Last Updated on Agustus 8, 2022 by prooffic
Postingan kali ini membahas tentang pembahasan soal trigonometri sudut-sudut istimewa. Sudut-sudut istimewa yang dimaksud pada pembahasan kali ini adalah sudut-sudut istimewa yang berada di antara nol dan 90 derajat. Perlu diingat kembali bahwa sudut-sudut $0, 30, 45, 60, 90$ derajat dan seterusnya dikenal sebagai sudut-sudut istimewa karena kita dapat menyatakan/menuliskan nilai perbandingan trigonometrinya dengan lebih mudah dibandingkan dengan sudut-sudut lainnya. Meskipun kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri dari sudut-sudut lainnya, akan tetapi nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa memiliki bentuk yang lebih sederhana.
Pembahasan soal berikut ini dibuat serinci mungkin agar membaca dapat dengan mudah mengikutnya. Selain itu, soal-soal yang dibahas berikut ini diambil dari buku dengan judul “Jelajah Matematika SMA Kelas X Program Wajib” yang ditulis oleh S. N. Sharna dkk dengan sampul diperlihatkan pada gambar berikut (Sumber gambar dari Google).
Hitunga nilai dari betuk-bentuk berikut ini.
Soal a
$$\frac{\cos^2 60^{\circ} – \sin^2 60^{\circ}}{2 \sin^2 60^{\circ} – 1}$$
Jawab. Perhatikan bahwa $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ dan $\sin 60^{\circ} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$. Dari sini, $$\begin{aligned} \frac{\cos^2 60^{\circ} – \sin^2 60^{\circ}}{2 \sin^2 60^{\circ} – 1} &= \frac{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 – \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 }{2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 – 1} \\ & = \frac{ \frac{1}{4} – \frac{3}{4} }{2 \cdot \frac{3}{4} – 1} \\ &= \frac{ \frac{1 – 3}{4} }{ \frac{3}{2} – 1 } \\ & = \frac{ \frac{-2}{4} }{ \frac{3}{2} – \frac{2}{2} } \\ &= \frac{ \frac{-1}{2} }{ \frac{3-2}{2} } \\ & = \frac{ \frac{-1}{2} }{ \frac{1}{2} } \\ & = \frac{-1}{2} \cdot \frac{2}{1} \\ &= -1 \end{aligned}$$
Jadi, $$\frac{\cos^2 60^{\circ} – \sin^2 60^{\circ}}{2 \sin^2 60^{\circ} – 1} = 1$$
Soal b
$$\sin^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ}$$
Jawab. Perhatikan bahwa $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$. Dari sini, $$\begin{aligned} \sin^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} & = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \\ & = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \\ & = \frac{3 + 1}{4} \\ & = \frac{4}{4} \\ & = 1 \end{aligned}$$
Jadi, $$\sin^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = 1 $$
Soal c
$$\frac{ \sin 45^{\circ} }{ 1 + \cos 45^{\circ}} + \frac{1 + \sin 45^{ \circ} }{\cos 45^{\circ}}$$
Jawab. Perhatikan bahwa $\sin 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Dari sini, $$\frac{ \sin 45^{\circ} }{ 1 + \cos 45^{\circ}} + \frac{1 + \sin 45^{ \circ} }{\cos 45^{\circ}} = \frac{ \frac{\sqrt{2}}{2} }{ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} + \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$Kemudian, untuk memudahkan dalam perhitungan, kita misalkan $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Maka, $$a^2 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Kemudian, $$\begin{aligned} \frac{ \sin 45^{\circ} }{ 1 + \cos 45^{\circ}} + \frac{1 + \sin 45^{ \circ} }{\cos 45^{\circ}} & = \frac{ \frac{\sqrt{2}}{2} }{ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} + \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ & = \frac{a}{ 1 + a} + \frac{1 + a}{a} \\ & = \frac{ a^2 }{ (a+1) a} + \frac{ (a+1)^2 }{ (a+1) a } \\ & = \frac{a^2 + (a+1)^2}{ a (a+1) } \\ & = \frac{a^2 + a^2 + 2a + 1}{(a + 1 ) a} \\ & = \frac{2a^2 + 2a + 1}{(a+1) a} \\ & = \frac{2a^2 + 2a}{(a + 1) a} + \frac{1}{(a + 1) a} \\ & = \frac{2 (a+1) a}{(a + 1) a} + \frac{1}{a^2 + a} \\ & = 2 + \frac{1}{a^2 + a} \\ & = 2 + \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} } \\ & = 2 + \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} \\ & = 2 + \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \end{aligned}$$
Sehingga, $$\frac{ \sin 45^{\circ} }{ 1 + \cos 45^{\circ}} + \frac{1 + \sin 45^{ \circ} }{\cos 45^{\circ}} = 2 + \frac{2}{1 + \sqrt{2}} $$Langkah selanjutnya adalah menentukan bentuk sederhana dari hasil tersebut dengan cara merasionalkan penyebutnya. $$\begin{aligned} \frac{ \sin 45^{\circ} }{ 1 + \cos 45^{\circ}} + \frac{1 + \sin 45^{ \circ} }{\cos 45^{\circ}} & = 2 + \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 – \sqrt{2}}{1 – \sqrt{2}} \\ & = 2 + \frac{2(1 – \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2} ) ( 1- \sqrt{2}) } \\ & = 2 + \frac{ 2 (1-\sqrt{2}) }{1^2 – 2} \\ & = 2 + \frac{2 – 2 \sqrt{2}}{-1} \\ & = 2 – (2 – 2\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \end{aligned}$$
Jadi, $$\frac{ \sin 45^{\circ} }{ 1 + \cos 45^{\circ}} + \frac{1 + \sin 45^{ \circ} }{\cos 45^{\circ}} = 2 \sqrt{2}$$
Soal d
$$\frac{2 + \tan 30^{\circ}}{1 – \tan^2 30^{\circ}}$$
Jawab. Perhatikan bahwa $\tan 30^{ \circ } = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Dari sini, $$\begin{aligned} \frac{2 + \tan 30^{\circ}}{1 – \tan^2 30^{\circ}} & = \frac{2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) }{1 – \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2} \\ & = \frac{ \frac{6}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} }{1 – \frac{3}{9}} \\ & = \frac{\frac{6 + \sqrt{3}}{3}}{1 – \frac{3}{9}} \\ & = \frac{\frac{6 + \sqrt{3} }{3}}{ \frac{3}{3} – \frac{1}{3}} \\ & = \frac{ \frac{6 + \sqrt{3}}{3} }{\frac{2}{3}} \\ & = \frac{6+ \sqrt{3}}{2} \\ & = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$
Jadi, $$\frac{2 + \tan 30^{\circ}}{1 – \tan^2 30^{\circ}} = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal trigonometri sudut-sudut istimewa. Jika Anda tertarik dengan topik trigonometri untuk materi SMA, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
