Last Updated on November 15, 2024 by prooffic
Postingan kali ini akan membahas tentang pembahasan soal ONMIPA 2024 Matematika Analisis Real. Materi yang termuat adalah konsep himpunan terutama interval, integral, dan trigonometri.
**Selamat Menikmati**
Isian Singkat
Soal 1
ika $I$ koleksi interval buka pada $\mathbb{R}$ dengan $I = \{I_n : I_n = (1,1+\frac1n), n\in\mathbb{N}\},$ maka $\bigcup_{I_n\in I} I_n = \cdots$ dan $\bigcap_{I_n\in I} I_n = \cdots$.
Jawab. Perhatikan bahwa $$\bigcup_{I_n\in I} I_n \subseteq (1,2) = I_1 $$dan $$I_1 \subseteq \bigcup_{I_n\in I} I_n $$sehingga diperoleh bahwa $$\bigcup_{I_n\in I} I_n = (1,2).$$
Selanjutnya, andaikan terdapat $x\in \bigcap_{I_n\in I} I_n$ maka haruslah $$x \in I_n = (1,1+1/n) $$untuk setiap bilangan asli $n$ sehingga $$1 < x < 1 + 1/n, \quad n \in\mathbb{N}. $$Oleh karena itu, dengan mengambil $n\to\infty$ diperoleh $1<x\leq 1$ dan $1<1.$ Hal tersebut tidak mungkin berlaku dan pengandaian salah sehingga tidak $x$ sehingga $x\in \bigcap_{I_n\in I} I_n$. Dengan kata lain, $$\bigcap_{I_n\in I} I_n = \emptyset$$
Soal 2
Untuk setiap $n\in\mathbb{N}$, $f_n: [-1,1] \to \mathbb{R}$ dengan $f_(x) = \cos (n \arccos{(x)}), x \in [-1,1].$ Untuk setiap dua bilangan asli $m$ dan $n$ dengan $m\neq n$, nilai $$\int_{-1}^1 \frac{f_n(x) f_m(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \cdots.$$
Jawab. Perhatikan bahwa untuk $m,n\in\mathbb{N}$ dan $m\neq n$ berlaku $$ \begin{aligned} f_n(x) f_m(x) & = \cos (n \arccos (x)) \cdot \cos (m \arccos (x)) \\ & = -\frac12 (\cos [(m+n)\arccos (x)] – \cos [(m-n)\arccos (x)]. \end{aligned}$$
Kemudian, dengan pemisalan variabel $y=\arccos{x}$ dan asumsi bahwa $m, n\in \mathbb{N}$
$$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \frac{f_n(x) f_m(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx & = -\frac12 \left(\int^0_{\pi} [\cos (m+n)y – \cos (m-n) y ] \right) dy \\ & = -\frac12 \left(\int^0_{\pi} \cos (m+n)y dy – \int^0_{\pi} \cos (m-n)y dy \right)\\ & = -\frac12 \left( 0 + \int^0_{\pi} \cos (m-n)y dy \right) \\& = -\frac12 \int^0_{\pi} \cos (m-n)y dy. \end{aligned} $$Jika $m=n,$ maka
$$\int_{-1}^1 \frac{f_n(x) f_m(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac12 \int^0_{\pi} -\int^0_{\pi} \cos (m-n)y dy = -\frac12 (2\pi) = -\pi.$$
Jika $m\neq n$, maka $$ \int_{-1}^1 \frac{f_n(x) f_m(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac12 \int^0_{\pi} -\int^0_{\pi} \cos (m-n)y dy = \frac{1}{m-n} \sin (m-n)y|^{y=\pi}_{y=0} = 0.$$
Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal ONMIPA 2024 Matematika Analisis Real. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya tentang ONMIPA / KNMIPA, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
