Last Updated on Juli 14, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang luas dan keliling irisan dua lingkaran. Konsep yang digunakan dalam menurunkan rumus menghitungan luas irisan dua lingkaran adalah luas juring, luas segitiga, dan aturan cosinus. Sementara itu, konsep yang digunakan dalam menurunkan rumus menghitung keliling dari irisan dua lingkaran adalah panjang busur dan aturan cosinus. Pembahasan dimulai dengan bagian pendahuluan yang berisi review ringkas konsep-konsep yang digunakan.
**Selamat Membaca**
Pendahuluan
Misalkan lingkaran berjari-jari $r$ sebagaimana pada gambar berikut.
Luas lingkaran yang dimaksud adalah luas daerah di dalam lingkaran.
Telah diketahui bahwa rumus luas lingkaran tersebut adalah $$L = \pi r^2 $$dan rumus kelilingnya adalah $$K=2 \pi r. $$
Kemudian, juring yang dibentuk oleh dua garis yang ditarik dari pusat lingkaran ke lingkaran dan membentuk sudut (terkecil) $\alpha^\circ$ adalah $$L = \frac{\alpha}{360} \pi r^2 $$dan panjang busur $d$ adalah $$|d| = \frac{\alpha}{360} 2 \pi r = \frac{\alpha}{180} \pi r.$$
Selanjutnya, misalkan segitiga $ABC$ dengan$a=|BC|, b= |AC|,$ dan $c = |AB|$ sebagaimana diperlihatkan pada gambar berikut.
Berdasarkan aturan cosinus, maka diperoleh hubungan sebagai berikut. $$\begin{aligned} a^2 & = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \\ b^2 & = a^2 + c^2 – 2 ac \cos B \\ c^2 & = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \end{aligned}$$
Rumus Luas dan Keliling Irisan Dua Lingkaran
Misalkan kita punya dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari $r_1$ dan $r_2$. Misalkan masing-masing lingkaran tersebut berpusat di $A$ dan $B$ dengan jarak dari kedua pusat tersebut adalah $r.$ Jika $r_1 + r_2 < r,$ maka kedua lingkaran tersebut tidak beririsan. Jika $r_1 + r_2 = r$, maka kedua lingkaran tersebut bersinggungan di satu titik.
Kemudian, jika $r_1 + r_2 > r,$ maka kedua lingkaran beririsan. Kita akan menentukan rumus untuk menghitung luas dan keliling dari irisan kedua lingkaran tersebut.
Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran
Perhatikan gambar berikut.
Misalkan $I$ adalah daerah bagian kiri dari irisan kedua lingkaran dan $II$ adalah daerah bagian kanan dari irisan kedua lingkaran. Misalkan $L$ menyatakan luas dari daerah irisan, $L_I$ menyatakan luas $I$, dan $L_{II}$ menyatakan luas $II.$ Maka, $$L = L_I + L_{II}.$$
Misalkan pula $\alpha$ dan $\beta$ sebagaimana pada soal. Terlebih dahulu akan ditentukan masing-masing $L_I$ dan $L_{II}.$
Baca Juga:
Fungsi Kontinu
Pembahasan Soal Trigonometri: Sudut-sudut Istimewa
Rumus Integral Sinus Pangkat Genap
Perhatikan bahwa $L_I$ adalah luas dari juring lingkaran $BCD$ dikurangi dengan luas segitiga $BCD.$ Misalkan luas juring lingkaran $BCD$ adalah $L_{J_{BCD}}.$ Kemudian, $$L_{J_{BCD}} = \frac{2\beta}{360} \pi r_2^2.$$
Di lain pihak, $$L_{\Delta_{BCD}} = \frac12 r_2^2 \sin (2 \beta). $$Dari sini, perlu ditentukan nilai dari $\beta.$ Berdasarkan aturan cosinus pada segitiga $ABC,$ diperoleh bahwa $$r_1^2 = r_2^2 + r^2 – 2 r_2 r \cos \beta $$yang berakibat bahwa $$\beta = \arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}.$$
Oleh karena itu, $$L_{J_{BCD}} = \frac{2\beta}{360} \pi r_2^2 = \frac{1}{180} \pi r_2^2 \arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r} $$dan $$\begin{aligned} L_{\Delta_{BCD}} & = \frac12 r_2^2 \sin (2 \beta) \\ & = \frac12 r_2^2 2 \sin \beta \cos \beta \\ & = r_2^2 \sin \left(\arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}\right) \cos \left(\arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}\right) \\ & = r^2_2 \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}\sin \left(\arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}\right) \\ & = \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2r} r_2 \sin \left(\arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}\right) \end{aligned}$$
Dari sini, $$L_I = \frac{1}{180} \pi r_2^2 \arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r} – \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2r} r_2\sin \left(\arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}\right) $$
Dengan teknik yang serupa, kita juga dapat peroleh untuk $\alpha$ dan $L_{II},$ yaitu $$\alpha = \arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r} $$dan $$L_{II} = \frac{1}{180} \pi r_1^2 \arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r} – \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2r} r_1\sin \left(\arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r}\right). $$Jadi, $$L = \frac{1}{180} \pi r_1^2 \arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r} – \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2r} r_1\sin \left(\arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r}\right) \frac{1}{180} \pi r_2^2 \arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r} – \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2r} r_2\sin \left(\arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}\right) $$
Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran
Kita akan menentukan keliling dari irisan dua buah lingkaran. Misalkan keliling yang dimaksud adalah $K.$ Perhatikan gambar berikut.
Misalkan $a$ adalah busur yang terbentuk dari lingkaran yang berpusat di $A$ dan $b$ adalah busur yang terbentuk dari lingkaran yang berpusat di $B.$ Maka, berdasarkan pembahasan pada pendahuluan dan hasil sebelumnya, diperoleh $$|a| = \frac{2\alpha}{180} \pi r_1 = \frac{1}{90} \pi r_1 \arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r} $$dan $$|b| = \frac{2\beta}{180} \pi r_2 = \frac{1}{90} \pi r_1 \arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}. $$Jadi, $$K = \frac{1}{90} \pi r_1 \arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r} + \frac{1}{90} \pi r_2 \arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}.$$
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan tersebut, maka untuk dua buah lingkaran yang masing-masing berjari-jari $r_1$ dan $r_2$ dengan jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah $r$ yang memenuhi $r_1 + r_2 >r$ berlaku $$L = \frac{1}{180} \pi r_1^2 \arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r} – \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2r} r_1\sin \left(\arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r}\right) \frac{1}{180} \pi r_2^2 \arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r} – \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2r} r_2\sin \left(\arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}\right) $$dan $$K = \frac{1}{90} \pi r_1 \arccos \frac{r_2^2 – r_1^2 – r^2}{2 r_1 r} + \frac{1}{90} \pi r_2 \arccos \frac{r_1^2 – r_2^2 – r^2}{2 r_2 r}.$$
Demikian postingan kali ini tentang luas dan keliling irisan dua lingkaran. Jika Anda tertarik dengan postingan terkait dengan materi matematika tingkat sekolah, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi/topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
