Last Updated on September 10, 2024 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang cara menentukan banyaknya digit bilangan berpangkat. Dengan cara tersebut kita dapat menentukan banyaknya digit dari bilangan seperti $2^{100},$ $3^{5000},$ dan bilangan-bilangan berpangkat lainnya. Sebelum membahas tentang cara menentukan banyaknya digit bilangan berpangkat, terlebih dahulu dibahas tentang fungsi tangga yang nantinya akan muncul pada rumus yang digunakan.
**Selamat Menikmati**
Fungsi Tangga
Fungsi tangga adalah salah satu bentuk fungsi dalam matematika. Fungsi tangga memiliki penerapan yang sangat luas dan digunakan di berbagai bidang dalam bidang matematika seperti Aljabar dan Analisis. Pada pembahasan kali ini, kita juga akan menggunakan fungsi tangga.
Fungsi tangga dari $x$, disimbolkan dengan $\lfloor \log n \rfloor$, adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. Sebagai contoh, $\lfloor 1.3 \rfloor = 1$ karena bilangan bulat yang kurang dari $1.3$ adalah $\cdots, -1, 0, 1$ dan yang terbesar adalah $1$. $\lfloor 3 \rfloor = 3$ karena bilangan bulat yang kurang dari $3.$ adalah $\cdots, 1, 2, 3$ dan yang terbesar adalah $3$. Dengan argumen yang sama kita dapat melihat bahwa jika $x$ adalah bilangan bulat, maka $\lfloor x \rfloor = x.$
Berikut ini adalah contoh lain.
- $\lfloor 2000.56 \rfloor = 2000$
- $\lfloor 0.67 \rfloor = 0$
- $\left\lfloor \frac{17}3 \right\rfloor = 5$
- $\lfloor 2001 \rfloor = 2001$
- $\lfloor 2 \rfloor = 2$
Berikut ini adalah grafik fungsi tangga.
Nilai fungsi tangga diperlihatkan pada garis-garis berwarna merah dengan nilai fungsi masing-masing ujung kanannya ada di tangga berikutnya. Terlihat bahwa bentuknya memang seperti tangga.
Baca Juga:
Cara menentukan jarak garis dan titik
Pembahasan Soal ONMIPA Analisis Real
Pembahasan Soal ONMIPA
Cara Menentukan Banyaknya Digit Bilangan Berpangkat
Misalkan bilangan asli $n$ dengan banyaknya digit adalah $d.$ Kita akan menentukan nilai $d.$ Karena $10^d$ adalah bilangan bulat dengan $d+1$ digit, maka dapat ditulis $$10^{d-1} \leq n < 10^d.$$
Dengan mengambil $\log$ pada masing-masing ruas, diperoleh $d-1 \leq \log n < d.$ Dari sini, dengan mengambil fungsi tangga, maka $$d – 1 = \lfloor \log n \rfloor $$dan $$d = 1 + \lfloor \log n \rfloor.$$
Contoh Menentukan Banyaknya Digit Bilangan Berpangkat
Contoh 1
Banyaknya digit dari bilangan berpangkat $2^{100}$ adalah $$\begin{aligned} 1 + \lfloor \log n \rfloor & = 1 + \lfloor \log 2^{100} \rfloor \\ & = 1 + \lfloor 200 \log 2 \rfloor. \end{aligned}$$Karena $$\log 2 \approx 0.301, $$maka $$200 \times \log 2 \approx 60.2 $$sehingga $$\begin{aligned} 1 + \lfloor \log n \rfloor & = 1 + \lfloor \log 2^{100} \rfloor \\ & = 1 + \lfloor 200 \log 2 \rfloor \\ & = 1 + \lfloor 60.2 \rfloor \\ & = 1 + 60 \\ & = 61 \end{aligned}$$
Contoh 2
Banyaknya digit dari bilangan berpangkat $14^{2024}$ adalah $$\begin{aligned} 1 + \lfloor \log n \rfloor & = 1 + \lfloor \log 14^{2024} \rfloor \\ & = 1 + \lfloor 2024 \log 14 \rfloor. \end{aligned}$$Karena $$\log 14 \approx 1.15, $$maka $$2024 \times \log 14 \approx 2327.6 $$sehingga $$\begin{aligned} 1 + \lfloor \log n \rfloor & = 1 + \lfloor \log 14^{2024} \rfloor \\ & = 1 + \lfloor 2024 \log 14 \rfloor \\ & = 1 + \lfloor 2327.6 \rfloor \\ & = 1 + 2327 \\ & = 2328 \end{aligned}$$
Contoh 3
Banyaknya digit dari bilangan berpangkat $2^{555}\times 5^{222}$ adalah $$\begin{aligned} 1 + \lfloor \log n \rfloor & = 1 + \lfloor \log 2^{555}\times 5^{222} \rfloor \\ & = 1 + \lfloor \log 2^{555} + \times 5^{222} \rfloor \\ & = 1 + \lfloor \log 2^{555} + \log 5^{222} \rfloor \\ & = 1 + \lfloor 555 \log 2 + 222 \log 5 \rfloor. \end{aligned}$$Karena $$\log 2 \approx 0.301 $$dan $$\log 5 \approx 0.699 $$maka $$555 \times \log 2 \approx 167.055 $$dan $$222 \times \log 5 \approx 155.178 $$sehingga dapat ditulis $$\begin{aligned} 1 + \lfloor \log n \rfloor & = 1 + \lfloor \log 2^{100} \rfloor \\ & = 1 + \lfloor 555 \log 2 + 222 \log 5 \rfloor \\ & = \lfloor 167.055 + 155.178 \rfloor \\ & = \lfloor 232.233 \rfloor \\ & = 232\end{aligned}$$
Contoh 4
Tentukan bilangan asli $n$ sedemikian sehingga bilangan $2^n$ memiliki digit $251.$
Jawab. Berdasarkan rumus yang telah diperoleh sebelumnya, $$\begin{aligned} 251 & = 1 + \lfloor \log 2^n\rfloor \\ 250 & = \lfloor n \log 2\rfloor. \end{aligned}$$Oleh karena itu, haruslah $$250 \leq n \log 2 < 251 $$dan $$\frac{250}{\log 2} \leq n < \frac{251}{\log 2}.$$
Karena $\log 2 \approx 0.301,$ maka $$\frac{250}{\log 2} \approx 830.565 $$dan $$\frac{251}{\log 2} \approx 833.887. $$Dari sini, $$830.565 \leq n < 833.887.$$
Oleh karena itu, bilangan asli $n$ yang mungkin adalah $831, 832,$ dan $833.$ Anda dapat menguji bilangan-bilangan tersebut.
Demikian pembahasan kali ini tentang cara menentukan banyaknya digit bilangan berpangkat. Anda dapat melihat postingan dengan topik yang lain di sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
