Pembahasan Soal Identitas Trigonometri

Last Updated on Agustus 18, 2022 by prooffic

Pembahasan Soal Identitas Trigonometri

Postingan kali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal Identitas Trigonometri. Pembahasan berikut melibatkan beberapa soal yang dilengkapi dengan jawabannya.

**Selamat Menikmati**

Baca Juga:

Pembahasan Soal Trigonometri Sudut-sudut Istimewa
Perbandingan Trigonometri dan Sifat-sifatnya

Soal 1
Buktikan bahwa $$\sqrt{\frac{\sec \theta – 1}{\sec \theta +1}} = \cosec \theta – \cot \theta.$$

Jawab. Kita akan menguraikan ruas kiri sehingga nantinya kita memperoleh ruas kanan. Dengan menggunakan fakta bahwa $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $$diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \sqrt{\frac{\sec \theta – 1}{\sec \theta +1}} & = \sqrt{\frac{\sec \theta – 1}{\sec \theta +1} \cdot \frac{\sec \theta – 1}{\sec \theta -1}} \\ & = \sqrt{\frac{(\sec \theta – 1)^2}{\sec^2 \theta – 1}} \\ & = \sqrt{\frac{(\sec \theta – 1)^2}{\tan^2 \theta}} \\ & = \frac{\sec \theta – 1}{\tan \theta} \\ & = \frac{\sec \theta}{\tan \theta} – \frac{1}{\tan \theta} \\ & = \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} – \cot \theta \\ & = \frac{1}{\sin \theta} – \cot \theta \\ & = \cosec \theta – \cot \theta. \end{aligned}$$

Jadi, $$\sqrt{\frac{\sec \theta – 1}{\sec \theta +1}} = \cosec \theta – \cot \theta  ♥$$

Layanan Kami – Proofficial ID

Soal 2
Buktikan bahwa $$\sqrt{(\sec \theta – 1)(\sec \theta +1)} = \tan \theta.$$

Jawab. Kita akan menguraikan ruas kiri untuk memperoleh ruas kanan. Dengan menggunakan fakta bahwa $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $$diperoleh bahwa $$\sec^2 \theta – 1 = \tan^2 \theta. $$Dari sini, $$\begin{aligned} \sqrt{(\sec \theta – 1 ) ( \sec \theta +1) } & = \sqrt{\sec^2 \theta – 1} \\ & = \sqrt{\tan^2 \theta} \\ & = \tan \theta \end{aligned}. $$

Jadi, $$\sqrt{(\sec \theta – 1)(\sec \theta +1)} = \tan \theta  ♥$$

Soal 3
Jika $$\tan \theta + \sec \theta = x, $$maka tentukan nilai dari $\cos \theta.$

Jawab. Karena $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, $$maka $$\sec^2 \theta – \tan^2 \theta = 1.$$ Kalikan kedua ruas pada $$\tan \theta + \sec \theta = x, $$dengan $\sec \theta – \tan \theta$, maka diperoleh bahwa $$\begin{aligned} \theta + \sec \theta & = x \\ ( \sec \theta + \tan \theta ) ( \sec \theta – \tan \theta ) & = x ( \tan \theta – \sec \theta ) \\ \sec^2 \theta – \tan^2 \theta & = x ( \tan \theta – \sec \theta ) \\ 1 & = x ( \tan \theta – \sec \theta ) \\ \tan \theta – \sec \theta = \frac{1}{x}. \end{aligned}$$

Dari sini, diperoleh dua persamaan, yaitu $$ \begin{aligned} \tan \theta + \sec \theta & = x \\ \tan \theta – \sec \theta & = \frac{1}{x}. \end{aligned} $$Jumlahkan kedua ruas pada kedua persamaan tersebut, maka diperoleh $$ \begin{aligned} ( \tan \theta + \sec \theta ) + ( \tan \theta – \sec \theta ) & = x + \frac1x \\ 2 \tan \theta & = x + \frac1x \\ \tan \theta & = \frac12 \left( \frac{x^2}{x} + \frac1x \right) \\ \tan \theta & = \frac12 \left( \frac{x^2+1}{x} \right) \\ \tan \theta & = \frac{x^2 + 1}{2x}. \end{aligned} $$

Oleh karena itu, $$\begin{aligned} \cos \theta & = \frac{2x}{\sqrt{(2x)^2 + ( x^2 + 1 )^2 }} \\ & = \frac{2x}{\sqrt{ 4x^2 + x^4 + 2x^2 + 1 }} \\ & = \frac{ 2x }{\sqrt{1 + 6x^2 + x^4 }}. \end{aligned}$$

Jadi, $$\cos \theta = \frac{2x}{\sqrt{1 + 6x^2 + x^4}} ♥$$

Soal 4
Buktikan bahwa $$\frac{1- \sin x}{1 + \sin x} = (\sec x – \tan x)^2.$$

Jawab. Pada soal ini kita menggunakan identitas $$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$

Dengan sifat tersebut, perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \frac{1 – \sin x}{ 1 + \sin x} & = \frac{1 – \sin x}{ 1 + \sin x} \cdot \frac{1 – \sin x}{ 1 – \sin x} \\ & = \frac{(1-\sin x)^2}{1-\sin^2 x} \\ & = \frac{1 – 2\sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ & = \frac{1}{\cos^2 x} – 2 \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ & = \sec^2 x – \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 \\ & = \sec^2 x – 2 \tan x \sec x + \tan^2 x \\ & = (\sec x – \tan x )^2 \end{aligned}$$

Jadi, terbukti bahwa $$\frac{1- \sin x}{1 + \sin x} = (\sec x – \tan x)^2 ♥$$

Soal 5
Buktikan bahwa $$\tan^4 x + \tan^2 x = \sec^4 x – \sec^2 x$$

Jawab. Untuk soal ini, kita menggunakan sifat yang sama pada soal sebelumnya, yaitu $$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \tan^4 x + \tan^2 x & = \tan^2 x (\tan^2 x + 1) \\ & = (\sec^2 x – 1)(\sec^2 x) \\ & = \sec^4 x -\sec^2 x \end{aligned}$$

Jadi, terbukti bahwa $$\tan^4 x + \tan^2 x = \sec^4 x – \sec^2 x  ♥$$

Soal 6
Buktikan bahwa $$\frac{\cos x}{1 – \tan x} + \frac{\sin x}{1 – \cot x} = \sin x + \cos x$$

Jawab. Pada soal ini akan digunakan hubungan antara sinus, cosinus, dan tangen, yaitu $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.$$ Selain itu, digunakan pula hubungan sinus, cosinus, dan cotangen, yaitu $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Untuk itu, perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \frac{\cos x}{1 – \tan x} + \frac{\sin x}{1 – \cot x} & = \frac{\cos x}{1 – \frac{\sin x}{\cos x}} + \frac{\sin x}{1 – \frac{\cos x}{\sin x}} \\ & = \frac{\cos^2 x}{\cos x – \sin x} + \frac{\sin^2 x}{\sin x – \cos x} \\ & = \frac{\cos^2 x}{\cos x – \sin x} – \frac{\sin^2 x}{\cos x – \sin x} \\ & = \frac{\cos^2 x – \sin^2x}{\cos x – \sin x}\\ & = \frac{(\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x – \sin x} \\ & = \cos x + \sin x \end{aligned}$$

Jadi, terbukti bahwa $$\frac{\cos x}{1 – \tan x} + \frac{\sin x}{1 – \cot x} = \sin x + \cos x  ♥$$

Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal Identitas Trigonometri. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal atau materi trigonometri lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi ataupun topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.

Share and Enjoy !