Last Updated on Desember 28, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang pembahasan soal ONMIPA 2022 Matematika Aljabar Linear tingkat wilayah. Materi yang termuat pada pembahasan berikut terdiri dari Analisis Matriks (Determinan dan Trace), dan Transformasi Linear.
**Selamat Membaca**
Baca Juga
Pembahasan Soal ONMIPA 2022
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Tingkat Nasional
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Aljabar Linear
Berikut ini adalah pembahasan soal ONMIPA 2022 Matematika Aljabar Linear.
Isian Singkat
Soal 1
Jawab. Sebelumnya perhatikan bahwa jika $M$ adalah matriks persegi, maka determinan dari $M$ adalah hasil kali dari semua nilai eigen dari $M$.Selain itu, jika $M$ adalah matriks persegi dengan ukuran $n\times n$, maka banyaknya nilai eigen berbeda dari matriks tersebut adalah $n.$ Lebih lanjut, $\lambda$ adalah nilai eigen dari $A$ jika $$det(A – \lambda \mathcal{I}) = 0$$ dengan $\mathcal{I}$ adalah matriks identitas.
Dari persamaan pada soal diperoleh persamaan matriks $$A^2 – 2A = \left(\begin{matrix} 3 & 10 \\ 0 & 8 \end{matrix} \right) $$Kurangkan kedua ruas persamaan tersebut dengan $3 \mathcal{I}$ sehingga diperoleh bahwa $$A^2 – 2A – 8 \mathcal{I} = \left(\begin{matrix} -5 & 10 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) $$dan $$(A – 4 \mathcal{I})(A + 2 \mathcal{I}) = \left(\begin{matrix} -5 & 10 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right).$$
Dengan mengambil determinan pada kedua ruas, diperoleh $$det(A-4 \mathcal{I}) \cdot det(A + 2 \mathcal{I}) = 0. $$ Dari sini, $det(A-4\mathcal{I}) = 0$ atau $det(A+2\mathcal{I}) = 0$. Ini bermakna bahwa nilai eigen yang mungkin bagi $A$ adalah $4$ atau $-2$.
Kemudian, dengan mengurangkan kedua ruas pada persamaan matriks sebelumnya dengan $3 \mathcal{I}$, diperoleh $$A^2 – 2A – 3 \mathcal{I} = \left(\begin{matrix} 0 & 10 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) $$sehingga $$(A – 3 \mathcal{I})(A + \mathcal{I}) = \left(\begin{matrix} 0 & 10 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right).$$
Dengan mengambil determinan pada kedua ruas, $$det(A – 3 \mathcal{I}) \cdot det(A + \mathcal{I}) = 0.$$ Dari sini, $det (A – 3 \mathcal{I}) = 0$ atau $det (A + \mathcal{I}) = 0$. Ini bermakna bahwa nilai eigen lain yang mungkin bagi $A$ adalah $-3$ atau $1$.
Oleh karena itu, terdapat empat kemungkinan untuk nilai eigen dari $A,$ yaitu $-2, -1, 3,$ dan $4.$ Karena dipersyaratkan bahwa $det (A) >2$, maka pasangan eigen yang mungkin adalah $$det (A) = 3 \cdot 4 = 12.$$
Jadi, $det (A) = 12$ ♥
Soal 2
Jika polinom $h(x) = ax + b$ dengan $b \neq 0$ tegak lurus terhadap setiap vektor di $$ \left\{ f \in P_1 : T(f) = 0 \right\} $$maka $\frac{a}{b} = …$
Jawab. Terlebih dahulu kita akan mementukan bentuk umum dari himpunan $$P = \left\{ f \in P_1 : T(f) = 0 \right\}. $$Misalkan $f \in P.$ Kita tuliskan $$f(x) = a_1x + b_1 $$dengan $a_1$ dan $b_1$ adalah bilangan real. Dari sini, $$\begin{aligned} T(f) & = T(a_1 x + b_1) \\ & = T \left(\frac{a_1}{2} (2x – 1) + \frac{a_1}{2} + b_1 \right) \\ & = T \left(\frac{a_1}{2} (2x – 1) \right) + T \left( \frac{a_1}{2} + b_1 \right) \\ & = \frac{a_1}{2} T(2x -1) + \left( \frac{a_1}{2} + b_1\right) T(1) \\ & = \frac{a_1}{2} \left( \begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 12 \end{matrix} \right) + \left( \frac{a_1}{2} + b_1 \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{3 a_1}{2} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \frac{a_1}{2} + b_1 \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( 2 a_1 + b_1 \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right) \end{aligned}.$$
Jika $T(f) = 0$, maka haruslah $$2 a_1 + b_1 = 0 $$yang berakibat bahwa $$b = -2 a_1. $$Dari sini, $$f(x) = a_1 x + b_1 = a_1 (x – 2).$$
Tanpa mengurangi keumuman, kita ambil $a_1 = 1.$ Kemudian, polinom $h(x) = ax + b$ dengan $b \neq 0$ tegak lurus terhadap setiap vektor di $P,$ maka untuk $f(x) = a_1 ( x – 2 ) = x-2$ yang berada di $P$ berlaku $$\begin{aligned} \left\langle h,f \right\rangle & = 0 \\ \int_0^1 h(x) f(x) dx & = 0 \\ \int_0^1 (ax+b)(x-2) dx & = 0 \\ \int_0^1 (ax^2 + (b-2)x – 2b) dx & = 0 \\ \frac13 a + \frac12 (b-2) – b & = 0 \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$\frac13 \cdot \frac{a}{b} + \frac12 – \frac{a}{b} -2 = 0 $$dan $$\frac{a}{b} = – \frac49.$$
Jadi, $\frac{a}{b} = – \frac49$ ♥
Uraian
Soal 1
Jawab. Jika $a = 0,$ maka sistem persamaan linear tersebut menjadi $$ \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -b & 0 & 0 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right) $$sehingga dengan melakukan operasi bari elementer (menukar baris tertentu) berakibat bahwa $$ \left(\begin{matrix} -b & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right). $$
Dari sini, agar sistem tersebut konsisten, maka haruslah $b \neq 0.$ Selanjutnya, asumsikan bahwa $b = 0.$ Maka, sistem persamaan linear menjadi sistem persamaan linear tersebut menjadi $$ \left(\begin{matrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & a & 0 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right).$$ Dari sini, haruslah $a \neq 0.$
Oleh karena itu, pasangan bilangan real yang memenuhi $(0,b)$ dengan $b$ tak nol dan $(a,0)$ dengan $a$ tak nol.
Selanjutnya, asumsikan bahwa $a$ dan $b$ tidak nol. Misalkan $$A = \left(\begin{matrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ -b & 0 & a \end{matrix} \right) $$dan $$\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right).$$
Tinjau matriks $(A | b)$ berikut $$\left(\begin{matrix} a & 1 & 0 & 1 \\ 0 & a & 1 & 2 \\ -b & 0 & a \\ -3 \end{matrix} \right). $$Dengan melakukan serangkaian operasi baris elementer, diperoleh $$\left(\begin{matrix} a & 1 & 0 & 1 \\ 0 & a & 1 & 2 \\ 0 & 0 & b – a^3 & 3a^2 – ab + 2b \end{matrix} \right). $$Jika $b = a^3,$ maka haruslah $3a^2 – ab + 2b = 0$ yang berakibat bahwa $$3a^2- a \cdot a^3 + 2 a^3 = 0. $$Karena $a \neq 0,$ maka $a^2 – 2a -3 = 0$ dan $a = 3$ serta $a = -1$. Jika $a = 3,$ maka $b = 27$. Jika $a = -1$, maka $b = -1$. Oleh karena itu, pasangan $(a,b)$ yang mungkin berikutnya adalah $(3, 27)$ dan $(-1, -1)$.
Kemudian, jika $b \neq a^3$, maka berdasarkan matriks $$\left(\begin{matrix} a & 1 & 0 & 1 \\ 0 & a & 1 & 2 \\ -b & 0 & a \\ -3 \end{matrix} \right)$$ diperoleh bahwa sistem konsisten dan memiliki satu solusi. Jadi, secara keseluruhan, diperoleh bahwa terdapat $4$ pasangan yang mungkin untuk $(a,b)$ yaitu $(a,0)$ dengan $a \neq 0$, $(0,b)$ dengan $b \neq 0$, $(a,b)$ dengan $a\neq 0, b \neq 0$, dan $b \neq a^3$, serta $(3, -27)$ dan $(-1,-1)$ ♥
Soal 2
Jawab. Perhatikan bahwa entri $AB$ di baris ke$-i$ dan kolom ke$-j$ dari $AB$ adalah hasil kali dalam (standar) dari baris ke$-i$ dari $A$ dan kolom ke$-j$ dari $B$, sehingga $$(AB)_{ij} = \sum_{k = 1}^n a_{ik} b_kj.$$ Oleh karena itu, $$tr (AB) = \sum_{i = 1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{ki} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ji}.$$
Kemudian, $$tr(A) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ji} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{ij}.$$ Selain itu, $$\begin{aligned} tr(AB) &= \frac12 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}^2 + b_{ij}^2) \\ & = \frac12 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 + \frac12 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 \\ & = \frac12 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}^2 + \frac12 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 \\ & = \frac12 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ji}^2 + b_{ij}^2) \end{aligned}$$
Oleh karena itu, $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{ij} = tr (AB) = \frac12 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ji}^2 + b_{ij}^2) $$yang berakibat bahwa $$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{ij} = \frac12 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ji}^2 + b_{ij}^2) $$dan $$\sum_{i = 1}^n \sum_{j=1}^n \left( \frac12 ( a_{ji}^2 + b_{ij}^2 ) – a_{ji} b_{ij}\right) = 0$$serta $$\sum_{i = 1}^n \sum_{j=1}^n \frac12 \left( a_{ji} – b_{ij} \right)^2 = 0. $$
Kemudian, haruslah $a_{ji} – b_{ij} = 0 $ untuk tiap $i$ dan $j$. Akibatnya $a_{ji} = b_{ij}$ untuk tiap $i$ dan $j$, sehingga $A^T = B$ ♥
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal ONMIPA 2022 Matematika Aljabar Linear Tingkat Wilayah. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya tentang pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan pembahasan materi/topik lainnya, silahka ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
