Postingan kali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2023 Matematika Analaisis Kompleks Tingkat Wilayah. Pembahasan berikut mencakup materi tentang transformasi fraksional, bidang kompleks, dan fungsi trigonometri.
**Selamat Menikmati**
Bagian Isian
Soal 1
Banyak bilangan kompleks tak real $z$ yang memenuhi $$|z-20|+|z-23|=3 $$adalah …
Jawab:
Cara I:
Misalkan persamaan
$$|z-z_0|+|z-z_1| = z_2.$$
Maka,
- persamaan tersebut membentuk ellips jika $|z_0 – z_1| > z_2$,
- persamaan tersebut membentuk ruas garis $z_0$ ke $z_1$ jika $|z_0 – z_1| = z_2$,
- persamaan tersebut membentuk hiperbola jika $|z_0 – z_1| < z_2$.
Pada soal tersebut, diperoleh bahwa $|z_0 – z_1| = |20 – 23| = 3 = |z_2|$ yang berakibat bahwa $|z-20|+|z-23|=3 $ membentuk ruas garis lurus dari $z_0=20$ ke $z_1 = 23$. Karena tidak ada bilangan kompleks tak real pada ruas garis lurus tersebut, maka banyak bilangan kompleks tak real $z$ yang memenuhi $$|z-20|+|z-23|=3 $$adalah 0.
Baca Juga:
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA 2023
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA 2022
Pembahasan Soal ONMIPA/KNMIPA Analisis Kompleks
Cara II:
Misalkan $z_1=20$ dan $z_2 = 23$. Perhatikan gambar pada bidang kompleks berikut.
Misalkan $z$ adalah adalah titik pada ruas garis yang menghubungkan $z_1$ dan $z_2.$ Maka, dapat dilihat bahwa $$|z-z_1|+|z-z_2| = 3. $$
Kemudian, misalkan $z’$ adalah titik yang tidak terletak pada ruas garis yang menghubungkan $z_1=20$ dan $z_2 = 23$. Maka, dengan sifat segitiga, diperoleh $$|z_1 – z’| + |z’-z_2| > |z_1 – z_2| $$sehingga $z’$ tidak memenuhi $|z-z_1|+|z-z_2| = 3. $
Oleh karena itu, $|z-z_1|+|z-z_2| = 3$ adalah ruas garis yang menghubungkan $z_1$ dan $z_2$. Karena tidak ada bilangan kompleks tak real pada ruas garis tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa banyak bilangan kompleks tak real $z$ yang memenuhi $$|z-20|+|z-23|=3 $$adalah 0 ♥
Soal 2
Nilai $m$ agar fungsi kompleks $$f(z) = \frac{z-2023}{1-3z} $$memetakan lingkaran $|z-3| = m$ menjadi garis lurus adalah …
Jawab:
Perlu diingat kembali bahwa translasi dan dilasi terhadap lingkaran atau garis lurus akan menghasilkan lingaran atau garis lurus juga (lingkaran $\to$ lingkaran dan garis lurus $\to$ garis lurus). Oleh karena itu, hanya perlu mengecek untuk transformasi yang berbentuk $z \mapsto \frac1z$.
Perhatikan bahwa $$f(z) = \frac{z-2023}{1-3z} = \frac{z-\frac13}{1-3z} + \frac{\frac13-2023}{1-3z} = – \frac13 + \frac{\frac13-2023}{1-3z}. $$Akan dicek untuk transformasi $$z \mapsto \frac{1}{1-3z}.$$
Misalkan $$g(z) = \frac{1}{1-3z} = u + i v $$dengan $u$ dan $v$ adalah fungsi atas $z = x+iy.$ Dari sini, $$\begin{aligned}u + i v & = \frac{1}{1-3z} \\ & = \frac{1}{1-3(x+iy)} \\ & = \frac{1}{(1-3x) – 3yi} \frac{(1-3x) + 3yi}{(1-3x) + 3yi} \\ & = \frac{(1-3x) + 3yi}{(1-3x)^2 + 9y^2} \end{aligned}$$yang berakibat bahwa $$u = \frac{(1-3x)}{(1-3x)^2 + 9y^2} $$dan $$v = \frac{3y}{(1-3x)^2 + 9y^2}. $$
Kemudian, karena hasil pemetaannya menjadi garis lurus, maka $u$ dan $v$ memenuhi persamaan garis lurus $$u + Av = B$$ dengan $A$ dan $B$ adalah konstanta real tertentu. Substitusi nilai $u$ dan $v$ yang telah diperoleh sebelumnya ke persamaan tersebut sehingga diperoleh $$\begin{aligned} u + A v & = B \\ \frac{(1-3x)}{(1-3x)^2 + 9y^2} + A \frac{3y}{(1-3x)^2 + 9y^2} & = B \\ (1-3x) + A (3y) & = B (1-6x + 9x^2) + 9y^2 B \\ 9B x^2 + 9By^2 + (3 – 6B) x -3Ay + B -1 & = 0 \\ x^2 + y^2 + \frac{1-2B}{3B} x – \frac{A}{3B} y +\frac{B-1}{9B} & = 0. \end{aligned}$$
Karena $z = x+iy$ memenuhi $|z-3| = m$, maka $$\begin{aligned} |z-3| & = m \\ (x-3)^2 + y^2 & = m^2 \\ x^2 + y^2 & = m^2 – 9 + 6x \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$\begin{aligned} x^2 + y^2 + \frac{1 – 2B}{3B} x – \frac{A}{3B} y +\frac{B-1}{9B} & = 0 \\ m^2 – 9 + 6x+ \frac{1-2B}{3B} x – \frac{A}{3B} y +\frac{B-1}{9B} & = 0 \end{aligned} $$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}.$
Oleh karena itu, diperoleh tiga hubungan berikut.
- $m^2 – 9 + \frac{B-1}{9B} = 0$
- $6+\frac{1 -2B}{3B} = 0$
- $-\frac{A}{3B} = 0$
Dari sini, diperoleh bahwa $B = – \frac{1}{16}$ sehingga $$m^2 = 9 – \frac{1}{9} + \frac{1}{9B} = \frac{64}{9} $$yang berakibat bahwa $m=\frac83$ ♥
Bagian Uraian
Soal 1
Buktikan $$|\tan (x+iy)| \geq \frac{|e^y – e^{-y}|}{e^y + e^{-y}} $$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}.$
Jawab.
Perlu diingat kembali bahwa untuk $z = x + iy$ berlaku $$\begin{aligned} \tan z & = \frac{\sin z}{\cos z} \\ & = \frac{\frac{1}{2i} (e^{iz} – e^{-iz})}{\frac12 (e^{iz} + e^{-iz})} \\ & = \frac{e^{i(x+iy)} – e^{-i(x+iy)}}{e^{i(x+iy)} + e^{-i(x+iy)}} \\ & = \frac{e^{ix-y} – e^{-ix+y}}{e^{ix-y} + e^{-ix+y}}. \end{aligned}$$
Kemudian, karena $$|e^{ix-y} – e^{-ix+y}| \geq ||e^{ix-y}| – |e^{-ix+y}|| = |e^{y} – e^{-y}| $$dan $$|e^{ix-y} + e^{-ix+y}| \leq ||e^{ix-y}| + |e^{-ix+y}|| = |e^{y} + e^{-y}|, $$maka $$\begin{aligned} |\tan (x+iy)| & = \left|\frac{e^{ix-y} – e^{-ix+y}}{e^{ix-y} + e^{-ix+y}}\right| \\ & = \frac{|e^{ix-y} – e^{-ix+y}|}{|e^{ix-y} + e^{-ix+y}|} \\ & \geq \frac{|e^{y} – e^{-y}|}{|e^{y} + e^{-y}|}. \end{aligned} $$Jadi, dapat dismpulkan bahwa $$|\tan (x+iy)| \geq \frac{|e^y – e^{-y}|}{e^y + e^{-y}} $$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$ ♥
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal ONMIPA 2023 Matematika Analaisis Kompleks Tingkat Wilayah. Jika Anda ingin mempelajari pembahasan soal ONMIPA/KNMIPA lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda ingin melihat topik/materi lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
