Last Updated on Februari 26, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang Pembahasan Soal Analisis Real 3.4 terkait dengan Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass. Soal-soal tersebut diambil dari buku Introduction to Real Analysis oleh Robert G. Bartle dan Donald D. Sherbert. Selain itu, beberapa teorema yang digunakan pada pembahasan berikut berasal dari buku tersebut.
**Selamat Menikmati**
Berikut ini adalah Pembahasan Soal Analisis Real 3.4.
Soal 1
Berikan contoh barisan tak terbatas yang mempunyai subbarisan yang konvergen.
Jawab. Misalkan barisan $(x_n)$ dengan $$x_n =\begin{dcases} n; & n\text{ ganjil} \\ \frac{1}{n}; & n\text{ genap} \end{dcases} $$Perhatikan bahwa subbarisan $(x_{2n-1}) = (2n-1)$ merupakan barisan yang tidak terbatas, sehingga barisan $(x_n)$ tak terbatas. Selain itu, dapat dilihat bahwa subbarisan $(x_{2n}) = (1/(2n))$ adalah barisan yang konvergen ke 0.
Soal 2
Gunakan metode seperti contoh 3.4.3(b) untuk menunjukkan bahwa jika $0<c<1$, maka $$\lim (c^{1/n}) = 1 $$
Bukti. Tinjau barisan $(z_n)$ dengan $$z_n = c^{1/n} $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Karena $0<c<1,$ maka $$c^n > c^{n+1} $$yang berakibat bahwa $$z_{n+1} = c^{\frac{1}{n+1}} > c^{\frac{1}{n}} = z_n $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Oleh karena itu, barisan $(z_n)$ adalah barisan monoton naik.
Selain itu, perhatikan bahwa karena $0<c<1$, maka $$0<c^{1/n}<1 $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Akibatnya, $$0 < z_n < 1 $$untuk setiap bilangan asli $n$ dan barisan $(z_n)$ adalah barisan yang terbatas.
Karena $(z_n)$ adalah barisan monoton dan terbatas, maka berdasarkan teorema konvergensi monoton, diperoleh bahwa $(z_n)$ adalah barisan yang konvergen.Misalkan $z = \lim (z_n)$. Dengan teorema 3.4.2, $$z = \lim (z_n) = \lim (z_{2n}) $$Dari sini, $$z = \lim (z_{2n}) = \lim (c^{\frac{1}{2n}}) = (\lim (c^{1/n}))^{1/2} = z^2 $$
Dari hubungan $z=z^2$, maka $z = 0$ atau $z = 1$. Karena $0 < z_n < 1$ untuk tiap bilangan asli $n$ dan $(z_n)$ monoton naik, maka haruslah $z= 1$. Jadi, $$\lim (c^{1/n}) = 1 $$
Soal 3
Misalkan $(f_n)$ adalah barisan Fibonacci, dan misalkan $$x_n = \frac{f_{n+1}}{f_n} $$Diberikan bahwa $\lim (x_n) = L$ ada, tentukan nilai dari $L$.
Jawab. Dari soal tersebut, telah diasumsikan bahwa $\lim (x_n) = L$ ada, sehingga kita hanya perlu menentukan nilai dari $L.$ Jelas bahwa barisan Fibonacci $(f_n)$ adalah barisan naik murni, yaitu $f_{n+1} > f_n$ untuk setiap bilangan asli $n.$
Dari sini, $$x_n = \frac{f_{n+1}}{f_n} > 1 $$dan nilai limit dari barisan $(x_n)$ akan bernilai lebih dari atau sama dengan $1$, yaitu $L \geq 1$. Oleh karena itu, $L \neq 0.$
Perhatikan bahwa untuk $n > 2$, berlaku $$\begin{aligned} x_n &= \frac{f_{n+1}}{f_n}\\ &= \frac{f_n + f_{n-1}}{f_n} \\&= 1 + \frac{f_{n-1}}{f_n} \\ & = 1 + \frac{1}{x_{n-1}} \end{aligned} $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Oleh karena itu, $$L = 1 + \frac{1}{L} $$dan $L^2 – L – 1 =0.$ Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, diperoleh $$L_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$
Karena $x_n > 0$ untuk setiap bilangan asli, maka haruslah $$L = \lim x_n = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$
Soal 4
Tunjukkan bahwa barisan berikut adalah divergen.
(a) $(1-(-1)^n + 1/n)$
(b) $(\sin n\pi / 4)$
Jawab.
(a) Misalkan $x_n = 1-(-1)^n + 1/n.$ Perhatikan bahwa $$x_{2n} = 1 – (-1)^{2n} + 1/n = 1 – 1 + 1/n = 1/n $$Dari sini, $(x_{2n})$ konvergen ke $0$.
Di lain pihak, $$x_{2n+1} = 1 – (-1)^{2n+1} + \frac{1}{2n+1} = 1 + 1 +\frac{1}{2n+1} = 2 + \frac{1}{2n+1} $$Dari sini, $(x_{2n+1})$ konvergen ke $2.$ Oleh karena itu, barisan $(x_n)$ tidak konvergen.
(b) Misalkan $x_n = \sin n\pi / 4.$ Perhatikan bahwa $$x_{4n} = \sin (4n) \pi /4 = \sin \pi = 0 $$Dari sini, $(x_{4n})$ konvergen ke $0.$
Di lain pihak, $$x_{8n-7} = \sin (8n-7) \pi / 4 = \sin ((2n-2)+\frac{1}{4}) \pi = \sin \pi/4 = \frac{1}{\sqrt{2}} $$Dari sini, $(x_{8n-7})$ konvergen ke $1/\sqrt{2}.$ Oleh karena itu, barisan $(x_n)$ tidak konvergen.
Soal 5
Misalkan $X = (x_n)$ dan $Y=(y_n)$ adalah dua barisan, dan misalkan barisan $Z = (z_n)$ yang didefnisikan dengan $z_1 = x_1, z_2 = y_1, …, z_{2n-1} = x_n, z_{2n} = y_n, … .$ Tunjukkan bahwa $Z$ konvergen jika dan hanya jika kedua barisan $X$ dan $Y$ konvergen dan $ \lim X = \lim Y.$
Bukti. Terlebih dahulu kita asumsikan bahwa barisan $Z$ adalah barisan konvergen dan misalkan titik kekonvergenannya adalah $z$. Maka, kita dapat mengidentifikasi bahwa $X$ adalah subbarisan dengan indeks ganjil dari $Z$ dan $Y$ adalah subbarisan dengan indeks genap dari $Z.$ Berdasarkan teorema 3.4.2, $X$ dan $Y$ juga konvergen ke $z$. Ini membuktikan dari kiri ke kanan.
Selanjutnya adalah menunjukkan dari kanan ke kiri. Untuk itu, asumsikan bahwa kedua barisan $X$ dan $Y$ konvergen dan $ \lim X = \lim Y = z.$ Akan ditunjukkan bahwa $Z$ adalah barisan yang konvergen dengan $\lim z_n = z.$
Diberikan sebarang $\varepsilon > 0.$ Karena $X$ dan $Y$ konvergen, maka terdapat masing-masing bilangan asli $N_1$ dan $N_2$ sedemikian sehingga untuk bilangan asli $n \geq N_1$ berlaku $$|x_n – z|< \varepsilon $$dan untuk bilangan asli $n$ dengan $n \geq N_2$ berlaku $$|y_n – z| < \varepsilon$$
Pilih $N = \max (N_1, N_2)$. Misalkan $K = \frac{2N+1}{2}.$ Kemudian, misal $n>K$.
Kasus I: Jika $n ganjil$, maka $n = 2k+1$ untuk suatu bilangan bulat $k$ dan $z_n = x_n.$ Karena $$n>K = \frac{2N+1}{2} > N \geq N_1 $$maka $$|z_n – z| = |x_n – z|<\varepsilon$$
Kasus II: jika $n$ genap, maka $n=2k$ untuk suatu bilangan bulat $k$ dan $z_n = y_n.$ Karena $$n>K = \frac{2N+1}{2} > N \geq N_2 $$maka $$|z_n – z|=|y_n-z| < \varepsilon$$
Secara keseluruhan, untuk $n>K$ berlaku $|z_n – z|<\varepsilon.$ Jadi, $(z_n)$ konvergen ke $z.$
Oleh karena itu, $Z$ konvergen jika dan hanya jika kedua barisan $X$ dan $Y$ konvergen dan $ \lim X = \lim Y.$
Soal 6
Misalkan $x_n := n^{1/n}$ untuk $n \in \mathbb{N}.$
a) Tunjukkan bahwa $x_{n+1} < x_n$ jika dan hanya jika $(1+1/n)^n<n,$ dan simpulkan bahwa ketaksamaan berlaku untuk $n \geq 3.$ (Lihat contoh 3.3.6). Simpulkan bahwa $(x_n)$ adalah barisan turun dan bahwa $x:= \lim (x_n)$ ada.
b) Gunakan fakta bahwa subbarisan $(x_{2n})$ juga konvergen ke $x$ untuk menyimpulkan bahwa $x=1.$
Jawab.
a) Sebelumnya perhatikan bahwa $x_n \geq 1$ untuk tiap bilangan asli $n.$ Akan ditunjukkan bahwa $x_{n+1} < x_n$ jika dan hanya jika $(1+1/n)^n<n.$ Perhatikan bahwa, $$\begin{aligned} x_{n+1} <x_n &\iff (n+1)^{\frac{1}{n+1}} < n^{\frac{1}{n}}\\ &\iff (n+1)^n < n^{n+1} \\ & \iff n^n \left(1+\frac{1}{n}\right)^n < n^{n+1} \\ &\iff n^n \left(1+\frac{1}{n}\right)^n < n \cdot n^n \\ &\iff \left(1+\frac{1}{n}\right)^n < n \end{aligned} $$
Ini menunjukkan bahwa $x_{n+1} < x_n$ jika dan hanya jika $(1+1/n)^n<n.$ Berdasarkan contoh 3.3.6 (di buku rujukan), barisan $(e_n)$ dengan $$e_n := \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $$adalah barisan naik dan terbatas di atas oleh $3.$
Dari sini,$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e_n < 3 \leq n $$untuk $n \geq 3.$ Oleh karena itu, $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq n $$untuk $n \geq 3$ yang mengakibatkan bahwa $x_{n+1} < x_n$ untuk $n \geq 3$. Akibatnya, subbarisan dari $(x_{n+2})$ adalah barisan turun.
Lebih lanjut, $x_1 \geq x_n \geq 1 $ untuk setiap bilangan asli $n.$ Dari sini, $(x_{n+2})$ adalah barisan turun yang terbatas dan berdasarkan teorema kekonvergenan monoton, barisan tersebut adalah konvergen. Karena $(x_{n+2})$ adalah subbarisan konvergen dari $(x_n)$, maka haruslah $(x_n)$ juga konvergen dan $x := \lim x_n$ ada.
b). Karena barisan $(x_n)$ konvergen ke $x$, maka subbarisannya, yaitu $(x_{2n})$ juga konvergen ke $x$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x & = \lim x_{2n} \\ & = \lim (2n)^{1/(2n)} \\ & = \lim 2^{1/2n} n^{1/2n} \\ & =\lim (2^{1/2})^{1/n} (n^{1/n})^{1/2} \\ & = \lim (2^{1/2})^{1/n} \lim (n^{1/n})^{1/2} \\ &= 1\cdot x^{1/2} \\ & = x^{1/2}\end{aligned} $$yang berakibat bahwa $x = x^{1/2}$ dan $x = 0$ atau $x = 1.$
Karena $x_n \geq 1 $ untuk setiap bilangan asli $n,$ maka haruslah $x=1.$
Soal 7
Buktikan kekonvergenan dan tentukan limit dari barisan-barisan berikut.
a) $\left( \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)$
b) $\left( \left(1+\frac{1}{2n} \right)^n \right)$
c) $\left( \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{2n^2} \right)$
d) $\left( \left(1+\frac{2}{n}\right)^n\right)$
Jawwab. Kita akan menggunakan fakta dari contoh 3.3.6, yaitu $$\lim e_n = \lim \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$
a) Perhatikan bahwa barisan $(x_n)$ dengan $$x_n = \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} $$adalah subbarisan dari barisan $(e_n),$ yaitu $x_n = e_{n^2}.$ Oleh karena itu, $(x_n)$ konvergen dan $$\lim x_n = \lim e_{n^2} = \lim e_n = e$$
b) Perhatikan bahwa $$x_n = \left(1+\frac{1}{2n}\right)^n = \left[ (1+\frac{1}{2n})^{2n} \right]^{1/2} = (e_{2n})^{1/2} $$dan berakibat $$\lim x_n = \lim (e_{2n})^{1/2} = (\lim e_{2n})^{1/2} = e^{1/2} $$
c) Perhatikan bahwa $$x_n = \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{2n^2} = \left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]^2 = (e_{n^2})^2$$dan berakibat $$\lim x_n = \lim (e_{n^2})^2 = (\lim e_{n^2})^2 = e^2$$
d) Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x_n & = \left(1+ \frac{2}{n} \right)^n \\ &= \left(\frac{n+2}{n} \right)^n \\ & = \left(\frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} \right)^n \\ & = \left(\frac{n+2}{n+1} \right)^n \left(\frac{n+1}{n} \right)^n \\ & = \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^n \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \\ & = \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{-1}\\ & = e_{n+1} \cdot e_n \cdot \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{-1} \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$\lim x_n = \lim e_{n+1} \cdot e_n \cdot \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{-1} = e \cdot e \cdot 1 = e^2$$
Soal 8
Tentukan limit berikut.
a) $\left( (3n)^{1/2n} \right)$
b) $\left( (1+1/2n)^{3n} \right)$
Jawab. Misalkan $$u_n = n^{1/n} $$Berdasarkan nomor 6, maka $$\lim u_n = 1 $$Selain itu, dari contoh 3.3.6, $$\lim \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e $$Kita akan menggunakan fakta-fakta tersebut untuk menjawab bagian a dan b sebagai beriku.
a) Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (3n)^{1/2n} & = \left( (3n)^{1/3n} \right)^{3/2} \\ & = (u_{3n})^{3/2} \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$\lim (3n)^{1/2n} = \lim (u_{3n})^{3/2} = (\lim u_{3n})^{3/2} = (\lim u_n)^{3/2} = 1$$
b) Perhatikan bahwa $$ \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^{3n} = \left[ \left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n} \right]^{2/3} = (e_{2n})^{2/3} $$yang berakibat bahwa $$\lim \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^{3n} = \lim (e_{2n})^{2/3} = e^{2/3}$$
Soal 9
Asumsikan bawa setiap subbarisan dari $X = (x_n)$ memiliki subbarisan yang konvergen ke $0.$ Tunjukkan bahwa $\lim X = 0.$
Bukti. Akan ditunjukkan bahwa $\lim X = 0$ dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan bahwa $(x_n)$ tidak konvergen ke nol. Maka, ada $\varepsilon > 0$ sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $n,$ terdapat bilangan asli $k_n \geq n$ sedemikian sehingga $|x_{k_n}| \geq \varepsilon.$
Oleh karena itu, kita dapat menemukan subbarisan $(x_{k_n})$ dari $(x_n)$ sedemikian sehingga $$|x_{k_n}| \geq \varepsilon >0 $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Berdasarkan asumsi, maka subbarisan $(x_{k_n})$ memiliki suatu subbarisan $(x_{k_{n_r}})$ yang kovergen ke nol.
Karena $$|x_{k_n}| \geq \varepsilon >0 $$untuk setiap bilangan asli $n,$ maka haruslah $$|\lim x_{k_{n_r}}| \geq \varepsilon $$dan $$0=|0| \geq \varepsilon $$
Hal tersebut tidak mungkin sehingga pengandaian salah dan haruslah $(x_n)$ konvergen ke nol. Jadi, $\lim X = 0.$
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal Analisis Real 3.4 terkait dengan subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass. Postingan Pembahasan Soal Analisis Real 3.4 ini terkait dengan Pembahasan Soal Analisis Real dari buku Introduction into Real Analysis oleh Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert. Jika Anda tertarik dengan pembahasan lainnya tentang Pembahasan soal Analisis Real dari buku Introduction to Real Analysis, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih
