Pembahasan Soal ONMIPA 2024 Matematika Analisis Kompleks Tingkat Wilayah

Last Updated on November 15, 2024 by prooffic

Postingan kali ini akan membahas tentang pembahasan soal onmipa 2024 Matematika Analisis Kompleks tingkat wilayah. Pembahasan kali ini melibatkan beberapa materi yang pada dasarnya dapat didapatkan di buku Complex Variable oleh Brown E. Churchill.

**Selamat Menikmati**

Soal Isian
Soal 1

Banyaknya bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $z^{20}=1$ dan $z^{24} \in\mathbb{R}$ adalah …

Jawab. 

Perlu diingat kembali bahwa untuk $n\in\mathbb{N},$ maka solusi dari $$z^n=z_0 $$adalah akar ke-$n$ dari $z_0$, yaitu $$z = |z_0|^\frac1n \exp \left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) $$dengan $\theta$ adalah argument dari $z_0$ dan $k=0, \cdots, n-1.$ Perhatikan bahwa Argument dari $z_0=1$ adalah $0$ dan $|z_0| = |1| = 1$, maka $z$ yang mememenuhi $z^{24}=1$ adalah $$z = \exp \left(\frac{0+2\pi k}{24}\right) = \exp\left(\frac{2\pi k}{24}\right) $$dengan $k=1, \cdots, 23.$

Kemudian, $z$ akan bernilai bilangan real apabila $$\frac{2\pi k}{24} = \pi l $$untuk suatu bilangan bulat $l.$ Dari sini, $2k = 24 l$, yaitu $k=12l.$ Karena $k=1, \cdots, 23$, maka bilangan $k$ dan $l$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $k=0$ dan $k=12.$

Oleh karena itu, banyakny $z$ yang memenuhi $z$ yang memenuhi $z^{20}=1$ dan $z^{24} \in\mathbb{R}$ adalah $2$.

Soal 2

Jika diberikan fungsi kompleks $f(z) = \bar{z} e^{-|z|^2}$, maka nilai $f'(i)$ adalah …

Jawab.

Ingat kembali bahwa fungsi kompleks $f$ dengan $f(x+iy) = u(x,y) +i v(x,y)$ terdiferensialkan jika memenuhi persamaan Cauchy-Schwarz, yaitu $u_x = v_y$ dan $u_y = -v_x$. Jika persamaan tersebut terpenuhi, maka turunannya adalah $f'(x+iy) = u_x (x,y) + i v_x (x,y).$

Perhatikan bahwa untuk $z=x+iy$, maka $$\begin{aligned} f(x+iy) & = f(z) \\ & = \overline{z} e^{-|z|^2} \\ & = \overline{x+iy} e^{-|x+iy|^2} \\ & = (x-iy) e^{-(x^2+y^2)} \\ & = \left(xe^{-(x^2+y^2})\right) + i \left(-ye^{-(x^2+y^2)}\right)\end{aligned} $$sehingga $u(x,y) = xe^{-(x^2+y^2)}$ dan $v(x,y) = -ye^{-(x^2+y^2)}.$ Selanjutnya, akan dihitung $u_x$, $u_y$, $v_x,$ dan $v_y$. Dengan aturan perkalian pada turunan, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} u_x & = e^{-(x^2+y^2)} – 2x^2 e^{-(x^2+y^2)}\\ u_y & = -2xy e^{x^2+y^2} \\ v_x & = 2xye^{-(x^2+y^2)} \\ v_y & = -e^{-(x^2+y^2)} + 2y^2 e^{-(x^2+y^2)}. \end{aligned}$$

Kemudian, untuk $z=i,$ maka $x=0$ dan $y=1$ sehingga $$u_x (0,1) = e^{-(0^2+1^2)} – 20^2 e^{-(0^2+1^2)} = e^{-1} =  -e^{-(0^2+1^2)} + 2\cdot 1^2 e^{-(0^2+1^2)} = v_y (0,1) $$dan $$u_y (0,1) = -2\cdot 0 \cdot 1 \cdot e^{0^2+1^2} =0 = 2\cdot 0 \cdot 1 \cdot e^{0^2+1^2} = v_x (0,1). $$Oleh karena itu, persamaan Cauchy terpenuhi di $z=i$ sehingga turunan $f$ di $z=i$ ada, yaitu $$f'(i) = u_x (0,1) + i v_x (0,1) = e^{-1} + i \cdot 0 = \frac1e$$

Uraian
Soal 1

Untuk setiap bilangan kompleks $z$ dengan $|z|=1,$ tunjukkan bahwa $$ 1\leq |1+z| + |1+2z| \leq 5. $$

Jawab. Dengan Ketaksamaan Segitiga, $$|1+z|+|1+2z| \geq |z|-|1| + |2z|-|1| = 1-1 + 2\cdot 1 – 1 = 1 $$dan $$|1+z|+|1+2z|\leq |1|+|z|+|1|+|2z| = 1+1+1+2=5 $$sehingga berdasarkan kedua ketaksamaan tersebut diperoleh $$1\leq |1+z| + |1+2z| \leq 5.$$

Soal 2

Tentukan daerah $D$ di bidang kompleks sehingga untuk $z\in D$, $\lim_{|z|\to\infty} e^z$ ada.

Jawab. 

Ada beberapa himpunan yang dimaksud. Salah satu contoh himpunan yang dimaksud adalah sebagai berikut. $$D = \{z\in\mathbb{C} : \Re(z) < 0, a< \Im (z) < b \} $$ dengan $a<b.$

Perhatikan bahwa jika $|z|\to\infty$ untuk $z\in D$, maka $\Re (z) \to -\infty.$ Oleh karena itu, $|e^{z}| = e^{\Re (z)} \to 0$ untuk $|z|\to \infty$ yang berakibat bahwa $e^z \to 0$ untuk $|z|\to\infty.$ Jadi, salah satu contoh $D$ agar $\lim_{z\in D, |z|\to\infty} e^z$ ada adalah $$D = \{ z \in \mathbb{C} : \Re (z) < 0; a< \Im (z) < b \} $$dengan $\lim_{z\in D, |z|\to\infty} e^z = 0.$

Contoh lainnya adalah $$D = \{z \in \mathbb{C}: \Re(z)-a < \Im(z) < -\Re(z) + a\} $$dengan $a$ adalah bilangan real.

Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2024 Matematika Analisis Kompleks tingkat wilayah. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya tentang pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.

Share and Enjoy !