Teorema-teorema Limit Barisan

Last Updated on Agustus 10, 2025 by prooffic

Postingan kali ini akan membahas tentang teorema-teorema limit barisan. Teorema-teorema tersebut fokus pada sifat limit terkait dengan ketaksamaan, nilai mutlak, dan akar dari barisan. Terdapat 3 teorema utama pada pembahasan ini, yaitu teorema apit, teorema nilai mutlak, dan teorema akar barisan. Anda perlu mengingat teorema berikut terutama ketika kita akan membuktikan teorema apit.

Teorema: Misalkan $(a_n)$ adalah barisan bilangan real dan $a \in \mathbb{R}$. Jika terdapat barisan bilangan real $(c_n)$ dan $C>0$ sedemikian sehingga $$|a_n – a| \leq C |c_n|, \quad n\in\mathbb{N}, $$maka $\lim a_n = a$.

**Selamat menikmati**

Teorema tentang Ketaksamaan dan Teorema Apit

Sebelum membahas tentang teorema apit, terlebih dahulu dibahas beberapa teorema awal sebagai berikut.

Teorema 1

Jika $X=(x_n)$ adalah barisan bilangan real yang konvergen dan $$x_n \geq 0, \quad n\in\mathbb{N}, $$then $$x=\lim x_n \geq 0.$$

Bukti. Terlebih dahulu asumsikan bahwa $X=(x_n)$ adalah barisan bilangan real yang konvergen $x$ dan $x_n \geq 0$ untuk setiap $ n\in\mathbb{N}.$ Kita akan menunjukkan bahwa $x\geq 0$ dengan menggunakan teknik pembuktian kontradiksi.

Untuk itu, andaikan bahwa $x<0$. Maka, kita dapat memilih $\varepsilon = -x > 0$. Karena $x_n \to x$, maka terdapat $K\in\mathbb{N}$ sedemikian sehingga untuk setiap $n\geq K$, berlaku $$|x_n – x| < \varepsilon = -x. $$Dengan menggunakan sifat nilai mutlak, diperoleh $$|x_n – x| < \varepsilon = -x \iff x = -(-x) < x_n – x < -x  $$untuk $n\geq K$ sehingga $$x_n < 0 $$untuk $n \geq K$.

Hal tersebut bertentangan dengan asumsi sebelumnya bahwa $x_n \geq 0$ untuk setiap $ n\in\mathbb{N}.$ . Akibatnya, pengandaian salah dan haruslah $x\geq  0$ ♦

Teorema 2

Jika $X=(x_n)$ dan $Y=(y_n)$ adalah barisan bilangan real yang konvergen dan $$ x_n\leq y_n, \quad n\in\mathbb{N}, $$maka $$\lim x_n \leq \lim y_n.$$

Bukti. Misalkan barisan $Z=(z_n)$ dengan $$z_n = y_n-x_n, \quad n\in\mathbb{N}. $$Karena $x_n\leq y_n$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$, maka $$ z_n=y_n-x_n \geq 0, \quad n\in\mathbb{N}. $$Berdasarkan teorema 1, maka haruslah $$\lim z_n \geq 0.$$

Kemudian, karena $X=(x_n)$ dan $Y=(y_n)$ adalah barisan bilangan real yang konvergen, maka berdasarkan teorema penjumlahan dua barisan konvergen, diperoleh $$0 \leq \lim z_n = \lim y_n – \lim x_n $$yang berakibat bahwa $\lim x_n\leq \lim y_n$ ♦

Teorema 3

Jika $X=(x_n)$ adalah barisan bilangan real yang konvergen dengan $$a\leq x_n \leq b, \quad n \in\mathbb{N}, $$maka $$a\leq \lim x_n \leq b.$$

Bukti. Misalkan barisan $Y=(y_n)$ dengan $y_n=a$, maka $\lim y_n =a$ dan $y_n\leq x_n$ untuk setiap bilangan asli $n$. Berdasarkan teorema sebelumnya, $$a = \lim y_n \leq \lim x_n.$$

Di lain pihak, misalkan $Z=(z_n)$ dengan $z_n=b$. Maka, $\lim z_n =b$ dan $x_n\leq z_n$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$. Dengan menerapkan kembali teorema sebelumnya, diperoleh $$ \lim x_n \leq \lim z_n = b. $$Secara keseluruhan, diperoleh $a\leq \lim x_n \leq b.$

Teorema Apit

Misalkan barisan-barisan bilangan real $X=(x_n), Y=(y_n), Z=(z_n)$ sedemikian sehingga $$x_n\leq y_n \leq z_n, \quad n\in\mathbb{N} $$dan $\lim x_n = \lim z_n$. Maka, $Y$ konvergen dan $$\lim x_n = \lim y_n = \lim z_n.$$

Bukti. (Alternatif 1) Misalkan $w = \lim x_n=\lim z_n$. Diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Karena $\lim x_n=w$, maka terdapat $K_1\in\mathbb{N}$ sedemikian sehingga untuk $n\geq K_1$ berlaku $$|x_n – w| <\varepsilon $$yang berakibat $$-\varepsilon<x_n – w <\varepsilon.$$

Karena $\lim z_n=w$, maka terdapat $K_2\in\mathbb{N}$ sedemikian sehingga untuk $n\geq K_1$ berlaku $$ |z_n – w| <\varepsilon $$yang berakibat $$-\varepsilon<z_n – w <\varepsilon.$$

Perhatikan bahwa $$x_n – w \leq y_n – w \leq z_n – w.$$ Pilih $K=\max \{K_1, K-2\}.$ Maka, untuk $n\geq K$, berlaku $$-\varepsilon<x_n – w \leq y_n – w \leq z_n – w < \varepsilon $$dan $$-\varepsilon< y_n – w < \varepsilon $$yang berakibat $$|y_n-w| < \varepsilon $$untuk $n\geq K$. Jadi, $Y$ konvergen dan $\lim x_n = \lim y_n = \lim z_n$ ♦

(Alternatif 2) Karena $x_n\leq y_n \leq z_n$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$, maka dengan mengurangkan masing-masing sisi ruas dengan $x_n$, diperoleh $$0 \leq y_n – x_n \leq z_n – x_n. $$Perhatikan bahwa $$\lim (z_n – x_n) = \lim z_n – \lim x_n = w – w =0. $$Maka, dengan teorema yang ditampilkan di awal postingan, diperoleh bahwa $$\lim (y_n – x_n) = 0.$$

Kemudian, $$y_n = (y_n – x_n) + x_n. $$Karena  $(y_n – x_n) \to 0$ dan $x_n \to w$, maka $\lim y_n = w = \lim x_n = \lim z_n.$♦

Contoh Penerapan Teorema Apit

Contoh 1. Misalkan barisan $(x_n)$ dengan $x_n = \frac1n \sin n$. Perhatikan bahwa $$-1 \leq \sin n \leq 1 $$untuk setiap bilangan asli $n$. Dari sini, dengan mengalikan masing-masing ruas dengan $1/n$ diperoleh $$-\frac1n \leq \frac1n \sin n \leq \frac1n.$$

Karena $-1/n$ dan $1/n$ konvergen ke $0$, maka dengan teorema apit diperoleh bahwa $\frac1n \sin n$ juga konvergen ke nol. Jadi, $\lim \frac1n \sin n = 0$.

Contoh 2. Misalkan barisan $(x_n)$ dengan $x_n = n \sin^2 \frac1n$. Perhatikan bahwa $$ 0 \leq \sin^2 \frac1n \leq \frac1{n^2} $$untuk setiap bilangan asli $n$ dengan menggunakan sifat fungsi $\sin x \leq x$ untuk $x>0$. Dari sini, dengan mengalikan masing-masing ruas dengan $n$ diperoleh $$0 \leq n \sin^2 \frac1n \leq \frac1n.$$

Karena $0$ dan $1/n$ konvergen ke $0$, maka dengan teorema apit diperoleh bahwa $n \sin^2 \frac1{n^2}$ juga konvergen ke nol. Jadi, $\lim n \sin^2 \frac1n = 0$.

Teorema Nilai Mutlak Barisan

Berikut ini adalah teorema tentang kekonvergenan dari barisan baru yang diperoleh dengan mengambil nilai mutlak dari barisan sebelumnya.

Teorema Nilai Mutlak Barisan

Jika $(x_n)$ adalah barisan bilangan real  yang konvergen ke $x,$ maka barisan $(|x_n|)$ konvergen $|x|.$

Bukti. Diberikan sebarang $\varepsilon>0$. Karena $x_n \to x$, maka terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $$|x_n – x| < \varepsilon $$untuk $n \geq K$. Berdasarkan sifat nilai mutlak, diperoleh bahwa $$\left| |x_n| – |x| \right| \leq |x_n – x| < \varepsilon $$untuk $n \geq K.$ Oleh karena itu, $\lim |x_n| = |x|$ ♦

Contoh penerapan

Contoh 1. Misalkan barisan $(x_n)$ dengan $$x_n = -1 + n \sin^2 \frac1n. $$Perhatikan bahwa karena barisan $\left( n \sin^2 \frac1n \right)$ konvergen ke $0$, maka $x_n \ to -1$. Dari sini, $$\lim |x_n| = \lim \left| -1 + n \sin^2 \frac1n \right| = |-1 + 0| = 1$$

Contoh 2. Misalkan barisan $(x_n)$ dengan $$x_n = \frac{-n^2+2n}{n^2+1}. $$Perhatikan bahwa karena barisan $\left( \frac{-n^2+2n}{n^2+1} \right)$ konvergen ke $-1$, maka $$\lim |x_n| = \lim \left| \frac{-n^2+2n}{n^2+1} \right| = |-1 | = 1$$

Teorema Akar Kuadrat Barisan

Ada kalanya kita menemukan barisan yang memuat akar kuadrat seperti barisan $(x_n)$ dengan $$x_n = \sqrt{ \frac{n^2+2n}{n^2+1}}. $$Bagaimana cara menentukannya? Berikut adalah teorema kekonvergenan untuk akar kuadrat barisan.

Teorema Kekonvergenan Akar Kuadrat Barisan

Jika  $x_n \geq 0$ untuk setiap bilangan asli $n$ dan $x_n \to x$, maka $\sqrt{x_n} \to \sqrt{x}$

Bukti. Karena $x_n \geq 0$ untuk setiap bilangan asli $n$ dan $x_n \to x$, maka haruslah $x \geq 0$. Akan ditinjau dua kasus, yaitu $x>0$ dan $x=0$.

1. $x>0$. Diberikan sebarang $\varepsilon > 0$. Karena $x_n \to x$, maka terdapat $K \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $$ |x_n – x| < \varepsilon \sqrt{x} $$untuk $n \geq K$. Dari sini, diperoleh bahwa $$\begin{aligned} |\sqrt{x_n} – \sqrt{x}| & = \left| (\sqrt{x_n} – \sqrt{x}) \frac{\sqrt{x_n} + \sqrt{x}}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x}} \right| \\ & = \left| \frac{x_n – x}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x}}  \right| \\ & \leq \left| \frac{x_n – x}{ \sqrt{x}} \right| \\ & < \frac{\varepsilon \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \varepsilon \end{aligned} $$untuk $n \geq K.$ Jadi, $\sqrt{x_n} \to \sqrt{x}$.
2. $x=0$. Diberikan sebarang $\varepsilon > 0$. Karena $x_n \to x = 0$, maka terdapat $K \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $$ |x_n | = x_n < \varepsilon^2 $$untuk $n \geq K$. Dari sini, diperoleh bahwa $$|\sqrt{x_n}| = \sqrt{x_n} < \sqrt{\varepsilon^2} = \varepsilon $$untuk $n \geq K.$ Jadi, $\sqrt{x_n} \to 0$.

Berdasarkan kedua kasus tersebut, dapat disimpulkan bahwa $\sqrt{x_n} \to \sqrt{x}$ ♦

Contoh Penerapan

Contoh 1. Misalkan barisan $(x_n)$ dengan $$x_n = \left| -1 + n \sin^2 \frac1n \right|. $$Karena $$\lim x_n = \lim \left| \frac{-n^2+2n}{n^2+1} \right| = 1, $$maka $$\lim \sqrt{x_n} = \lim \sqrt{\left| \frac{-n^2+2n}{n^2+1} \right|} = \sqrt{|-1 |} = 1$$

Contoh 2. Misalkan barisan $(x_n)$ dengan $$x_n = \left| \frac{-2n^2+2n}{n^2+1} \right|. $$Karena $$\lim x_n = \lim \left| \frac{-2n^2+2n}{n^2+1} \right| = 2, $$maka $$\lim \sqrt{x_n} = \lim \sqrt{ \left| \frac{-2n^2+2n}{n^2+1} \right|} = \sqrt{2}$$

Setelah Anda mempelajari materi ini, Anda sebaiknya berlatih soal-soal yang berkaitan. Soal-soal dan pembahasan untuk teorema-teorema limit barisan dapat dilihat dan dipelajari pada link ini.

Demikian postingan kali ini tentang teorema-teorema limit barisan. Postingan ini termasuk dalam topik analisis real. Jika Anda tertarik lebih lanjut tentang analisis real, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga bermanfaat.