Last Updated on Juni 26, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang pembahasan soal persiapan KNMIPA 2022 yang dikirim oleh salah seorang pembaca blog ini. Soal berikut terdiri dari dua buah yang masing-masing merupakan soal Analisis Real dan Struktur Aljabar.
Lihat Juga: Pembahasan Soal Analisis Real buku Bartle
**Selamat menikmati**
Soal 1
Diketahui $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$. Misalkan $x,y\in G$ sehinggga $$x^2=e, y^3=e $$dan $$yxy=xy^2x $$
Jumlah dari semua nilai $ord (xy)$ yang mungkin memenuhi adalah…
Jawab. Perlu diingat kembali bahwa orde suatu elemen $a$ dari suatu grup $G$ adalah $$ord(a) = \{ n \in \mathbb{N} : a^n=e \} $$dengan $e$ adalah unsur identitas.
Berdasarkan asumsi pada soal, kita peroleh bahwa $$\begin{aligned} y x y & = x y^2 x \\ x (y x y) & = x (x y^2 x) \\ (xy)^2 & = x^2 y^2 x \\ (xy)^2 &= e y^2 x \\ (xy)^2 & = y^2 x \\ (xy)^3 & = (xy) (y^2x) \\ (xy)^3 &= x (y^3) x \\ (xy)^3 & = x (e) x \\ (xy)^3 & = x^2 \\ (xy)^3 & = e \end{aligned}$$
Oleh karena itu, salah satu orde yang mungkin dari $xy$ adalah $3.$ Berdasarkan sifat dari orde dari suatu elemen grup, maka semua orde yang mungkin untuk $xy$ adalah $1$ dan $3$.
Jadi, jumlah dari semua nilai $ord(xy)$ yang mungkin memenuhi adalah $1+3=4$. ♥
Baca Juga: Soal dan Pembahasan KNMIPA 2021
Soal 2
Tentukan sebuah subhimpuan dari himpuan bilangan real yang tepat memiliki 2021 buah titik.
Jawab. Titik limit dari sebuah himpunan tak kosong $A$ adalah titik $a$ sedemikian sehingga untuk setiap $\varepsilon>0$ terdapat $x\in A$ sedemikian sehingga $$x \in A \cap V_{\varepsilon} \setminus \{a\} $$
Dengan kata lain, untuk setiap $\varepsilon>0,$ $$A \cap V_{\varepsilon} \setminus \{a\} \neq \emptyset$$
Tinjau himpunan $$A_0 = \left\{ \frac1n : n \in \mathbb{N} \right\}.$$ Dengan sifat Archimedes, dapat dibuktikan bahwa $A_0$ memiliki tepat satu titik limit, yaitu $0.$ Kita hanya perlu memperluas himpunan $A_0$ menjadi himpunan dengan $2021$ titik limit dengan menggabungkannya dengan himpunan-himpunan lain yang serupa tetapi masing-masing saling bebas. Salah satunya adalah meninjau himpunan berikut.
$$A_k = \left\{ 2^{k-1}+ \frac1n ; n \in \mathbb{N} \right\}$$
Sama halnya dengan $A_0$, untuk setiap $k$, $A_k$ memiliki satu titik limit, yaitu $2^{k-1}$. Perhatikan juga bahwa keluarga himpunan $$\left\{ A_0, A_1, \cdots, A_{2020} \right\} $$juga saling bebas. Dari sini, himpunan $$A = A_0 \cap A_1 \cap \cdots A_{2020} $$tepat memiliki $2021$ buah titik limit. ♥
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal persiapan KNMIPA 2022 bidang Matematika. Jika Anda tertarik dengan soal dan pembahasan KNMIPA ataupun ONMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi ataupun topik lainnya, silahka ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
