Pembahasan Soal Analisis Real Bagian 6.1: Turunan

Last Updated on September 10, 2023 by prooffic

Postingan kali ini akan membahas tentang pembahasan soal Analisis Real bagian 6.1 Turunan. Bagian 6.1 pada buku “Introduction to Real Analysis” oleh Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert berfokus pada definisi dari Turunan dan beberapa sifat-sifat dasar turunan seperti sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, aturan rantai, dan sebagainya.

Berikut ini adalah pembahasan soal Analisis Real bagian 6.1 Turunan.

Soal 1

Gunakan definisi turunan pada setiap fungsi berikut.

1.  $f(x) := x^3, x \in \mathbb{R}$
2. $g(x) := 1/x, x \in \mathbb{R}, x \neq 0$
3. $h(x) := \sqrt{x}, x>0$
4. $k(x) := 1/\sqrt{x}, x>0$

Jawab. Berdasarkan defnisi turunan, turunan dari fungsi $f$ pada titik $c$ adalah $$f'(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x) – f(c)}{x-c}$$Kita akan menggunakan definisi dalam menentukan turunan dari fungsi-fungsi tersebut pada domainnya masing-masing.

1. Turunan fungsi $f$ adalah $$ \begin{aligned} f'(c) & = \lim_{x \to c} \frac{f(x) – f(c)}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{x^3 – c^3}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{(x-c)(x^2+xc+c^2)}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} (x^2 + xc + c^2) \\ & = c^2 + c \cdot + c^2 \\ & = 3c^2.   \end{aligned} $$Oleh karena itu, turunan $f$ adalah $$f'(x) = 3x^2$$ untuk $x \in \mathbb{R}.$
2. Turunan fungsi $g$ di $c \in\mathbb{R}$ tak nol adalah $$ \begin{aligned} g'(c) & = \lim_{x \to c} \frac{g(x) – g(c)}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{\frac1x – \frac1c}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{\frac{c-x}{xc}}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{- \frac{x-c}{xc}}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} -\frac{1}{xc} \\ & = -\frac{1}{c^2}.   \end{aligned} $$Oleh karena itu, turunan $g$ adalah $$g'(x) = -\frac{1}{x^2}$$ untuk $x \in \mathbb{R},$ $x\neq 0$.
3. Turunan fungsi $h$ di $c > 0$ adalah $$ \begin{aligned} h'(c) & = \lim_{x \to c} \frac{h(x) – h(c)}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{\sqrt{x} – \sqrt{c}}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{\sqrt{x} – \sqrt{c}}{x-c} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{c}}{\sqrt{x} + \sqrt{c}} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{x-c}{(x-c)(\sqrt{x}+\sqrt{c})} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{c}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{c}} \\ & = \frac{1}{2\sqrt{c}}.   \end{aligned} $$Oleh karena itu, turunan $h$ adalah $$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ untuk $x > 0.$
4. Turunan fungsi $k$ di $c > 0$ adalah $$ \begin{aligned} k'(c) & = \lim_{x \to c} \frac{k(x) – k(c)}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{\sqrt{c}}}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \frac{\frac{\sqrt{c} – \sqrt{x}}{\sqrt{xc}}}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} -\frac{\sqrt{x} – \sqrt{c}}{(x-c)\sqrt{xc}} \\ & = \lim_{x \to c} -\frac{\sqrt{x} – \sqrt{c}}{(x-c)\sqrt{xc}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{c}}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} \\ & = \lim_{x \to c} – \frac{x-c}{(x-c)\sqrt{xc} (\sqrt{x} + \sqrt{c})} \\ & = \lim_{x \to c} -\frac{1}{\sqrt{xc} (\sqrt{x} + \sqrt{c})} \\ & = -\frac{1}{\sqrt{c^2} (\sqrt{c} + \sqrt{c})} \\ & = -\frac{1}{c^2 \cdot 2\sqrt{c}} \\ & = – \frac{1}{2c\sqrt{c}}. \end{aligned} $$Oleh karena itu, turunan $k$ adalah $$k'(x) = – \frac{1}{2x\sqrt{x}}$$ untuk $x > 0.$

Soal 2

Tunjukkan bahwa $f(x) := x^{\frac13}, x \in \mathbb{R},$ tidak terdiferensialkan di $x = 0.$

Jawab. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{f(x) – f(0)}{ x – 0} & = \lim_{x \to 0} \frac{x^{\frac13 – 0}}{x – 0} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{x^\frac13}{x} \\  & = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^\frac23}\end{aligned}. $$Karena limit tersebut tidak ada, maka $f$ tidak terdirensialkan di $x = 0$ ♥

Soal 3

Buktikan Teorema 6.1.3 (a), (b).

Jawab. Terlebih dahulu akan ditunjukkan teorema 6.1.3 (a). Asumsikan bahwa $f$ terdefinisi pada $I$ dan terdiferensialkan di $c \in I$ dengan $I$ adalah interval dan misalkan $\alpha \in \mathbb{R}.$ Maka, $$f'(c) = \lim_{x \to c} \frac{f(x) – f(c)}{x-c}.$$

Dari sini, $$ \begin{aligned} \lim_{x \to c} \frac{(\alpha f) (x) – (\alpha f)(c) }{x-c} & = \lim_{x \to c} \frac{\alpha f(x) – \alpha f(c)}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \alpha \frac{f(x) – f(c)}{x-c} \\ & = \alpha \lim_{x \to c} \frac{f(x) – f(c)}{x-c} \\ & = \alpha f'(c). \end{aligned}$$Oleh karena itu, $\alpha f$ terdiferensialkan di $c$ dengan $$(\alpha f)'(c) = \alpha f'(c).$$

Selanjutnya, akan ditunjukkan Teorema 6.1.3 (b). Asumsikan bahwa $f$ dan $g$ terdefinisi pada $I$ dan terdiferensialkan di $c \in I$ dengan $I$ adalah interval. Maka, $$f'(c) = \lim_{x \to c} \frac{f(x) – f(c)}{x-c} $$dan $$g'(c) = \lim_{x \to c} \frac{g(x) – g(c)}{x-c}.$$

Dari sini, $$ \begin{aligned} \lim_{x \to c} \frac{(f+g)(x) – (f+g)(c)}{x-c} & = \lim_{c \to c} \frac{ \left( f(x) + g(x) \right) – \left( f(x) + g(x) \right) }{x – c} \\ & = \lim_{c \to c} \frac{ \left( f(x) – f(c) \right) + \left( g(x) – g(c) \right) }{x – c} \\ & = \lim_{c \to c} \frac{ f(x) – f(c)  }{x – c} + \lim_{c \to c} \frac{ g(x) – g(c) }{x – c}\\ & = f'(c) + g'(c). \end{aligned} $$Oleh karena itu, $f+g$ terdirensialkan di $c$ dengan $(f+g)'(c) = f'(c) + g'(c)$ ♥

Soal 4

Misalkan $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ didefinisikan dengan $f(x) := x^2$ untuk $x$ rasional, $f(x) := 0$ untuk $x$ irasional. Tunjukkan bahwa $f$ terdiferensialkan di $x=0$ dan tentukan $f'(0).$

Jawab. Perhatikan bahwa $$ \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = \frac{f(x)}{x}. $$Kemudian, untuk $x$ rasional, $$\frac{f(x)}{x} = \frac{x^2}{x} = x $$dan untuk $x$ irasional, $$\frac{f(x)}{x} = \frac{0}{x} = 0. $$Dari sini, $$\frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = \begin{dcases} x & x \in Q \\ 0 & x \in \mathbb{R} \setminus Q \end{dcases}$$

Akan ditunjukkan $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = 0. $$Perhatikan bahwa berdasarkan kesamaan terakhir, diperoleh bahwa $$\left| \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \right| = \left| \frac{f(x)}{x} \right| \leq |x|.$$

Karena $\lim_{x \to 0} |x| = 0,$ maka berdasarkan teorema apit diperoleh bahwa $$ \lim_{x \to 0} \left| \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \right| = 0 $$yang berakibat bahwa $$\lim_{x \to c} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = 0. $$Hal tersebut membuktikan bahwa $f$ terdiferensialkan di $x = 0$ dengan $f'(0) = 0$ ♥

Demikian postingan kali ini tentang pembahasan soal Analisis Real bagian 6.1 Turunan. Postingan ini adalah tentang pembahasan soal Analisis Real pada buku “Introduction to Real Analysis” oleh Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert. Jika Anda tertarik dengan postingan lainnya tentang Pembahasan Soal Analisis Real, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan postingan pada topik lainnya, silahkan ke sini.

Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.