Pembahasan Soal ONMIPA 2023 Matematika Analaisis Kompleks Tingkat Wilayah

Last Updated on September 20, 2024 by prooffic

Postingan kali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2023 Matematika Analaisis Kompleks Tingkat Wilayah. Pembahasan berikut mencakup materi tentang transformasi fraksional, bidang kompleks, dan fungsi trigonometri.

**Selamat Menikmati**

Bagian Isian

Soal 1

Banyak bilangan kompleks tak real $z$ yang memenuhi $$|z-20|+|z-23|=3 $$adalah …

Jawab:

Cara I:

Misalkan persamaan

$$|z-z_0|+|z-z_1| = z_2.$$

Maka,

1. persamaan tersebut membentuk ellips jika $|z_0 – z_1| > z_2$,
2. persamaan tersebut membentuk ruas garis $z_0$ ke $z_1$ jika $|z_0 – z_1| = z_2$,
3. persamaan tersebut membentuk hiperbola jika $|z_0 – z_1| < z_2$.

Pada soal tersebut, diperoleh bahwa $|z_0 – z_1| = |20 – 23| = 3 = |z_2|$ yang berakibat bahwa  $|z-20|+|z-23|=3 $ membentuk ruas garis lurus dari $z_0=20$ ke $z_1 = 23$. Karena tidak ada bilangan kompleks tak real pada ruas garis lurus tersebut, maka banyak bilangan kompleks tak real $z$ yang memenuhi $$|z-20|+|z-23|=3 $$adalah 0.

Baca Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA 2023
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA 2022
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Analisis Kompleks 

Cara II:

Misalkan $z_1=20$ dan $z_2 = 23$. Perhatikan gambar pada bidang kompleks berikut.

Misalkan $z$ adalah  adalah titik pada ruas garis yang menghubungkan $z_1$ dan $z_2.$ Maka, dapat dilihat bahwa $$|z-z_1|+|z-z_2| = 3. $$

Kemudian, misalkan $z’$ adalah titik yang tidak terletak pada ruas garis yang menghubungkan $z_1=20$ dan $z_2 = 23$. Maka, dengan sifat segitiga, diperoleh $$|z_1 – z’| + |z’-z_2| > |z_1 – z_2| $$sehingga $z’$ tidak memenuhi $|z-z_1|+|z-z_2| = 3. $

Oleh karena itu, $|z-z_1|+|z-z_2| = 3$ adalah ruas garis yang menghubungkan $z_1$ dan $z_2$. Karena tidak ada bilangan kompleks tak real pada ruas garis tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa banyak bilangan kompleks tak real $z$ yang memenuhi $$|z-20|+|z-23|=3 $$adalah 0 ♥

Soal 2

Nilai $m$ agar fungsi kompleks $$f(z) = \frac{z-2023}{1-3z} $$memetakan lingkaran $|z-3| = m$ menjadi garis lurus adalah …

Jawab:

Perlu diingat kembali bahwa translasi dan dilasi terhadap lingkaran atau garis lurus akan menghasilkan lingaran atau garis lurus juga (lingkaran $\to$ lingkaran dan garis lurus $\to$ garis lurus). Oleh karena itu, hanya perlu mengecek untuk transformasi yang berbentuk $z \mapsto \frac1z$.

Perhatikan bahwa $$f(z) = \frac{z-2023}{1-3z} = \frac{z-\frac13}{1-3z} + \frac{\frac13-2023}{1-3z} = – \frac13 + \frac{\frac13-2023}{1-3z}. $$Akan dicek untuk transformasi $$z \mapsto \frac{1}{1-3z}.$$

Misalkan $$g(z) = \frac{1}{1-3z} = u + i v $$dengan $u$ dan $v$ adalah fungsi atas $z = x+iy.$ Dari sini, $$\begin{aligned}u + i v & = \frac{1}{1-3z} \\ & = \frac{1}{1-3(x+iy)} \\ & = \frac{1}{(1-3x) – 3yi} \frac{(1-3x) + 3yi}{(1-3x) + 3yi} \\ & = \frac{(1-3x) + 3yi}{(1-3x)^2 + 9y^2} \end{aligned}$$yang berakibat bahwa $$u = \frac{(1-3x)}{(1-3x)^2 + 9y^2} $$dan $$v = \frac{3y}{(1-3x)^2 + 9y^2}. $$

Kemudian, karena hasil pemetaannya menjadi garis lurus, maka $u$ dan $v$ memenuhi persamaan garis lurus $$u + Av = B$$ dengan $A$ dan $B$ adalah konstanta real tertentu. Substitusi nilai $u$ dan $v$ yang telah diperoleh sebelumnya ke persamaan tersebut sehingga diperoleh $$\begin{aligned} u + A v & = B \\  \frac{(1-3x)}{(1-3x)^2 + 9y^2}  + A \frac{3y}{(1-3x)^2 + 9y^2} & = B \\ (1-3x) + A (3y) & = B (1-6x + 9x^2) + 9y^2 B \\ 9B x^2 + 9By^2 + (3 – 6B) x -3Ay + B -1 & = 0 \\ x^2 + y^2 + \frac{1-2B}{3B} x – \frac{A}{3B} y +\frac{B-1}{9B} & = 0.  \end{aligned}$$

Karena $z = x+iy$ memenuhi $|z-3| = m$, maka $$\begin{aligned} |z-3| & = m \\ (x-3)^2 + y^2 & = m^2 \\ x^2 + y^2 & = m^2 – 9 + 6x  \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} x^2 + y^2 + \frac{1 – 2B}{3B} x – \frac{A}{3B} y +\frac{B-1}{9B} & = 0 \\ m^2 – 9 + 6x+ \frac{1-2B}{3B} x – \frac{A}{3B} y +\frac{B-1}{9B} & = 0 \end{aligned} $$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}.$

Oleh karena itu, diperoleh tiga hubungan berikut.

1. $m^2 – 9 + \frac{B-1}{9B} = 0$
2. $6+\frac{1 -2B}{3B} = 0$
3. $-\frac{A}{3B} = 0$

Dari sini, diperoleh bahwa $B = – \frac{1}{16}$ sehingga $$m^2 = 9 – \frac{1}{9} + \frac{1}{9B} = \frac{64}{9} $$yang berakibat bahwa $m=\frac83$ ♥

Bagian Uraian 

Soal 1

Misalkan $w\neq 1$ merupakan bilangan kompleks dengan sifat $w^7 = 1.$ Tentukan semua bilangan bulat positif $n$ sehingga $$\sum_{k=1}^n (1+w^k+w^{2k}+w^{3k}+w^{4k}+w^{5k}+w^{6k}) = 2023. $$Berikan penjelasan jawaban saudara.

Jawab.

Misalkan $$S_n = \sum_{k=1}^n (1+w^k+w^{2k}+w^{3k}+w^{4k}+w^{5k}+w^{6k}). $$Perhatikan bahwa jika $w^k \neq 1,$ maka $$1+w^k+w^{2k}+w^{3k}+w^{4k}+w^{5k}+w^{6k} = \frac{w^{7k}-1}{w^k-1}. $$Kemudian, karena $w^7 =1,$ maka $w^k \neq 1$ jika $k$ bukan kelipatan $7$ dan $w^k = 1$ jika $k$ kelipatan $7,$ yaitu ketika $k=7m$ untuk suatu bilangan asli $n$.

Dari sini, jika $k$ adalah bilangan $k$ bukan kelipatan $7$, maka $$1+w^k+w^{2k}+w^{3k}+w^{4k}+w^{5k}+w^{6k} = \frac{w^{7k}-1}{w^k-1} = 0 $$dan $$\sum_{k=1}^n (1+w^k+w^{2k}+w^{3k}+w^{4k}+w^{5k}+w^{6k}) = 0. $$ Dari sini, dapat dilihat bahwa $$\begin{aligned} S_1 &,\cdots, S_6 = 0 \\ S_7 &,\cdots, S_{13} = 7 \\ S_{14}&, \cdots, S_{20} =14 \\ & \vdots  \end{aligned}$$

Berdasarkan pola tersebut, diperoleh $$S_{2023}, \cdots, S_{2029} = 2023. $$Oleh karena itu, bilangan bulat positif $n$ sehingga $$\sum_{k=1}^n (1+w^k+w^{2k}+w^{3k}+w^{4k}+w^{5k}+w^{6k}) = 2023 $$adalah $2023, 2024, 2025, 2026, 2027, 2028$ dan $2029.$

Soal 2

Buktikan $$|\tan (x+iy)| \geq \frac{|e^y – e^{-y}|}{e^y + e^{-y}} $$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}.$

Jawab. 

Perlu diingat kembali bahwa untuk $z = x + iy$ berlaku $$\begin{aligned} \tan z & = \frac{\sin z}{\cos z} \\ & = \frac{\frac{1}{2i} (e^{iz} – e^{-iz})}{\frac12 (e^{iz} + e^{-iz})} \\ & = \frac{e^{i(x+iy)} – e^{-i(x+iy)}}{e^{i(x+iy)} + e^{-i(x+iy)}} \\ & = \frac{e^{ix-y} – e^{-ix+y}}{e^{ix-y} + e^{-ix+y}}. \end{aligned}$$

Kemudian, karena $$|e^{ix-y} – e^{-ix+y}| \geq ||e^{ix-y}| – |e^{-ix+y}|| = |e^{y} – e^{-y}| $$dan $$|e^{ix-y} + e^{-ix+y}| \leq ||e^{ix-y}| + |e^{-ix+y}|| = |e^{y} + e^{-y}|, $$maka $$\begin{aligned} |\tan (x+iy)| & = \left|\frac{e^{ix-y} – e^{-ix+y}}{e^{ix-y} + e^{-ix+y}}\right| \\ & = \frac{|e^{ix-y} – e^{-ix+y}|}{|e^{ix-y} + e^{-ix+y}|} \\ & \geq \frac{|e^{y} – e^{-y}|}{|e^{y} + e^{-y}|}. \end{aligned} $$Jadi, dapat dismpulkan bahwa $$|\tan (x+iy)| \geq \frac{|e^y – e^{-y}|}{e^y + e^{-y}} $$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$ ♥

Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2023 Matematika Analaisis Kompleks Tingkat Wilayah. Jika Anda ingin mempelajari pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda ingin melihat topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.