$ Sementara itu, ruas kanannya adalah $$(-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2} = (-1)^{1+1} \frac{1(1+1)}{2} = 1 $$Ini menunjukkan bahwa pernyataan benar untuk $n=1.$
Langkah Induksi. Terlebih dahulu asumsikan bahwa pernyataan benar untuk $n = k,$ yaitu $$1^2 – 2^2 + 3^2 + \cdots + (-1)^{k+1} k^2 = (-1)^{k+1} \frac{k(k+1)}{2} $$Akan ditunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk $n = k + 1.$ Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} 1^2 – 2^2 + 3^2 + \cdots + (-1)^{k+1} k^2 + (-1)^{(k+1) + 1} (k+1)^2 & = (-1)^{k+1} \frac{k(k+1)}{2} + (-1)^{(k+1) + 1} (k+1)^2 \\ & = (-1)^{k+1} (k+1) \left( \frac{k}{2} + (-1) (k+1) \right) \\ & = (-1)^{k+1} (k+1) \left( \frac{k}{2} – \frac{2k+2}{2} \right) \\ & = (-1)^{k+1} (k+1) \frac{-k-2}{2} \\ & = (-1)^{k+2} \frac{(k+1)(k + 2)}{2} \\ & = (-1)^{(k+1) + 1} \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \end{aligned}$$
Ini menunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk $n=k+1.$ Oleh karena itu, berdasarkan prinsip induksi matematika, diperoleh bahwa pernyataan benar untuk setiap bilangan asli $n,$ yaitu $$1^2 – 2^2 + 3^2 + \cdots + (-1)^{n+1} n^2 = (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2} $$untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ ♥
Soal 6
Buktikan bahwa $n^3 + 5n$ habis dibagi $6$ untuk semua $n\in\mathbb{N}.$
Jawab. Terlebih dahulu kita catat bahwa $k(k+1)$ selalu bernilai genap untuk setiap bilangan asli $k,$ yaitu jika $k$ genap, maka jelas bahwa $k(k+1)$ juga genap dan jika $k$ ganjil, maka $k+1$ genap yang berakibat bahwa $k(k+1)$ juga genap. Oleh karena itu, $k(k+1)$ dibagi dua.
Basis Induksi. Untuk $n=1,$ diperoleh bahwa $$n^3 + 5n = 1^3 + 5 \cdot 1 = 6 $$habis dibagi $6$ sehingga pernyataan bernilai benar untuk $n=1.$
Langkah Induksi. Terlebih dahulu asumsikan bahwa pernyataan benar untuk $n=k,$ yaitu $k^3 + 5k$ habis dibagi $6.$ Kita akan menunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk $n=k+1.$ Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+1)^3 – 5 (k+1) & = k^3 + 3 k^2 + 3 k + 1 – (5k + 5) \\ & = (k^3 + 5k) + 6 + (3k^2 + 3k) \\ & = (k^3 + 5k) + 6 + 3 k (k+1)\end{aligned}$$
Karena $k(k+1)$ habis dibagi dua, maka $3k(k+1)$ habis dibagi $6.$ Dari sini, karena $k^3+5k$ dan $3k(k+1)$ habis dibagi $6,$ maka $$(k+1)^3 + 5 (k+1) = (k^3 + 5k) + 6 + 3 k (k+1) $$habis dibagi $6.$ Berdasarkan prinsip induksi matematika, diperoleh bahwa $n^3 + 5n$ habis dibagi $6$ untuk semua $n\in\mathbb{N}$ ♥
Demikian ostingan kali ini tentang pembahasan soal Analisis Real Prinsip Induksi Matematika. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal Analisis Real lainnya, terutama dari buku Introduction to Real Analysis oleh Bartle dan Sherbert, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik ataupun materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
