Last Updated on November 14, 2024 by prooffic
Postingan kali ini adalah tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2022 Analisis Kompleks Tingkat Wilayah. Soal ONMIPA 2020 Analisis Kompleks untuk Tingkat Wilayah terdiri dari soal isian singkat dan uraian yang masing-masing terdiri dari 2 nomor. Materi yang termuat dalam pembahasan berikut adalah akar bilangan kompleks, bagian real dan imajiner bilangan kompleks, ketaksamaan, dan konsep keterdiferensialan kompleks.
**Selamat membaca**
Baca Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Tingkat Universitas, Tingkat Wilayah, dan Tingkat Nasional
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Analisis Kompleks
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA 2021 Tingkat Nasional
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA 2021 Tingkat Wilayah
Isian Singkat
Soal 1
Jawab. Untuk soal ini, kita akan menggunakan konsep akar pangkat dari bilangan kompleks. Misalkan $z_0$ adalah bilangan kompleks dan $n\in\mathbb{N}.$ Maka, Bilangan kompleks $z$ ang memenuhi $z^n = z_0$ adalah $$z_k = \sqrt[n]{|z_0|} \exp \left( \frac{Arg (z_0) + 2 \pi k}{n} i\right) $$untuk $k = 0, 1, …, n-1.$ Pada soal tersebut, $z_0 = 20$ sehingga $|z_0| = 0$ dan $Arg (z_0) = 0$.
Oleh karena itu, $z$ yang memenuhi $z^{20} = 22$ berbentuk $$z_k = \sqrt[n]{|z_0|} \exp \left( \frac{Arg (z_0) + 2 \pi k}{n} i\right) = \sqrt[n]{22} \exp \left( \frac{2 \pi k}{20} i\right)$$untuk $k = 0, 1, …, 19.$ Perhatikan bahwa $z_k$ akan bernilai real jika $k = 0$ dan $k=10,$ yaitu $$z_0 = \sqrt[n]{22} $$dan $$z_{10} = \sqrt[n]{22} \exp (\pi i) = \sqrt[n]{22} (-1) = – \sqrt[n]{22}.$$
Jadi, banyaknya bilangan kompleks tak real $z$ yang memenuhi $z^{20} = 22$ adalah $20 – 2 = 18$ ♥
Soal 2
Jawab. Untuk $z \in \mathbb{C},$ definisi dari $\sin (z)$ adalah $$\sin (z) = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}. $$Maka, $$\begin{aligned} z & =\sin \left( \frac{\pi}{4} + i \right) \\ & = \frac{e^{i \left( \frac{\pi}{4} + i\right)} – e^{-i \left( \frac{\pi}{4} + i\right)}}{2i} \\ & = \frac{e^{-1 + \frac{\pi i}{4}} – e^{1 – \frac{\pi i}{4}}}{2i} \\ & = \frac{1}{2i} \left( \frac1e \left(e^{\frac{\pi i}{4}}\right) – e \left(e^{-\frac{\pi i}{4}}\right) \right) \\ & = \frac{1}{2i} \left( \frac1e \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) – e \left(\cos \frac{\pi}{4} – i \sin \frac{\pi}{4}\right) \right) \\ \\ & = \frac{1}{2i} \left( \frac1e \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right) – e \left( \frac{1}{\sqrt{2}}- i \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right) \\ & = – \frac{1}{2e\sqrt{2}} i + \frac{1}{2e\sqrt{2}} + \frac{e}{2\sqrt{2}} i + \frac{e}{2\sqrt{2}}.\end{aligned}$$
Dari sini, $$Re (z) = \frac{1}{2e\sqrt{2}} + \frac{e}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left(e + \frac1e\right) $$dan $$Im (z) = – \frac{1}{2e\sqrt{2}} + \frac{e}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left(e – \frac1e\right).$$
Oleh karena itu, $$\begin{aligned} \sqrt{2} (Re (z) + Im (z)) & = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \left(e + \frac1e\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \left(e – \frac1e\right)\right) \\ & = \frac12 \left( e+ \frac1e + \left(e – \frac1e\right)\right) \\ & = e.\end{aligned}$$
Jadi, $\sqrt{2} (Re (z) + Im (z)) = e$ ♥
Uraian
Soal 1
Jawab. Terlebih dahulu ditunjukkan bahwa jika $|w| = 1$, maka $$w + \frac1w$$ adalah bilangan real. Untuk itu, perhatikan bahwa $w \cdot \bar{w} = |w|^2 =1$ dan $$\begin{aligned} w + \frac1w & = w + \frac{\bar{w}}{w \cdot \bar{w}} \\ & = w + \frac{\bar{w}}{1} \\ & = w + \bar{w} \\ & = \frac12 Re (w).\end{aligned}$$
Oleh karena itu, $w + \frac1w$ adalah bilangan real. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa $$z = (a+b) \left( \frac1a + \frac1b \right) $$merupakan bilangan real. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} z & = (a+b) \left( \frac1a + \frac1b \right) \\ & = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 \\ & = 2 + \frac{a}{b} + \frac{1}{\frac{a}{b}}\end{aligned}.$$
Karena $$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} = 1, $$maka $$\frac{a}{b} + \frac{1}{\frac{a}{b}} $$adalah bilangan real yang berakibat bahwa $$z = 2 + \frac{a}{b} + \frac{1}{\frac{a}{b}} $$adalah bilangan real.
Selanjutnya, berdasarkan ketaksamaan segitiga, dipeorleh bahwa $$|z| = \left|2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right| \leq 2 + \left|\frac{a}{b}\right| + \left|\frac{b}{a}\right| = 4 $$yang berakibat $$z \leq |z| \leq 4.$$
Karena $\left|\frac{a}{b}\right| = 1$, maka $\frac{a}{b}$ ada di lingkaran satuan yang berakibat bahwa $$Re \left(\frac{a}{b}\right) \geq -1. $$Oleh karena itu, $$z = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 + 2 Re \left(\frac{a}{b}\right) \geq 2 + 2 (-1) = 0.$$
Secara keseluruhan, $$0 \leq z \leq 4. $$Jadi, $$z = (a+b) \left( \frac1a + \frac1b \right) $$merupakan bilangan real dan memenuhi $0 \leq z \leq 4.$
Soal 2
Diberikan fungsi kompleks $$f(z) = \begin{dcases} \frac{\bar{z}^3}{z^2} & z \neq 0\\ 0, & z = 0. \end{dcases} $$Apakah fungsi $f$ terdiferensiasi di $z=0$? Jelaskan!
Jawab. Suatu fungsi $f$ terdiferensialkan di $z_0$ jika $$\lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h) – f(z_0)}{h} $$ada. Oleh karena itu, perlu dicek apakah limit $$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h) – f(z_0)}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{ \bar{h}^3}{h^3} \end{aligned}$$ada. Misalkan $h = x_h + i_y$. Mengecek apakah limit tersebut ada adalah ekuivalen dengan mengecek apakah limit $$\lim_{(x_h, y_h) \to (0,0)} \frac{\overline{(x_h + i y_h)}^3}{(x_h + i y_h)^3} = \lim_{(x_h, y_h) \to (0,0)} \frac{(x_h – i y_h)^3}{(x_h + i y_h)^3}. $$
Ingat kembali bahwa limit tersebut ada jika titik $0$ didekati arah manapun, maka fungsinya akan menuju ke titik yang sama. Tinjau untuk titik-titik $h_1 = (x_h, 0)$ tak nol yang terletak pada sumbu $-x$, maka $$\frac{(x_h – i \cdot 0)^3}{(x_h + i \cdot 0)^3} = \left(\frac{x_h}{x_h} \right)^3 = 1. $$
Akan tetapi, untuk titik-titik $h_2 = (0, y_h)$ tak nol yang terletak pada sumbu $-y$, maka $$\frac{(0 – i y_h)^3}{(0 + i y_h)^3} = \left(\frac{-i}{i} \right)^3 = -1. $$Dari sini, dapat disimpulkan bahwa limit $$\lim_{(x_h, y_h) \to (0,0)} \frac{(x_h – i y_h)^3}{(x_h + i y_h)^3} $$tidak ada yang berakibat bahwa limit $$\lim_{h \to 0} \frac{ \bar{h}^3}{h^3}$$ tidak ada. Akibatnya, $f'(0)$ tidak ada dan $f$ tidak terdiferensiasi di $z = 0.$
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2022 Analisis Kompleks Tingkat Wilayah. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
