Last Updated on November 23, 2023 by prooffic
Postingan ini akan membahas tentang bagaimana menentukan jarak titik ke garis terutama pada bidang Kartesius. Selain membahas tentang bagaimana rumus jarak titik ke garis dan bagaimana menggunakannya, kita juga akan membahas asal-usul rumus tersebut secara rinci. Pembahasan tersebut akan lebih menambah wawasan kita. Pada bagian awal, akan dibahas tentang persamaan garis lurus dan jarak antar dua titik.
**Selamat Menikmati**
Pendahuluan
Jarak antar dua Titik
Misalkan $A=(x_1,y_1)$ dan $B=(x_2,y_2)$ adalah dua titik pada bidang Cartesius. Berdasarkan Teorema Phytagoras, diperoleh bahwa jarak $A$ dan $B,$ yang disimbolkan dengan $|AB|$, dapat diperoleh dengan rumus $$|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 – y_2)^2}.$$
Luas segitiga dengan titik sudut diketahui
Misalkan segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A=(x_1, y_1)$, $B=(x_2, y_2),$ dan $C=(x_3, y_3)$. Luas dari segitiga tersebut adalah $$|ABC| = \frac12 det \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{matrix} \right)$$
Rumus jarak titik dan garis pada bidang kartesius
Kita akan menemukan dan membuktikan rumus jarak titik dan garis pada bidang kartesius dengan persamaan garis tersebut diketahui. Secara umum, bentuk dari persamaan garis lurus adalah sebagai berikut.
- $Ax+By = C$ untuk suatu bilangan real $A, B, $dan $C$
- $y=mx+c$ untuk suatu bilangan real $m$ dan C
Terdapat dua komponen utama dari garis lurus pada bidang kartesius, yaitu kemiringan garis dan titik yang dilalui sehingga dalam menentukan persamaan garis lurus hanya perlu diketahui kemiringan dan titik yang dilalui oleh garis tersebut. Pada bentuk 2 di atas, $m$ adalah kemiringan garis.
Rumus
Misalkan garis lurus $y=mx+c$ dan $A=(x_1, y_1)$ adalah titik pada bidang kartesius. Jarak antara garis tersebut dan titik $A$ adalah panjang dari ruas garis yang menghubungkan garis dan titik $A$ sehingga membentuk sudut $90^\circ$ seperti pada gambar berikut.
Jarak antara garis tersebut dan titik $A$ adalah $$d = \frac{|y_1 – mx_1 – c|}{\sqrt{1+m^2}}. $$ Sebelum memberikan contoh bagaimana menggunakan rumus tersebut, terlebih dahulu kita buktikan tentang kebenaran dari rumus tersebut.
Bukti rumus jarak titik ke garis
Misalkan $l$ adalah garis $y=mx+c$. Misalkan $P$ adalah titik potong $l$ dan $l’$ sebagaimana pada gambar sebelumya. Jarak antara $l$ dan $A$ adalah jarak antara $A$ dan $P.$
Kita akan menentukan jarak titik $A$ dan $P$ dengan terlebih dahulu menentukan titik $P$. Gradien dari $l$ adalah $$m_l = m.$$
Misalkan pula $l’$ sebagai garis yang melalui $A = (x_1, y_1)$ dan tegak lurus dengan $l.$ Karena $l’$ tegak lurus dengan $l$, maka gradien dari $l’$ yang disimbolkan dengan $m_{l’}$ memiliki hubungan $$m_l \times m_{l’} = 1.$$
Oleh karena itu, $$\begin{aligned} m_l \times m_{l’} & = -1 \\ m \times m_{l’} & = -1 \\ m_{l’} & = -1 \frac1m\end{aligned}. $$Dari sini, gradien $l’$ adalah $-\frac1m$ dan melalui titik $(x_1, y_1).$
Akibatnya, $l’$ memiliki persamaan $$\begin{aligned} y-y_1 & = m_{l’} (x-x_1) \\ y – y_1 & = -\frac1m (x-x_1) \\ x + my & = mx_1 + x_1 + m y_1 \end{aligned}. $$Karena $P$ adalah titik potong garis $l$ dan $l’$, maka cukup dengan menyelesaikan persamaan $$\begin{aligned} -mx + y & = c \\ x + my & = my_1 +x_1 . \end{aligned}$$
Dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} x & = \frac{my_1 + x_1 -mc}{1+m^2} \\ y & = \frac{m^2 y_1 + mx_1 + c}{1 + m^2} \end{aligned} $$sehingga titik $P$ adalah $$P = \left( \frac{my_1 + x_1 -mc}{1+m^2}, \frac{m^2 y_1 + mx_1 + c}{1 + m^2} \right)$$ Dari sini, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} d^2 & = \left( x_1 – \frac{my_1 + x_1 -mc}{1+m^2} \right)^2 + \left( y_1 – \frac{m^2 y_1 + mx_1 + c}{1 + m^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{m^2 x_1 – my_1 + mc}{1+m^2} \right)^2 + \left( \frac{y_1 – mx_1 – c}{1 + m^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{m}{1+m^2} \right)^2 \left( mx_1 – y_1 + c \right)^2 + \left( \frac{1}{1+m^2} \right)^2 \left( mx_1 – y_1 + c \right)^2 \\ & = \frac{m^2 + 1}{(1 + m^2)^2} \left( mx_1 – y_1 + c \right)^2 \\ & = \frac{(mx_1 – y_1 + c)^2}{1+m^2} \\ d & = \frac{|mx_1 – y_1 + c|}{\sqrt{1+m^2}}. \end{aligned}$$
Jadi, jarak antara garis tersebut dan titik $A$ adalah $$d = \frac{|y_1 – mx_1 – c|}{\sqrt{1+m^2}} $$atau $$d = \frac{|mx_1 -y_1 + c|}{\sqrt{1+m^2}} $$
Bentuk Lain Rumus Menentukan Jarak Titik ke Garis
Berdasarkan hasil sebelumnya diperoleh bahwa jarak titik $A=(x_1, y_1)$ ke garis $y=mx+c$ adalah $$d = \frac{|mx_1 – y_1 +c|}{\sqrt{1+m^2}}. $$Akan tetapi, bagaimana jika bentuk persamaan garisnya adalah $$Ax + By = C?.$$
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlu mengubah bentuk persamaan tersebut menjadi persamaan $y=mx+c$. Untuk itu, perhatikan bahwa dengan operasi dasar aljabar, kita peroleh $$\begin{aligned} Ax+By & = C \\ By & = C – Ax \\ y & = \frac{C-Ax}{B}\\ y & = – \frac{A}{B} x + \frac{C}{B}. \end{aligned}$$
Dari sini, $$m = – \frac{A}{B}, \quad c = \frac{C}{B} $$dan jarak $A = (x_1, y_1)$ adalah $$\begin{aligned} d & = \frac{\left| – \frac{A}{B} x_1 – y_1 + \frac{C}{B} \right|}{\sqrt{1 + \left( – \frac{A}{B} \right)^2}} \\ & = \frac{Ax_1 + By_1 – C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \end{aligned}$$
Oleh karena itu, kita memperoleh dua bentuk rumus menentukan jarak titik ke garis sebagai berikut.
- Jarak titik $A = (x_1, y_1)$ ke garis $y=mx+c$ adalah $$d = \frac{|mx_1 – y_1 +c|}{\sqrt{1+m^2}}$$
- Jarak titik $A = (x_1, y_1)$ ke garis $Ax+By=C$ adalah $$\frac{Ax_1 + By_1 – C}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
Kita hanya perlu menyesuaikan bentuk persamaan garis pada soal dengan rumus tersebut.
Contoh Cara Menentukan Jarak Titik Titik ke Garis
Pada bagian sebelumnya telah disebutkan dan dijelaskan bagaimana rumus menentukan jarak titik ke garis. Kali ini kita akan menerapkan rumus tersebut dalam menentukan jarak titik ke garis. Berikut ini adalah beberapa contohnya.
Contoh 1
Misalkan titik $A = (1,2)$. Jarak titik $A$ dan garis $y = 3x + 1$ adalah …
Jawab: Perhatikan bahwa garis $y = 3x + 1$ memiliki bentuk $y = mx+ c$ dengan $m = 3$ dan $c = 1$. Kemudian, $x_1 = 1$ dan $y_1 = 2$.
Dengan menggunakan rumus sebelumnya, diperoleh bahwa jarak titik $A$ dan garis tersebut adalah $$\begin{aligned} d = \frac{|mx_1 – y_1 +c|}{\sqrt{1+m^2}} \\ & = \frac{|3 \cdot 1 – 2 +1|}{\sqrt{1+2^2}} \\ & \frac{|4|}{\sqrt{1+4}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \\ & = \frac45 \sqrt{5} \end{aligned}$$.
Contoh 2
Misalkan titik $B = (5,3)$. Jarak titik $B$ dan garis $6x + 8y = 24$ adalah …
Jawab: Perhatikan bahwa garis $6x + 8y = 24$ memiliki bentuk $Ax + By = C$ dengan $A = 6, B=8,$ dan $C=24$. Selain itu, $x_1 = 5$ dan $y_1 = 3.$
Dengan menggunakan rumus sebelumnya, diperoleh bahwa titik $B$ dan garis $6x+8y=24$ adalah $$\begin{aligned} d = \frac{|Ax_1 B y_1 – C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ & = \frac{|6 \cdot 5 + 8 \cdot 3 – 24|}{\sqrt{6^2+8^2}} \\ & \frac{|30|}{\sqrt{100}} = \frac{30}{10} \\ & = 3. \end{aligned}$$
Penutup
Demikian postingan kali ini tentang bagaimana menentukan jarak titik ke garis. Postingan ini termasuk ke dalam topik geometri. Jika Anda tertarik dengan materi lain tentang geometri, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan materi di topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
