Last Updated on Agustus 8, 2022 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang pembahasan perbandingan trigonometri dan sifat-sifatnya. Tujuan utama dari postingan ini adalah untuk menyajikan tentang intuisi dan proses kontruksi definisi masing-masing perbandingan trigonometri yang telah kita kenal selama ini. Dengan kata lain, kita akan “menemukan ulang” atau “mengkonstruk ulang” konsep perbandingan trigonometri. Di sini kita menggunakan salah satu konsep mendasar matematika lainnya, yaitu kesebangunan dan segitiga siku-siku. Sehingga, ukuran sudut pembicaraan kita dibatasi dari 0 hingga 90 derajat yang nantinya akan kita perluas ke sebarang besaran sudut.
**Selamat menikmati**
Intuisi dan kontruksi definisi perbandingan trigonometri
Trigonometri merupakan materi yang telah dipelajari di bangku SMA. Materi ini memiliki penerapan yang sangat luas di berbagai bidang, seperti bidang kontruksi bangunan, pelayaran, astronomi, dan segala hal lainnya yang menyangkut ukuran sudut. Trigonometri dapat dikelompokkan ke dalam bidang geometri karena menyangkut ukuran terutama pada segitiga. Selain itu, dapat pula dikelompokkan ke dalam kalkulus, terutama ketika kita berbicara mengenai fungsi trigonometri.
Lihat Juga: Integral fungsi sinus pangkat genap
Sebelum lebih jauh mengenal perbandingan trigonometri dan sifat-sifatnya, terlebih dahulu kita mengulas sedikit tentang kesebangunan segitiga dan segitiga siku-siku. Ada beberapa cara untuk mengidentifikasi apakah dua segitiga sebangun atau tidak. Salah satu adalah dengan melihat apakah ketiga sudut yang bersesuaian sama besar. Contoh berikut menampilkan dua buah segitiga yang sebangun.
Selanjutnya, kita tinjau ulang materi mengenai segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku adalah adalah segitiga dengan salah satu sudutnya adalah siku-siku seperti diperlihatkan pada gambar berikut. Sisi-sisi $AC$ dan $DF$ disebut sisi miring, sisi-sisi $AB$ dan $DE$ disebut sisi mendatar, serta sisi-sisi $BC$ dan $EF$ disebut sisi tegak.
Kita dapat melihat bahwa kedua segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku dan keduanya sebangun dengan $\angle BAC = \angle FDE = \alpha.$ Terdapat hal yang menarik di sini. Perhatikan bahwa berdasarkan kesebangunan kedua segitiga tersebut, kita peroleh $$\frac{|AC|}{|DF|}=\frac{|BC|}{|EF|}$$yang berakibat bahwa $$\frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|EF|}{|DF|}=\kappa$$
Apa yang dapat kita simpulkan dari sini? Ini adalah yang menariknya, yaitu bahwa untuk sudut $\alpha,$ perbandingan antara sisi tegak dan sisi miringnya adalah tetap untuk sebarang ukuran sisi-sisinya. Nilai $\kappa$ disebut perbandingan sisi tegak dan sisi miring untuk sudut $\alpha.$ Anda dapat melihat lebih jelas secara grafik lagi ketika anda membayangkan bagaimana segitiga $DEF$ diperbesar atau diperkecil. Dengan konsep kesebangunan, Anda akan tetap mendapati bahwa perbandingan tersebut senantiasa akan sama.
Dari sini, kita telah menemukan suatu aturan dalam matematika yang menarik, yaitu sebagai berikut:
Pada suatu segitiga siku-siku, jika $\alpha$ adalah besar sudut di depan sisi miring, maka perbandingan sisi tegak dan sisi miringnya adalah sama untuk sebarang ukuran relevan segitiga siku-siku tersebut.
Setelah menemukan konsep tersebut, kita akan bertanya, gunanya apa? Untuk memudahkan, terlebih dahulu kita misalkan aturan yang baru diperoleh tersebut sebagai lema, lebih tepatnya lemma segitiga siku-siku.
Misalkan kita punya segitiga $ABC$ seperti pada gambar. Diketahui bahwa perbandingan sisi mendatar dan sisi miring untuk sudut $\alpha$ adalah $\kappa = 0,5.$ Tentukan nilai dari $|AB|.$ Dengan lemma yang telah kita peroleh sebelumnya, kita dapat dengan meudah menentukan nilai dari $|AB|,$ yaitu $$0,5 = \kappa = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{6}{|AC|} \Rightarrow |AC|=\frac{6}{0,5} =12$$
Nah, sampai di sini kita telah membangun sebuah konsep dalam matematika dari konsep yang telah ada sebelumnya. Selain itu, konsep baru tersebut juga memiliki aplikasi. Meskipun aplikasi yang disajikan tersebut masih bersifat terlalu matematis, akan tetapi pada dasarnya banyak masalah dalam dunia nyata yang dapat disajikan ke bentuk matematika tersebut (gambar segitiga). Selanjutnya, nilai $\kappa$ yang bersesuaian dengan $\alpha$ tersebut kita nyatakan sebagai sinus dari $\alpha$ yang dinotasikan dengan $\sin \alpha.$ Dengan mendefinisikan konsep tersebut, kita akan jadi lebih mudah dalam mengingatnya.
Kita telah “menemukan” konsep sinus. Karena alasan yang sama, kita dapat membangun definisi untuk cosinus, tangent, cosecan, secan dan cotangen. Silahkan Anda coba sendiri.
Definisi Perbandingan Trigonometri
Merujuk ke proses kontruksi dan gambar sebelumnya, masing-masing perbandingan trignonometri kita definisikan sebagai berikut dengan $\alpha$ adalah sudut.
1. Sinus (sin)
Sinus dari sudut $\alpha$ adalah perbandingan dari panjang sisi tegak dan sisi miring, yaitu $$\sin \alpha = \frac{|BC|}{|AC|}$$
2. Cosinus (cos)
Cosinus dari sudut $\alpha$ adalah perbandingan dari panjang sisi mendatar dan sisi miring, yaitu $$\cos \alpha = \frac{|AB|}{|AC|}$$
3. Tangen (tan)
Tangen dari sudut $\alpha$ adalah perbandingan dari panjang sisi tegak dan sisi mendatar, yaitu $$\tan \alpha = \frac{|BC|}{|AB|}$$
4. Cosecan (cosec)
Cosecan dari sudut $\alpha$ adalah perbandingan dari panjang sisi miring dan sisi tegak, yaitu $$\cosec \alpha = \frac{|AC|}{|BC|}$$Sehingga, dapat dilihat bahwa untuk $\sin \alpha \neq 0$ dan terdefinisi, $$\cosec \alpha = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{1}{\frac{|BC|}{|AC|}} = \frac{1}{\sin \alpha} $$atau dengan kata lain, cosecan adalah kebalikan (resiprok) dari sinus.
5. Secan (sec)
Secan dari sudut $\alpha$ adalah perbandingan dari panjang sisi miring dan sisi mendatar, yaitu $$\sec \alpha = \frac{|AC|}{|AB|}$$Sehingga, dapat dilihat bahwa untuk $\cos \alpha \neq 0$ dan terdefinisi, $$\sec \alpha = \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{1}{\frac{|AB|}{|AC|}} = \frac{1}{\cos \alpha} $$atau dengan kata lain, secan adalah kebalikan dari cosinus.
6. Cotangen (cot)
Tangen dari sudut $\alpha$ adalah perbandingan dari panjang sisi tegak dan sisi mendatar, yaitu $$\cot \alpha = \frac{|BC|}{|AB|} $$Sehingga, dapat dilihat bahwa untuk $\tan \alpha \neq 0$ dan terdefinisi, $$\cot \alpha = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{1}{\frac{|AB|}{|BC|}} = \frac{1}{\tan \alpha} $$atau dengan kata lain, cotangen adalah kebalikan dari cosinus.
Note: Di sini kita perlu berhati-hati. Karena kita membangun definisi perbandingan-perbandingan trigonometri tersebut dari segitiga, maka kita akan dihadapi sebuah masalah, yaitu kita tidak dapat menemukan $\sin 0.$ Kenapa? Perhatikan bahwa jika $\alpha = 0,$ maka kita tidak akan memperoleh sebuah segitiga, melainkan dua buah ruas garis (sisi miring dan mendatar)yang saling berimpit yang berakibat bahwa sisi tegaknya adalah nol. Sehingga, kita dapat mendefinisikan $\sin 0 = 0$. Ingat kembali syarat yang harus dipenuhi ukuran tiga ruas garis untuk membentuk segitiga. Sedangkan, jika $\alpha = 90^{\circ}, $maka kita juga tidak akan memperoleh bentuk segitiga, melainkan sebuah bentuk mirip persegi panjang, tetapi tidak memiliki ujung/tepi di bagian atasnya. Dalam matematika lanjut, bentuk tersebut, disebut sebagai pita. Secara intuitif, kita peroleh bahwa panjang sisi tegak dan sisi miringnya akan sama, yaitu menuju ke tak hingga. Sehingga, kita dapat definisikan bahwa $$\sin 90^{\circ} = \lim_{r \to \infty} \frac{r}{r} = 1$$
Selain itu, dengan argumen yang serupa, kita tulis bahwa $$\begin{aligned} \cos 0 &=1 \\ tan 0 &= 0 \\ \sec 0 &= 1\\ \cos 90^{\circ} &=0 \\ \cosec 90^{\circ} &= 1 \\ \cot 90^{\circ} &= 0 \end{aligned}$$Nilai cosecan dan cotangen $0^{\circ}$ tidak terdefinisi (Kenapa?) dan nilai sec dari $90^{\circ}$ tidak didefinisikan.
Sudut Istimewa: $0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$
Dalam trigonometri, kita juga mengenal yang namanya sudut-sudut istimewa. Sudut-sudut tersebut adalah $0, 30,45,60,90$ derajat. Apa yang membuat sudut-sudut 0, 30,45,60,90 derajat tersebut istimewa? Yang membuat mereka istimewa adalah karena nilai perbandingan trigonometrinya relatif jauh lebih mudah dihitung. Sebagai contoh, kita akan menghitung masing-masing nilai sinus dari sudut-sudut istimewa tersebut.
Lihat Juga: Pembahasan Soal Trigonometri Sudut-sudut Istimewa
1. Sudut $0^{\circ}$ dan $90^{\circ}$
Dari penjelasan sebelumnya, kita telah memperoleh nilainya, yaitu $\sin 0 = 0$ dan $\sin 90^{\circ} = 1.$
2. Sudut $30^{\circ}$ dan $60^{\circ}$
Perhatikan gambar segitiga berikut.
Karena telah dibuktikan di lemma sebelumnya bahwa nilai $\sin \alpha$ tetap untuk semua segitiga, maka kita dapat asumsikan bahwa panjang $AC$ adalah 2. Sehingga, langkah berikutnya adalah menentukan panjang $BC.$ Untuk itu, kita bentuk segitiga baru dari segitiga tersebut.
Segitiga yang diperoleh tersebut adalah segitiga sama kaki karena besar sudut $CAC’$ adalah $\alpha + \alpha = 2 \alpha = 60^{\circ}.$ Oleh karena itu panjang dari $CC’$ adalah sama dengan panjang dari $AC,$ yaitu 2. Dari sini, panjang dari $BC$ adalah $(1/2) |CC’| = (1/2) (2) = 1.$ Sehingga, dengan teorema Phytagoras, diperoleh bahwa $$|AB|^2 = |AC|^2-|BC|^2 = 2^2-1^2=3 \Rightarrow |AB|=\sqrt{3}$$Oleh karena itu, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \sin 30^{\circ} &= \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{1}{2}\\ \cos 30^{\circ} &= \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan 30^{\circ} &= \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \\ \cosec 30^{\circ}& = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{2}{1} = 2 \\ \sec 30^{\circ} & = \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3} \\ \cot 30^{\circ} &= \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\end{aligned}$$
Kemudian, kita juga peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \sin 60^{\circ} &= \frac{|BA|}{|AC|} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos 60^{\circ} &= \frac{|CB|}{|AC|} = \frac{1}{2} \\ \tan 60^{\circ} &= \frac{|BA|}{|CB|} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \\ \cosec 60^{\circ}& = \frac{|AC|}{|BA|} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3} \\ \sec 60^{\circ} & = \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{2}{1} = 2\\ \cot 60^{\circ} &= \frac{|CB|}{|BA|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt{3}\end{aligned}$$
3. Sudut $45^{\circ}$
Untuk sudut $45^{\circ},$ perhatikan segitiga berikut.
Kemudian, buat segitiga baru berikut berdasarkan segitiga sebelumnya.
Dari sini, dengan argumen sama seperti sebelumnya, dapat diasumsikan bahwa panjang $AB$ adalah 2 satuan. Selain itu, berdasarkan karakteristik dari persegi, diperoleh bahwa panjang $BC$ akan sama dengan panjang dari $AB$ (yang masing-masing merupakan sisi dari persegi $ABCB’.$ Argumen lain yang dapat digunakan adalah bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga sama kaki karena ada dua sudut yang besarnya sama sehingga mengakibatkan bahwa panjang $AB$ sama dengan panjang $BC.$ Kemudian, dengan teorema Phytagoras, diperoleh bahwa $$|AC |^2=|AB|^2+|BC|^2=2^2+2^2=8 \Rightarrow |AC|=2\sqrt{2}$$
Oleh karena itu, diperoleh nilai-nilai perbandingan trigonometri berikut.
$$\begin{aligned} \sin 45^{\circ} & = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ cos 45^{\circ} & = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}\\ \tan 45^{\circ} &= \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{2}{2} = 1 \\ \cosec 45^{\circ} &= \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \\ \sec 45^{\circ} &= \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \\ \cot 45^{\circ}& = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{2}{2} = 1 \end{aligned}$$
Khusus untuk sinus, cosinus dan tangen (karena lebih sering dipakai), berikut ini adalah nilainya atas sudut-sudut istimewa.
Demikian pembahasan kali ini mengenai perbandingan trigonometri dan sifat-sifatnya. Postingan ini adalah termasuk dalam topik Trigonometri dan jika Anda tertarik dengan tentang materi lainnya tentang kategori tersebut, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
