Last Updated on Mei 16, 2021 by prooffic
Postingan kali ini adalah tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2017 Kombinatorika Tingkat Nasional Hari Kedua. Soal ini memuat materi tentang relasi rekursif dan teori bilangan. Selain itu, soal tersebut juga melibatkan jumlahan tak hingga.
Terkait dengan jumlahan tak hingga tersebut, penyelesaiannya menggunakan deret teleskopik. Ini akan memudahkan dalam menentukan jumlahan tak hingganya. Sedangkan materi teori bilangannya menyangkut mengenai Algoritma Euclid terkait penentuan Faktor/pembagi Persekutuan Terbesar (FPB) dua buah bilangan.
** Selamat menikmati **
Soal
Sebuah barisan $\{ Y_n\}$ didefinisikan oleh $Y_1 = 2$ dan $Y_{n+1} = Y_n (Y_n – 1) + 1,$ untuk $n \geq 1.$ Buktikan bahwa bila $m \neq n$, maka pembagi sekutu terbesar dari $Y_m$ dan $Y_n$ adalah $1$ dan $$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{Y_i} = 1$$
Baca juga:
Jawab: Sebelumnya, jelas bahwa $Y_n > 1$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Selanjutnya, untuk $n \geq 1$, kita punya $$\begin{aligned} Y_{n+1} &= Y_n (Y_n – 1) + 1 \\ Y_{n+1} -1 &= Y_n (Y_n – 1) \cdots \text{(*)}\end{aligned}$$Kemudian, diberikan sebarang $m,n$ dengan $m \neq n$. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan bahwa $1 \leq n < m$. Dari sini, dengan (*) kita peroleh $$\begin{aligned} Y_m – 1 &= Y_{m-1} (Y_{m-1} – 1 ) \\ &= Y_{m-1} \cdot Y_{m – 2} \cdot (Y_{m – 2} – 1) \\ &= Y_{m-1} \cdot Y_{m-2} \cdot Y_{m-3} \cdot (Y_{m-3} – 1) \\ &= Y_{m – 1} \cdot Y_{m – 2} \cdot Y_{m-3} \cdots Y_n (Y_n – 1) \end{aligned}$$
Oleh karena itu, $$\begin{aligned}Y_m &= Y_{m-1} \cdot Y_{m-2} \cdot Y_{m-3} \cdot (Y_{m-3} – 1) \\ &= Y_{m – 1} \cdot Y_{m – 2} \cdot Y_{m-3} \cdots Y_n (Y_n – 1) + 1 \end{aligned}$$
(Note: Anda dapat lebih lanjut hal tersebut dengan menggunakan induksi matematika)
Berdasarkan Algoritma Euclid, maka Faktor Persekutuan Terbesar dari $Y_m$ dan $Y_n$ adalah 1. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa $$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{Y_i} = 1$$.
Karena $Y_{n + 1} – 1 = Y_n (Y_n – 1)$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, maka diperoleh bahwa $$\frac{1}{Y_{n+1} -1} = \frac{1}{Y_n -1} – \frac{1}{Y_n}$$dan $$\frac{1}{Y_n} = \frac{1}{Y_n – 1} – \frac{1}{Y_{n+1} -1}$$Sehingga, untuk tiap $N \in \mathbb{N}$, maka $$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{Y_n} &= \sum_{n = 1}^{N} \left( \frac{1}{Y_n – 1} – \frac{1}{Y_{n+1} -1} \right) \\ &= \left( \frac{1}{Y_1 – 1} – \frac{1}{Y_2 -1} \right) + \left( \frac{1}{Y_2 – 1} – \frac{1}{Y_3 -1} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{Y_N – 1} – \frac{1}{Y_{N+1} -1} \right) \\ &= \frac{1}{Y_1 – 1} – \frac{1}{Y_{N+1} -1} \\ &= 1 – \frac{1}{Y_{N+1} -1}\end{aligned}$$
Perhatikan bahwa $Y_n \in \mathbb{N}$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ serta barisan ${Y_n}$ adalah barisan naik. Ini mengakibatkan bahwa $\lim_{n \rightarrow \infty} Y_n = \infty$ dan $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{Y_{N+1} – 1} = 0$. Oleh karena itu,
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{Y_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{Y_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 – \frac{1}{Y_{N+1} -1 }\right) = 1 – 0 =1$$
Jadi, bila $m \neq n$, maka pembagi sekutu terbesar dari $Y_m$ dan $Y_n$ adalah $1$ dan $$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{Y_i} = 1 $$
Baca juga: Soal dan pembahasan ONMIPA 2017 Analisis Real Tingkat Nasional
Demikianlah postingan kali ini terkait dengan Pembahasan Soal ONMIPA 2017 Kombinatorika Tingkat Nasional Hari Kedua. Jika Anda tertarik dengan soal dan pembahasan ONMIPA / KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
