Last Updated on Februari 24, 2022 by prooffic
Postingan kali ini adalah mengenai soal dan pembahasan KNMIPA 2020. Kita akan membahas soal dan penyelesaian dari KN-MIPA PT Bidang Matematika 2020 Uraian nomor 3 hari pertama Struktur Aljabar. Materi dalam pembahasan ini merupakan Struktur Aljabar. Penyelesaian berikut menggunakan sifat-sifat dasar grup hingga, order grup dan homomorfisma.
**Selamat membaca**
Soal
Misalkan $G$ adalah suatu grup hingga yang tidak mengandung unsur berorde 3. Misalkan untuk setiap $x,y \in G$ berlaku $(xy)^{3}=x^{3}y^{3}$.
(a) Buktikan bahwa untuk setiap $g \in G$ terdapat $z \in G$ sedemikian sehingga $g = z^{3}$.
(b) Tunjukkan bahwa untuk setiap $x,y \in G$ berlaku $xy^{2}=y^{2}x$.
(c) Buktikan bahwa $G$ komutatif.
Baca jua:
Jawab
Misalkan $G$ adalah grup dengan elemen-elemen yang memenuhi syarat tersebut. Akan ditunjukkan bagian (a), (b) dan (c) sebagai berikut.
(a) Misalkan $g$ adalah sebarang anggota dari $G$. Karena $G$ adalah grup berhingga, maka orde dari $g$ berhingga, sehingga dapat dimisalkan bahwa $m$ adalah orde dari $g$.
Dari sini, $g^{m}=e$ dengan $e$ adalah unsur identitas dari $G$. Dengan sifat dasar grup, maka kita peroleh bahwa $(g^{3})^{m}=e$. Jika $n$ adalah orde dari $g^{3}$, maka haruslah $n|m$.
Note: Misalkan $G$ adalah grup dengan unsur identitas $e$ dan misalkan $g\in G$. Orde dari $g$ didefinisikan sebagai $$ \min \{m\in \mathbb{N} : g^{m}=e\}$$
Selanjutnya, karena $n$ adalah order $g^{3}$, maka kita peroleh bahwa $(g^{3})^{n}=e$. Dengan sifat dasar grup, diperoleh juga bahwa $g^{3n}=e$. Dari sini, $m|3n$. Karena $G$ tidak mengandung unsur berorde 3, maka $m$ bukan kelipatan 3, sehingga haruslah $m|n$. Dengan fakta bahwa $n|m$ dan $m|n$, maka kita peroleh $m=n$. Sehingga, orde dari $g$ dan $g^{3}$ adalah sama.
Perhatikan bahwa $$\langle g \rangle = \{g, g^{2}, … , g^{m} = e\} $$adalah himpunan dengan $m$ anggota yang berbeda karena $m$ adalah orde dari $g$. Dengan argumen yang sama, maka $$\langle g^{3} \rangle = \{g^{3}, g^{6}, … , g^{3m} = e\} $$adalah himpunan dengan $m$ anggota yang berbeda. Dapat ditunjukkan bahwa $\langle g \rangle$ dan $\langle g^{3} \rangle$ membentuk grup terhadap operasi yang sama dengan $G$.
Kemudian, tinjau pemetaan $$ f:\langle g^{3} \rangle \rightarrow \langle g \rangle $$dengan $f(z)=z$ untuk setiap $z \in \langle g^{3} \rangle$. Perhatikan bahwa $f$ adalah homomorfisma dari $\langle g^{3} \rangle$ ke $\langle g\rangle$. Langkah selanjutnya adalah menunjukkan homomorfisma tersebut adalah satu-satu dengan menunjukkan bahwa Kernel $f$ adalah identitas dari $\langle g^{3} \rangle$. Karena $\langle g^{3} \rangle$ adalah subgrup dari $G$, maka identitas dari $\langle g^{3} \rangle$ adalah $e$. Misalkan $z$ adalah sebarang anggota dari kernel $f$, maka $$e = f(z)=z$$
Dari sini, jika $z$ adalah sebarang kernel dari $f,$ maka $z = e = g^{3m}.$ Sehingga, $$ \text{Ker} f \subseteq \{ e \} $$Selain itu, jelas bahwa $$ \{ e \} \subseteq \text{Ker} f $$Dari sini, $$ \{ e \} = \text{Ker} f $$
Oleh karena itu, kernel $f$ adalah identitas dari $\langle g^{3} \rangle,$ yaitu $e = g^{3m}$. Akibatnya, homorofisma tersebut adalah homorfirsma satu-satu. Karena homomorfisma tersebut satu-satu, serta $\langle g \rangle$ dan $\langle g^{3} \rangle$ memiliki banyaknya anggota yang sama dan berhingga, maka homomorfisma tersebut juga surjektif (pada).
Ini bermakna bahwa untuk $g \in \langle g \rangle$, terdapat $z \in \langle g^{3} \rangle$ sedemikian sehingga $g=z$. Dengan fakta bahwa $z \in \langle g^{3} \rangle$, maka $g=(g^{3})^k = (g^{k})^{3}$ untuk suatu $k \in \{1, … , m\}$. Jadi, $g=z^{3}$ untuk suatu $z=g^{k} \in G$ ♦
(b) Misalkan $x,y \in G$ sebarang. Berdasarkan asumsi, maka $$\begin{aligned} (xy)^{3} &=x^{3}y^{3} \\ (xy)(xy)(xy) &= (xxx)(yyy) \\ yxyx &= (xx)(xyy) \\ (yx)^{2} &= x^{2} y^{2} \end{aligned} $$Selain itu, kita juga memperoleh bahwa $$\begin{aligned} (xy)^9 &= ((xy)^{3})^{3} \\ &=(x^{3}y^{3})^{3} \\ &=x^{9}y^{9} \end{aligned} $$
Dengan mengurai ruas kiri dan ruas kanan, serta fakta bahwa $(xy)^{3}=x^{3}y^{3}$ dan $(yx)^{2} = x^{2} y^{2}$ untuk setiap $x,y \in G$, akan diperoleh bahwa $$\begin{aligned} (yx)^{8} &= x^{8} y^{8} \\ ((yx)^{2})^{4} &=x^{8} y^{8} \\ ((x^{2}y^{2})^{4} &=x^{8} y^{8} \\ (y^{2}x^{2})^{3} &= (x^{2})^{3}(y^{2})^{3} \\ (y^{2})^{3}(x^{2})^{3} &=(x^{2})^{3}(y^{2})^{3}\end{aligned} $$Karena $G$ tidak mengandung unsur berorde 3, maka haruslah $$y^{2}x^{2}=x^{2}y^{2}$$ Dari $(yx)^{2} = x^{2} y^{2}$, maka $$(xy)^{2} = y^{2} x^{2}=x^{2}y^{2}$$.
Oleh karena itu, $$\begin{aligned} (yx)^{2}=x^{2} y^{2} \\ (yx)(yx) &= (xx)(yy) \\ x(yx)(yx) &= x(xx)(yy) \\ (xy)(xy)(x) &= (xxx)(yy) \\ (xx)(yy)(x) &= (xxx)(yy) \end{aligned}$$Dengan hukum pencoretan, maka $y^{2}x=xy^{2}$. Jadi, $y^{2}x=xy^{2}$ untuk setiap $x,y \in G$. ♦
(c) Dari bagian (b) sebelumnya diperoleh bahwa untuk setiap $x,y \in G$, berlaku $y^{2}x=xy^{2}$. Maka, dari $x^{2}y^{2}=(xy)^{2} $ akan diperoleh bahwa $$\begin{aligned} xy^{2}x &=x^{2} y^{2}\\ xy^{2}x &= xyxy \\yx &= xy\end{aligned} $$Jadi, $G$ adalah komutatif. ♦
Demikian postingan kali ini tentang soal dan pembahasan KNMIPA 2020 Uraian nomor 3 hari pertama Struktur Aljabar. Simak postingan lainnya tentang soal dan pembahasan Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (ON MIPA) / Kompetisi Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (KN MIPA) dan topik-topik lainnya. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
