Last Updated on Mei 19, 2021 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal ONMIPA Matematika 2019 Analisis Kompleks Tingkat Nasional. Pada kesempatan kali ini, kita hanya akan membahas soal hari pertama saja. Pembahasan Soal ini memuat materi tentang hubungan nilai mutlak dan konjugat dari bilangan kompleks.
Selain hubungan nilai mutlak dan konjugat dari bilangan kompleks, pembahasan berikut juga akan melibatkan deret pangkat dan Teorema Fubini-Tonelli. Expansi deret pangkat suatu fungsi tertentu juga akan digunakan.
**Selamat Menikmati**
Soal Hari Pertama
Diberikan fungsi kompleks $$f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n z^n $$yang bersifat analitik pada $\mathcal{U} := \{ z \in \mathbb{C} : |z|<1\}$ dan asumsikan bahwa $$W:=\int \int_{\mathcal{U}} |f'(z)|^2 dx dy < \infty. $$Buktikan:
- $W=\pi \sum_{n = 1}^{\infty} n|c_n|^2.$
- untuk setiap $z \in \mathcal{U}$ berlaku $$|f(z) – f(0)| \leq \sqrt{\frac{W}{\pi} \ln{\frac{1}{1-|z|^2}}}.$$
Baca juga:
Jawab:
Perhatikan bahwa dengan menggunakan bentuk polar $z = r e^{i \theta}$, maka diperoleh
$$W =\int \int_{\mathcal{U}} |f'(z)|^2 dx dy = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} |f'(r e^{i \theta}|^2 r dr d\theta $$
Kemudian, karena $$W:=\int \int_{\mathcal{U}} |f'(z)|^2 dx dy < \infty, $$maka dengan Teorema Fubini-Toneli, diperoleh
$$\begin{aligned} W &=\int \int_{\mathcal{U}} |f'(z)|^2 dx dy \\ &= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} |f'(r e^{i \theta})|^2 r dr d\theta \\ &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} |f'(r e^{i \theta})|^2 r d\theta dr\end{aligned}$$
Kemudian, perhatikan bahwa karena $$f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n z^n, $$ maka $$f'(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} n c_n z^{n-1}. $$Sehingga, untuk $z = r e^{i \theta}$, maka dengan hubungan nilai mutlak dan konjugat bilangan kompleks, diperoleh $$\begin{aligned} \left|f'(r e^{i \theta}) \right|^2 &= \left|\sum_{n = 0}^{\infty} n c_n (r e^{i \theta})^{n-1} \right|^2 \\&= (c_1 + 2 c_2 r e^{i \theta} + 3 c_3 r^2 e^{2i\theta} + \cdots)(\bar{c}_1 + 2 \bar{c}_2 r e^{-i \theta} + 3 \bar{c}_3 r^2 e^{-2i\theta} + \cdots)\\ &= \left( \sum_{m = 1}^{\infty} m c_m r^{m-1} e^{i (m-1) \theta} \right) \left( \sum_{n = 1}^{\infty} n \bar{c}_n r^{n-1} e^{- i (n-1) \theta} \right) \\ &= \sum_{m, n = 1}^{\infty} (m n ) c_m \bar{c}_n r^{m + n – 2} e^{i (m-n) \theta}\end{aligned}$$
Karena $$\int_{0}^{2 \pi} e^{in\theta} d\theta = 0$$untuk setiap $n \neq 0$, maka akan diperoleh $$\begin{aligned} \int_{0}^{2 \pi} \left|f'(r e^{i \theta}) \right|^2 d\theta &= \int_{0}^{2 \pi} (c_1 \bar{c}_1 + 2^2 r c_2 \bar{c}_2 + 3^2 r^2 c_3 \bar{c}_3 + \cdots) d\theta \\ &= 2\pi \sum_{n = 1}^{\infty} n^2 |c_n|^2 r^{2n – 2} \end{aligned}$$
Dari sini, $$\begin{aligned} \int \int_{\mathcal{U}} |f'(z)|^2 dx dy &=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} |f'(r e^{i \theta})|^2 r d\theta dr \\ &= \int_{0}^{1} \left( 2\pi \sum_{n = 1}^{\infty} n^2 |c_n|^2 r^{2n – 2} \right) r dr \\ &= 2 \pi \sum_{n = 1}^{\infty} n^2 |c_n|^2 \int_{0}^{1} r^{2n – 1} dr \\ &= 2\pi \sum_{n = 1}^{\infty} n^2 |c_n|^2 \left( \frac{1}{2n}\right) \\ &= \pi \sum_{n = 1}^{\infty} n |c_n|^2\end{aligned}$$
Jadi, $W = \pi \sum_{n = 1}^{\infty} n |c_n|^2$. Ini membuktikan bagian (1).
Selanjutnya, dari $$f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n z^n, $$ maka dengan ketaksamaan segitiga, diperoleh
$$\begin{aligned}|f(z)-f(0)|^2 &=\left|\sum_{n = 1}^{\infty} c_n z^n \right|^2 \\ &\leq \left(\sum_{n = 0}^{\infty} |c_n| |z|^n \right)^2 \end{aligned}$$
Dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, maka $$\begin{aligned} \left(\sum_{n = 1}^{\infty} |c_n| |z|^n \right)^2 &= \left(\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{n} |c_n| \frac{1}{\sqrt{n}} |z|^n \right)^2 \\ &\leq \left( \sum_{n = 1}^{\infty} n |c_n|^2\right) \left( \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{|z|^2}{n}\right) \end{aligned}$$
Karena $|z|<1$, maka $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|z|^{2n}}{n} = \ln{\frac{1}{1 – |z|^2}}$$
Oleh karena itu, $$\begin{aligned}|f(z)-f(0)|^2 & \leq \left(\sum_{n = 1}^{\infty} |c_n| |z|^n \right)^2\\ & \leq \left( \sum_{n = 1}^{\infty} n |c_n|^2\right) \left( \ln{\frac{1}{1 – |z|^2}} \right)\\ &= \frac{1}{\pi}\left(\pi \sum_{n = 1}^{\infty} n |c_n|^2\right) \left(\ln{\frac{1}{1 – |z|^2}}\right) \\&= \frac{W}{\pi} \ln{\frac{1}{1 – |z|^2}} \end{aligned}$$
Sehingga, $$\begin{aligned} |f(z) – f(0)| \leq \sqrt{\frac{W}{\pi} \ln{\frac{1}{1 – |z|^2}}}\end{aligned}$$
Ini membuktikan bagian 2.
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA Matematika 2019 Analisis Kompleks Tingkat Nasional. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.