Last Updated on Januari 10, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal Analisis Real Deret Bagian 3.7, yaitu menyangkut materi Pengantar Deret Tak Hingga. Soal-soal berikut diambil dari Bagian 3.7 pada buku “Introduction to Real Analysis” oleh Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert.
**Selamat menikmati**
Berikut ini adalah Pembahasan Soal Analisis Real Deret.
Soal 1
Misalkan $\sum a_n$ adalah sebarang deret dan misalkan $\sum b_n$ adalah deret sedemikian sehingga suku-sukunya adalah sama dan urutan yanng ssama sebagaimana pada $\sum a_n$ kecuali suku-suku dengan $a_n = 0$ dihilangkan. Tunjukkan bahwa $\sum a_n$ konvergen ke $A$ jika dan hanya jika $\sum b_n$ konvergen ke $A$ .
Bukti. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $\sum a_n$ konvergen ke $A$. Dari sini, barisan $$\left( \sum_{n=1}^{N} a_n\right)_N $$dengan indeks $N$ konvergen ke $A.$ Tinjau barisan $$\left( \sum_{n=1}^K b_n \right)_K $$Perhatikan bahwa untuk setiap $K \in \mathbb{N},$ ada indeks $N_K$ sedemikian sehingga $$\sum_{n=1}^K b_n = \sum_{n=1}^{N_K} a_n $$dengan $(N_K)$ barisan indeks naik monoton.
Dari sini, $(\sum_{n=1}^K b_n)$ adalah subbarisan dari $(\sum_{n=1}^N a_n)$. Karena $(\sum_{n=1}^N a_n) \to A$ dan $(\sum_{n=1}^K b_n)$ adalah subbarisan dari $(\sum_{n=1}^N a_n)$, maka haruslah $(\sum_{n=1}^K b_n)$ juga konvergen ke $A$.
Sebaliknya, asumsikan bahwa $(\sum_{n=1}^K b_n)$ juga konvergen ke $A.$ Sama seperti sebelumnya, untuk setiap $N \in \mathbb{N},$ ada $K_N$ sedemikian sehingga $$\sum_{n=1}^N a_n = \sum_{n=1}^{K_N} b_n $$dengan $(N_K)$ barisan indeks naik monoton.
Oleh karena itu, $(\sum_{n=1}^N a_n)$ adalah subbarisan dari $(\sum_{n=1}^K b_n).$ Akibatnya, barisan $(\sum_{n=1}^N a_n)$ konvegen ke $A.$
Soal 2
Tunjukkan bahwa kekonvergen dari sebuah deret tidak dipengaruhi oleh perubahan berhingga banyaknya suku.
Bukti. Misalkan $\sum a_n$ adalah sebarang deret yang konvergen. Tinjau barisan jumlah parsial dari deret tersebut, yaitu $$\left( \sum_{n=1}^N a_n \right) $$
Misalkan barisan jumlah parsial $$\left( \sum_{n=1}^N b_n \right) $$yang diperoleh dengan mengubah urutan dari berhingga banyaknya suku-suku tertentu dari barisan $(a_n).$ Karena ada paling banyak berhingga banyaknya suku yang urutannya diubah, maka terdapat $N_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $a_n = b_n$ untuk setiap $n >N_0$.
Dari sini, $$\sum_{n = 1}^N a_n = \sum_{n = 1}^N b_n $$untuk $N > N_0$. Karena $\sum a_n$ konvergen, maka jumlahan parsial $\left( \sum_{n=1}^N a_n \right) $ juga konvergen.
Kemudian, karena $\left( \sum_{n=1}^N a_n \right)_{N > N_0}$ subbarisan dari $\left( \sum_{n=1}^N a_n \right) $, maka $\left( \sum_{n=1}^N a_n \right)_{N > N_0}$ juga konvergen.
Oleh karena itu, $\left( \sum_{n=1}^N b_n \right)_{N > N_0}$ juga konvergen. Akibatnya, barisan $\left( \sum_{n=1}^N b_n \right)_{N \in \mathbb{N}}$ juga konvergen. Dari sini, ekonvergen dari sebuah deret tidak dipengaruhi oleh perubahan berhingga banyaknya suku.
Soal 3
Dengan menggunakan pecahan parsial, tunjukkan bahwa
a) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)} = 1,$
b) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(\alpha+n)(\alpha+n+1)} = \frac{1}{\alpha},$ jika $\alpha>0.$
c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4}.$
Bukti.
a) Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan bulat tak negatif $n$ berlaku, $$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} $$Dari sini, untuk setiap bilangan asli $N$ diperoleh $$\begin{aligned}\sum_{n=0}^N \frac{1}{(n+1)(n+2)} &= \sum_{n=0}^N \left( \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \right) \\ & = 1 – \frac{1}{N+2} \end{aligned} $$
Akibatnya, $$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \lim_{N \to \infty} \left(1 – \frac{1}{N+2}\right) = 1 $$Dari sini, $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{(n+1)(n+2)} = 1$$
b) Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan bulat tak negatif $n$ berlaku, $$\frac{1}{(\alpha + n)(\alpha + n+1)} = \frac{1}{\alpha + n} – \frac{1}{\alpha + n + 1} $$Dari sini, untuk setiap bilangan asli $N$ diperolah bahwa $$\begin{aligned} \sum_{n=0}^N \frac{1}{(\alpha + n)(\alpha + n + 1)} &= \sum_{n=0}^N \left( \frac{1}{\alpha + n} – \frac{1}{\alpha + n + 1} \right) \\ & = \frac{1}{\alpha} – \frac{1}{\alpha + N + 1} \end{aligned} $$
Karena $$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{\alpha + N + 1} = 0, $$maka $$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{(\alpha + n)(\alpha + n + 1)} = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{1}{\alpha} – \frac{1}{\alpha+N+1}\right) = \frac{1}{\alpha} $$
Oleh karena itu, $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(\alpha+n)(\alpha+n+1)} = \frac{1}{\alpha}$$
c) Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ berlaku $$\begin{aligned} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n} – \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)}\end{aligned} $$Dari sini, untuk setiap bilangan asli $N$ yang besar diperoleh $$\begin{aligned}\sum_{n = 1}^N \frac{1}{n(n+1)(n+2)} & = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{2n} – \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} \right) \\ & = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} – \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+2} \end{aligned}$$
Misalkan $$s_n = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} $$maka $$\begin{aligned} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} &= \sum_{n=2}^{N+1} \frac{1}{n} \\ &= -1 + \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} + \frac{1}{N + 1} \\ & = -1 + s_n + \frac{1}{N+1} \end{aligned} $$Selain itu, $$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+2} &= \sum_{n=3}^{N+2} \frac{1}{n} \\ & = -1 -\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} + \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} \\ & = -1 – \frac{1}{2} +s_n +\frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} \end{aligned} $$
Dari sini, $$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^N \frac{1}{n(n+1)(n+2)} & = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} – \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+2} \\ &= \frac{1}{2} s_n – \left( -1 + s_n + \frac{1}{N+1} \right) + \frac{1}{2} \left( -1 – \frac{1}{2} +s_n +\frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} \right) \\ & = \frac{1}{4} + \frac{1}{N+2}\end{aligned} $$Dari sini, $$\lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^N \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{N+2}\right) = \frac{1}{4} $$
Oleh karena itu, $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4}$$
Soal 4
Jika $\sum x_n$ dan $\sum y_n$ adalah konvergen, tunjukkan bahwa $\sum (x_n + y_n)$ adalah konvergen.
Bukti. Asumsikan bahwa $\sum x_n$ dan $\sum y_n$ konvergen. Maka, masing-masing barisan jumlah parsial dari kedua deret tersebut adalah konvergen. Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $N$ berlaku $$\sum_{n=1}^N (x_n + y_n) = \sum_{n=1}^N x_n + \sum_{n=1}^N y_n $$Karena $(\sum_{n=1}^N x_n)$ dan $(\sum_{n=1}^N x_n)$ konvergen, maka barisan $(\sum_{n=1}^N x_n + \sum_{n=1}^N y_n)$ konvergen yang berkibat bahwa $(\sum_{n=1}^N (x_n + y_n) )$ konvergen.
Karena barisan jumlah parsialnya konvergen, maka deret $\sum (x_n + y_n)$ adalah konvergen.
Soal 5
Bisakah Anda memberikan contoh deret konvergen $\sum x_n$ dan deret divergen $\sum y_n$ sedemikian sehingga $\sum (x_n + y_n)$ konvergen? Jelaskan
Jawab. Jawabannya adalah tidak. Andaikan bahwa ada deret konvergen $\sum x_n$ dan deret divergen $\sum y_n$ sedemikian sehingga $\sum (x_n + y_n)$ konvergen.
Perhatikan bahwa $$y_n = (x_n+y_n) + (- x_n) $$Karea $\sum x_n$ konvergen, maka $\sum (-x_n)$ juga konvergen. Berdasarkan soal nomor 4, karena $\sum (x_n+y_n)$ dan $\sum (-x_n)$ konvergen, maka deret $$\sum y_n = \sum \left[(x_n + y_n) + ( – x_n)\right] $$juga konvergen. Hal tersebut kontradiksi dengan asumsi bahwa $\sum y_n$ divergen.
Oleh karena itu, pendaian salah. Jadi, tidak ada deret konvergen $\sum x_n$ dan deret divergen $\sum y_n$ sedemikian sehingga $\sum (x_n + y_n)$ konvergen.
Soal 6
(a) Hitunglah nilai dari $\sum_{n=2}^{\infty} (2/7)^n$. (Catat bahwa deret dimulai di $n=2.$)
(b) Hitunglah nilai dari $\sum_{n=2}^{\infty} (1/3)^n$. (Catat bahwa deret dimulai di $n=2.$)
Jawab. Berdasarkan contoh 3.7.2 (di buku rujukan), maka untuk $r$ yang memenuhi $|r|<1$ berlaku $$\sum_{n=2}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r} $$Dengan kata lain, barisan jumlah parsial $(s_N)$ dengan $$s_N = \sum_{n=0}^N r^n $$adalah konvergen ke $1/(1-r)$. Kita akan menggunakan rumus tersebut untuk menjawab bagian a dan b tetapi dengan terlebih dahulu mengubah bagian a dan b.
(a) Misalkan $N\in \mathbb{N}$ dan $$s_N = \sum_{n=0}^N \left(\frac{2}{7} \right)^n $$Berdasarkan pembahasan di atas, maka $(s_N)$ konvergen ke $$\frac{1}{1-\frac{2}{7}} = \frac{7}{5}, $$yaitu $$\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{2}{7} \right)^n = \frac{7}{5} $$
Perhatikan bahwa untuk $N \in \mathbb{N}$ lebih dari 2 diperoleh $$\begin{aligned} \sum_{n=2}^N \left(\frac{2}{7}\right)^n & = -1 – \frac{2}{7} + \sum_{n=0}^N \left(\frac{2}{7} \right)^n = \frac{-9}{7} + s_N\end{aligned}$$
Oleh karena itu, $$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{2}{7} \right)^n = \frac{-9}{7} + \frac{7}{5} = \frac{4}{35} $$
(b) Misalkan $N\in \mathbb{N}$ dan $$s_N = \sum_{n=0}^N \left(\frac{1}{3} \right)^n $$Berdasarkan pembahasan di atas, maka $(s_N)$ konvergen ke $$\frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}, $$yaitu $$\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{3}{2} $$
Perhatikan bahwa untuk $N \in \mathbb{N}$ lebih dari 2 diperoleh $$\begin{aligned} \sum_{n=2}^N \left(\frac{1}{3} \right)^n & = -1 – \frac{1}{3} + \sum_{n=0}^N \left(\frac{1}{3} \right)^n = \frac{-4}{3} + s_N\end{aligned}$$
Oleh karena itu, $$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{-4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{1}{6} $$
Note: Anda dapat pula menggunakan rumus geometri tak hingga yang diajarkan di SMA.
Soal 7
Tentukan rumus untuk deret $\sum_{n = 1}^\infty r^{2n} $ketika $|r|<1$.
Jawab. Karena $|r|<1$, maka $|r^2|<1$. Dari sini, sama seperti soal 6, diperoleh bahwa barisan $(s_N)$ dengan $$s_N = \sum_{n=0}^N r^{2n} = \sum_{n=0}^N (r^2)^n $$konvergen ke $$\frac{1}{1-r^2}, $$ yaitu $$\sum_{n=0}^\infty r^{2n} = \sum_{n=0}^\infty (r^2)^n = \frac{1}{1-r^2} $$
Misalkan $N \in \mathbb{N}$ lebih dari 1 diperoleh $$s_N = \sum_{n=1}^N r^2n = -1 + \sum_{n=0}^N (r^2)^n = -1 + s_N $$Oleh karena itu, $$\sum_{n=1}^\infty r^{2n} = -1 + \frac{1}{1-r^2} = \frac{r^2}{1 – r^2}$$
Demikian pembahasan Soal Analisis Real Deret. Jika Anda tertarik dengan pembahasan soal analisis real dari buku introduction to real analysis lainnya, silahkan ke sini. Tetapi, jika Anda tertarik dengan materi/topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
