Penyelesaian Persamaan Pangkat Tiga (Kubik)

Last Updated on November 18, 2023 by prooffic

Postingan kali ini akan membahas tentang penyelesaian persamaan pangkat tiga (kubik). Penyelesaian persamaan kubik berikut akan menggunakan suatu rumus yang akan kita turunkan. Cara yang biasanya digunakan dalam penyelesaian persamaan pangkat tiga adalah dengan pemfaktoran. Akan tetapi, cara tersebut tidak memungkinkan kita untuk menggunakannya ke semua persamaan kubik. Berikut ini dipaparkan mengenai cara yang dapat digunakan untuk setiap persamaan kubik.

**Selamat Membaca**

Pendahuluan

Persamaan kubik atau persamaan pangkat tiga adalah persamaan (satu variabel) dalam $x$ yang memiliki bentuk umum $$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$dengan $a \neq 0.$ Sebagai catatan, variabel $x$ dapat digantikan dengan notasi lainnya. Persamaan kubik telah lama ditemukan dan diselidiki terkait dengan penyelesaian serta metode penyelesaiannya.

Salah satu metode yang digunakan adalah Metode Cardano. Metode ini memiliki berbagai kelebihan. Di antaranya adalah metode tersebut bisa digunakan untuk setiap persamaan kubik yang berbeda dengan metode lainnya, seperti metode pemfaktoran, yang hanya mampu untuk kasus-kasus tertentu saja.

Metode Cardano untuk Menyelesaikan Persamaan Kubik

Terlebih dahulu kita tinjau bentuk umum dari persamaan kubik sebelumnya. Asumsikan bahwa $a=1$ sehingga kita memiliki persamaan kubik sebagai berikut. $$x^3 + \frac{b}{a} x^2 + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0. $$Kita dapat melihat bahwa persamaan tersebut relatif lebih mudah untuk diselesaikan dibandingkan bentuk umum sebelumnya. Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan persamaan kubik dengan metode Cardano.

Rumus Menentukan Penyelesaian Persamaan Kubik

Misalkan diberikan persamaan $$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$dengan $a \neq 0.$

1. Bagi kedua ruas dengan $a$. Maka, $$x^3 + \frac{b}{a} x^2 + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0. $$Untuk memudahkan, misalkan $p=\frac{b}{a}, q = \frac{c}{a}$ dan $r = \frac{d}{a}$ sehingga kita peroleh persamaan baru $$x^3 + px^2 + qx + r = 0.$$
2. Misalkan $$x = y – \frac{p}{3}. $$Subtitusi pemisalan tersebut ke persamaan maka diperoleh $$\begin{aligned} x^3 + px^2 + qx + r & =0 \\ \left( y – \frac{p}{3} \right)^3 + p \left( y – \frac{p}{3} \right)^2 + q \left( y – \frac{p}{3} \right) + r & = 0 \\ y^3 – py^2 + \frac{1}{3}p^2y – \frac{p^3}{27} + py^2 – \frac{2}{3}p^2y + \frac{1}{9} p^3 + qy – \frac13 pq + r & = 0 \\ y^3 + \left(\frac13 p^2 – \frac23 p^2 + q\right)y + \left( – \frac{1}{27} p^3 + \frac19 p^3 – \frac13 pq + r\right) & = 0 \end{aligned}$$
3. Terlihat bahwa pada persamaan terakhir, kita tidak menemukan suku dengan koefisien $y^2$. Selanjutnya, misalkan $$ P = p^2 – \frac23 p^2 + q; Q = – \frac{1}{27} p^3 + \frac19 p^3 – \frac13 pq. $$Oleh karena itu, diperoleh persamaan baru $$y^3 + Py + Q = 0.$$
4. Perhatikan bahwa $$(u+v)^3 = u^3 + v^3 + 3 uv (u+v) $$yang berakibat bahwa $$(u+v)^3 – 3 uv (u+v) – (u^3 + v^3) = 0. $$Dengan membandingkan $y^3 + Py + Q = 0$ dan $(u+v)^3 – 3 uv (u+v) – (u^3 + v^3) = 0$, tulis $$P = -3uv $$dan $$Q = -(u^3 + v^3).$$ Selain itu, $y = u+v$. Selanjutnya adalah kita perlu menentukan nilai dari $A$ dan $B.$
5. Perhatikan bahwa dari hubungan $P = -3uv$ diperoleh $u = -\frac{P}{3v}$. Subtitusi ke $Q = -(u^3 + v^3),$ diperoleh $$Q = \frac{P^3}{27v^3}-v^3. $$Maka, $$27v^6 + 27Qv^3 – P^3 = 0. $$Dengan menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, diperoleh bahwa $$v^3 = \frac{-27 \pm \sqrt{729Q^2+108P^3}}{54} $$dan $$v = \left(\frac{-27 \pm \sqrt{729Q^2+108P^3}}{54}\right)^\frac13. $$Dari sini, $$v = -\frac{P}{3} \left(\frac{-27 \pm \sqrt{729Q^2+108P^3}}{54}\right)^{-\frac13}. $$Oleh karena itu, $$y = u+v = \left(\frac{-27 \pm \sqrt{729Q^2+108P^3}}{54}\right)^\frac13 – \frac{P}{3} \left(\frac{-27 \pm \sqrt{729Q^2+108P^3}}{54}\right)^{-\frac13}.$$
6. Subtitusi kembali nilai $y,P,Q,p,q,r$ sehingga pada akhirnya diperoleh nilai $x$ yang merupakan solusi dari persamaan $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.$

Contoh

Berikut ini adalah contoh penyelesaian persamaan pangkat tiga (kubik).

Diberikan persamaan $2x^3 – 6x + 8x + 2 = 0.$

1. Bagi kedua ruas dengan $2,$ maka diperoleh $x^3 – 3x^2 + 4x + 1 = 0.$
2. Misalkan $x = y – \frac{-3}{3} = y + 1.$ Subtitusi ke persamaan $x^3 – 3x^2 + 4x + 1 = 0$ maka diperoleh $$\begin{aligned} x^3 – 3x^2 + 4x + 1 & = 0 \\ (y+1)^3 – 3(y+1)^2 + 4(y+1) + 1 & = 0 \\ y^3+y+3 & = 0 \end{aligned}$$
3. Kita kemudian memisalkan $u$ dan $v$ yang memenuhi $$y = u+v$$ dengan $$1 = -3uv $$dan $$3 = – (u^3+v^3). $$Dari sini, $$u = – \frac{1}{3v}. $$Dengan menyubtitusi nilai $u$ tersebut ke $3 = – (u^3+v^3)$ maka diperoleh $$3 = \frac{1}{27v^3} – v^3 $$dan $27v^6 – 81v^3 – 1 = 0.$
4. Dengan rumus akar persamaan kuadrat, diperoleh $$v^3 = \frac{81 \pm \sqrt{6669}}{54} $$dan $$v = \left(\frac{81 \pm \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 $$dan $$u = -\frac13 \frac{1}{v} = – \frac13 \left(\frac{81 \pm \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13}. $$Maka, $$y = u + v = – \frac13 \left(\frac{81 \pm \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 \pm \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13.$$
5. Akibatnya, $$ x = y + 1 = – \frac13 \left(\frac{81 \pm \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 \pm \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 + 1.$$
6. Misalkan $$x_1 = – \frac13 \left(\frac{81 + \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 + \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 + 1, $$ $$x_2 = – \frac13 \left(\frac{81 – \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 – \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 + 1. $$Maka, perlu ditentukan $x_3$ yang memenuhi $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = 0.$ Perhatikan bahwa $x_1x_2x_3$ adalah konstanta dari persamaan kubik yang berakibat bahwa $x_1x_2x_3 = 1$ sehingga $$x_3 = \frac{1}{x_1x_2} = \frac{1}{\left(- \frac13 \left(\frac{81 + \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 + \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 + 1\right)\left(- \frac13 \left(\frac{81 – \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 – \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 + 1\right)}$$
7. Jadi, solusi persamaan $2x^3 – 6x + 8x + 2 = 0$ adalah $$x_1 = – \frac13 \left(\frac{81 + \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 + \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 + 1, $$ $$x_2 = – \frac13 \left(\frac{81 – \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 – \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 + 1, $$ $$x_3 = \frac{1}{x_1x_2} = \frac{1}{\left(- \frac13 \left(\frac{81 + \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 + \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 + 1\right)\left(- \frac13 \left(\frac{81 – \sqrt{6669}}{54}\right)^{-\frac13} + \left(\frac{81 – \sqrt{6669}}{54}\right)^\frac13 + 1\right)}$$

Diberikan persamaan kubik $2x^3 – 12x^2 + 22x – 12 =0.$

1. Bagi kedua ruas dengan $2,$ maka diperoleh $x^3-6x^2+11x-6=0.$
2. Misalkan $x=y-\frac{-6}{3} = y + 2$. Subtitusi ke persamaan $x^3-6x^2+11x-6=0$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^3-6x^2+11x-6 & = 0 \\ (y+2)^3 – 6 (y+2)^2 + 11 (y+2) – 6 & = 0 \\ y^3 – y & = 0 \\ (y-1)y(y+1) & = 0 \end{aligned} $$sehingga $y=-1,0,1.$ Karena $x = y + 2$, maka $x = 1, 2, 3.$ Jadi, himpunan solusi dari persamaan $2x^3 – 12x^2 + 22x – 12 =0$ adalah $\{1, 2, 3\}.$

Demikian postingan kali ini tentang penyelesaian persamaan pangkat tiga (kubik). Postingan ini adalah tentang materi kalkulus. Jika Anda tertarik dengan materi kalkulus lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi atau topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.