Last Updated on November 15, 2024 by prooffic
Postingan kali ini adalah mengenai soal dan pembahasan KNMIPA 2020. Kita akan membahas soal dan penyelesaian dari KN-MIPA PT Bidang Matematika 2020 Isian (Bagian Pertama) Hari Kedua nomor 4, 5 dan 6 yang memuat materi Analisis Kompleks. Materi yang dimuat dalam soal ini merupakan analisis kompleks. Penyelesaian berikut menggunakan sifat-sifat dasar bilangan kompleks dan transformasi Mobius.
**Selamat Membaca**
SOAL 4
Banyaknya bilangan kompleks $z$ sehingga $z^{2020}=1$ tetapi $z^{20} \neq 1$ adalah …
Jawab: Terlebih dahulu perhatikan bahwa dengan rumus akar ke-$n$ dari suatu bilangan kompleks, maka bilangan kompleks $z$ sedemikian sehingga $z^{2020}=1$ adalah
$$z= \exp \left(\frac{2 \pi k}{2020}i\right), k = 0, … ,2019. $$
Dari sini,
$$z^{20}= \exp \left(\frac{2 \pi k}{101}i\right), k = 0, … ,2019 $$
Akibatnya, $z^{20}=1$ ketika $\frac{k}{101}$ adalah bilangan bulat, yaitu ketika $k=101m$ untuk suatu $m$ bilangan bulat tak negatif. Banyaknya $k$ yang demikian adalah $20$. Ini berakibat bahwa banyaknya bilangan kompleks $z$ sedemikian sehingga $z^{2020}=1$ dan $z^{20} = 1$ adalah 20. Jadi banyaknya bilangan kompleks $z$ sehingga $z^{2020}=1$ tetapi $z^{20} \neq 1$ adalah $2020-20=2000$. ♦
SOAL 5
Cakram terbuka
$$A= \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z -\frac{1}{3} \right| < r \right\}$$
dipetakan oleh fungsi
$$f(z)=\frac{z}{z+1}$$
menjadi cakram terbuka
$$B= \left\{ z \in \mathbb{C} : |z| < \frac{1}{2} \right\}$$
Nilai $r$ adalah …
Jawab: Fungsi $f(z)=\frac{z}{z+1}$ merupakan pemetaan mobius yang memetakan cakram menjadi cakram. Sehingga, $f(z)$ memetakan titik $z$ di lingkaran yang merupakan batas $A$ ke suatu titik $w$ di lingkaran yang merupakan batas $B$. Selain itu, $f^{-1}(z)$ akan memetakan $w$ ke $z$.
Pilih salah satu titik $w$ di batas B, untuk memudahkan, maka kita pilih $w=\frac{1}{2}$. Sebelumnya, perhatikan bahwa
$$z=f^{-1}(w) = \frac{w}{1-w}$$
Sehingga, untuk $w=\frac{1}{2}$,
$$z=f^{-1}(w) = f^{-1}(1/2) =\frac{1/2}{1-1/2}=1.$$
Karena $r$ pada dasarnya adalah jari-jari cakram $A$ dan $z=1$ ada di lingkaran yang merupakan batas cakram $A$, maka $r$ adalah jarak antara $z=\frac{1}{3}$ (pusat cakram) dan $z=1$. Jadi, $r=|\frac{1}{3}-1|=\frac{2}{3}$. ♦
SOAL 6
Penyelesaian dari persamaan
$$ie^{z}+1=0$$
yang memenuhi $4<|z|<5$ adalah …
Jawab: Dengan mengalikan kedua ruas di persamaan
$$ie^{z}+1=0$$
dengan $-i$, kita akan peroleh bahwa
$$e^{z}=i$$
Dari sini,
$$e^{z}=i=e^{\pi i/2}$$
Akibatnya, $z=\pi i/2 +2 \pi k$ dengan $k \in \mathbb{Z}$. Dapat dicek bahwa nilai $z$ yang memenuhi agar $4<|z|<5$ hanya $\frac{-3 \pi i}{2}$, yaitu ketika $k = -1$. Jadi, penyelesaian dari
$$ie^{z}+1=0$$
yang memenuhi $4<|z|<5$ adalah $z=\frac{-3 \pi i}{2}$. ♦
Demikian postingan kali ini tentang soal dan pembahasan KNMIPA 2020 isian (bagian kedua) hari kedua Analisis Kompleks. Simak postingan lainnya tentang soal dan pembahasan Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (ON MIPA) / Kompetisi Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (KN MIPA) dan topik-topik lainnya. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
