Last Updated on Januari 7, 2023 by prooffic
Postingan kali ini akan menyajikan tentang Pembahasan Soal Analisis Real 3.2 terkait dengan Teorema-teorema Limit. Soal-soal yang disajikan dalam postingan ini adalah soal yang diambil dari buku Introduction to Real Analysis oleh Bartle dan Sherbert. Teorema-teorema yang dimaksud pada Pembahasan Soal Analisis Real 3.2 adalah sifat linear dari kekonvergenan barisan, hubungan kekonvergenan dengan nilai mutlak serta hubungan kekonvergenan dengan akar kuadrat dan berbagai teorema dasar lainnya seperti teorema apit untuk barisan.
**Selamat menikmati**
Berikut ini adalah Pembahasan Soal Analisis Real 3.2.
Soal 1
Untuk masing-masing $x_n$ yang diberikan oleh rumus-rumus berikut, bangun apakah barisan $(x_n)$ konvergen atau divergen
(a). $x_n := \frac{n}{n+1}$
(b). $x_n := \frac{(-1)^n n}{n+1}$
(c). $x_n := \frac{n^2}{n+1}$
(d). $x_n := \frac{2n^2+3}{n^2+1}$
Jawab:
(a). Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n, $ kita punya $$\begin{aligned} x_n &= \frac{n}{n+1}\\ &= 1 – \frac{1}{n+1} \end{aligned} $$Karena $(1/(n+1))$ konvergen ke $1,$ maka kita peroleh bahwa $(x_n)$ akan konvergen ke $1,$ yaitu $$\begin{aligned} \lim x_n &= \lim \frac{n}{n+1}\\ &= 1 – \lim \frac{1}{n+1} \end{aligned} $$
(b). Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n, $ kita punya $$\begin{aligned} x_n &= \frac{(-1)^n n}{n+1}\\ &= (-1)^n – \frac{(-1)^n}{n+1} \end{aligned} $$Karena $((-1)^n / (n+1))$ konvergen ke $0,$ tetapi barisan $((-1)^n)$ tidak konvergen, maka kita simpulkan bahwa $(x_n)$ tidak konvergen.
(c). Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n, $ kita punya $$\begin{aligned} x_n &= \frac{n^2}{n+1}\\ &= \frac{n^2 – 1+1}{n+1}\\&= n-1 – \frac{1}{n+1} \end{aligned} $$Karena barisan $(1/(n+1))$ konvergen ke $0,$ tetapi barisan $(n-1)$ tidak konvergen, maka kita simpulkan bahwa barisan $(x_n)$ tidak konvergen.
(d). Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n, $ kita punya $$\begin{aligned} x_n &= \frac{2n^2+3}{n^2+1}\\ &= \frac{2n^2+2+1}{n^2 + 1}\\&= 2 + \frac{1}{n^2+1} \end{aligned} $$Karena barisan $(1/(n^2+1))$ konvergen ke $0,$ maka kita simpulkan bahwa $(x_n)$ konvergen ke $2,$ yaitu $$\begin{aligned} \lim x_n &= \lim \left( \frac{2n^2+3}{n^2+1} \right)\\ &= \lim \left( 2 + \frac{1}{n^2+1} \right) \\&= 2+ \lim \left( \frac{1}{n^2+1} \right) \\ &= 2+0=2 \end{aligned}$$
Soal 2
Berikan dua barisan divergen $X$ dan $Y$ sedemikian sehingga
(a). jumlahannya $X+Y$ konvergen
(b). hasil kalinya $XY$ konvergen
Jawab: Misalkan barisan $X=(x_n)$ dan $Y = (y_n)$dengan $x_n = (-1)^n$ dan $y_n = (-1)^{n+1}$ untuk setiap bilangan asli $n.$
(a). Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n,$ $$x_n+y_n = (-1)^n + (-1)^{n+1} = (-1)^n (1+(-1)) = (-1)^n \cdot 0 = 0 $$yang berakibat bahwa $X+Y$ konvergen ke $0.$
(b). Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n, $ $$x_n y_n = (-1)^n (-1)^{n+1} = (-1)^{2n+1} = -1$$ yang berakibat bahwa $XY$ konvergen ke $-1.$
Soal 3
Tunjukkan bahwa jikan $X$ dan $X+Y$ adalah dua barisan sedemikian sehingga $X$ dan $X+Y$ konvergen, maka $Y$ konvergen.
Jawab: Misalkan barisan $X=(x_n)$ dan $Y = (y_n).$ Perhatikan bahwa $$y_n = (x_n + y_n) – x_n \cdots (1)$$untuk setiap bilangan asli $n.$ Karena $(x_n)$ konvergen, maka $(-x_n)$ juga konvergen. Selain itu, dari asumsi bahwa $(x_n+y_n)$ konvergen, maka dari (1) dan bahwa $(-x_n)$ konvergen, diperoleh bahwa barisan $(y_n)$ juga merupakan barisan yang konvergen.
Soal 4
Tunjukkan bahwa jika $X$ dan $Y$ adalah barisan sedemikian sehingga $X$ konvergen ke $x\neq 0$ dan $XY$ konvergen, maka $Y$ konvergen.
Jawab: Misalkan barisan $X=(x_n)$ dan $Y = (y_n).$ Asumsikan bahwa $X$ konvergen ke $x \neq 0$ dan $XY$ konvergen. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan bahwa $x > 0.$ Maka, terdapat bilangan asli $N$ sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $n$ dengan $n \geq N,$ berlaku bahwa $x_n > 0.$ Dari sini, untuk bilangan asli $n$ dengan $n \geq N,$ berlaku bahwa $$y_n = \frac{x_n y_n}{x_n}$$ $y_n$ tersebut terdefinisi dengan baik karena $x_n >0.$ Oleh karena itu, kita punya ekor barisan dari $(y_n),$ yaitu $(y_{n+N-1})$ dengan $$y_n = \frac{x_n y_n}{x_n} $$untuk setiap $n \geq N.$ Dari sini, ekor barisan $(y_{n+N-1})$ konvergen yang berakibat bahwa barisan $(y_n)$ konvergen.
Baca Juga:
Kumpulan pembahasan Soal ONMPA/KNMIPA Analisis Real
Kumpulan pembahasan Soal KNMIPA 2021
Soal 5
Tunjukkan bahwa barisan-barisan berikut adalah barisan yang tidak konvergen.
(a). $(2^n).$
(b). $(-1)^n n^2$
Jawab: Kita akan menunjukkan bahwa barisan-barisan tersebut adalah barisan yang tidak terbatar dan berakibat bahwa barisan tersebut tidak konvergen. Sebelumnya, kita ketahui bahwa sebuah barisan $(x_n)$ tidak terbatas jika untuk setiap bilangan real $M>0,$ terdapat bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $|x_n| > M.$
(a). Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ kita punya $2^n > n.$ Diberikan sebarang bilangan real $M > 0.$ Berdasarkan sifat Archimedes, maka terdapat bilangan asli $n$ sehingga $M < n.$ Dari sini, $2^n>n>M.$ Oleh karena itu, terdapat bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $2^n > M.$ Ini menunjukkan bahwa $(2^n)$ tidak terbatas dan akibatnya barisan tersebut tidak konvergen.
(b). Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ kita punya $n^2 \geq n.$ Diberikan sebarang bilangan real $M>0.$ Berdasarkan sifat Archimedes, maka terdapat bilangan asli $n$ sehingga $M<n.$ Dari sini, $|(-1)^n n^2|= n^2 \geq n >M.$ Oleh karena itu, terdapat bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $|(-1)^n n^2|>M.$ Ini menunjukkan bahwa $((-1)^n n^2)$ tidak terbatas dan akibatnya barisan tersebut tidak konvergen.
Soal 6
Tentukan limit dari barisan-barisan berikut.
(a). $\lim \left( (2+1/n)^2 \right)$
(b). $\lim \left( \frac{(-1)^n}{n+2} \right)$
(c). $\lim \left( \frac{\sqrt{n} – 1}{\sqrt{n}+1} \right)$
(d). $\lim \left( \frac{n+1}{n\sqrt{n}}\right)$
Jawab:
(a). Perhatikan bahwa $$\begin{aligned}\lim \left( (2+1/n)^2 \right) &= (2+ \lim 1/n)^2 \\&= (2+0)^2 \\&= 4 \end{aligned}$$
(b). Perhatikan bahwa $$\frac{(-1)^n}{n+2} = \frac{(-1)^n / n}{ 1 + \frac{2}{n}} $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Karenat $\lim ((-1)^n/n) = 0,$ maka kita punya bahwa $$\begin{aligned}\lim \left( \frac{(-1)^n}{n+2} \right) &= \lim \left( \frac{(-1)^n / n}{1+2/n} \right) \\&= \frac{\lim ((-1)^n/n)}{1+\lim (2/n)} \\&= \frac{0}{1+0} = 0\end{aligned}$$
(c). Perhatikan bahwa $$\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1} = \frac{1-1/\sqrt{n}}{1+1/\sqrt{n}} $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Maka, $$\begin{aligned}\lim \frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1} &= \frac{1-\lim (1/\sqrt{n})}{1+ \lim (1/\sqrt{n})} \\ &= \frac{1-0}{1+0} \\&= 1 \end{aligned}$$
(d). Perhatikan bahwa $$\frac{n+1}{n\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n\sqrt{n}} $$untuk setiap bilangan asli $n.$ Maka, $$\begin{aligned} \lim \left(\frac{n+1}{n\sqrt{n}} \right) &= \lim \left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right) + \lim \left( \frac{1}{n\sqrt{n}} \right) \\ &= 0+0 \\&=0 \end{aligned}$$
Soal 7
Jika $(b_n)$ adalah barisan terbatas dan $\lim (a_n) = 0,$ tunjukkan bahwa $\lim (a_n b_n) = 0.$ Jelaskan kenapa teorema 3.2.3 tidak bisa digunakan.
Jawab: Karena $(b_n)$ adalah barisan terbatas, maka terdapat bilangan real $M>0$ sedemikian sehingga $|b_n| \leq M$ untuk setiap bilangan asli $n.$ Diberikan sebarang $\varepsilon > 0.$ Karena $\lim (a_n) = 0,$ maka terdapat bilangan asli $K$ sedemikian sehingga untuk bilangan asli $n$ dengan $n \geq K,$ berlaku $$|a_n|<\frac{\varepsilon}{1+M} $$Kemudian, untuk bilangan asli $n$ dengan $n \geq K,$ berlaku $$|a_n b_n| \leq |a_n| M < \frac{\varepsilon}{1+M} M < \varepsilon $$Ini membuktikan bahwa $\lim (a_n b_n) = 0.$
Teorema 3.2.3 tidak bisa digunakan karena barisan $(b_n)$ belum tentu merupakan barisan yang konvergen. Contohnya adalah $(a_n)$ dan $(b_n)$ dengan $a_n = (-1)^n$ dan $b_n = \frac{1}{n}$ untuk setiap bilangan asli $n.$
Soal 8
Jelaskan kenapa hasil di persamaan (3) sebelum teorema 3.2.4 tidak bisa digunakan untuk menentukan limit dari barisan $((1+1/n)^n).$
Jawab: Pangkat/eksponen pada barisan $((1+1/n)^n)$ bukan merupakan bilangan asli yang tetap.
Soal 9
Misalkan $y_n := \sqrt{n+1} – \sqrt{n}$ untuk $n \in \mathbb{N}.$ Tunjukkan bahwa $(\sqrt{n} y_n)$ konvergen. Tentukan limitnya.
Jawab: Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n,$ berlaku bahwa $$\begin{aligned} \sqrt{n} y_n &= \sqrt{n} (\sqrt{n+1} – \sqrt{n}) \\ &= \sqrt{n^2+n} – \sqrt{n^2} \\ &= \frac{(n^2+n-n^2)}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2}} \\&= \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} \\& = \frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n}}} \end{aligned} $$Dari sini, kita peroleh bahwa $$\begin{aligned} \lim (\sqrt{n} y_n) &= \lim \left( \frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n}}} \right) \\&= \frac{1}{1+\sqrt{1+\lim \frac{1}{n}}} \\&= \frac{1}{1+\sqrt{1+0}} \\&= \frac{1}{2} \end{aligned}$$
Soal 10
Tentukan limit-limit dari barisan-barisan berikut.
(a). $\left( \sqrt{4n^2+n} – 2n\right)$
(b). $\left( \sqrt{n^2+5n} – n\right)$
Jawab:
(a). Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \sqrt{4n^2+n} – 2n &= \frac{(4n^2+n)-(2n)^2}{\sqrt{4n^2+n} + 2n}\\&= \frac{n}{\sqrt{4n^2+n} + 2n} \\&= \frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2} \end{aligned} $$Dari sini, kita punya $$\begin{aligned} \lim (\sqrt{4n^2+n} – 2n) &= \frac{1}{\sqrt{4+\lim \left(\frac{1}{n}\right)}+2} \\&= \frac{1}{\sqrt{4}+2} \\&=\frac{1}{2+2} \\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$$
(b). Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \sqrt{n^2+5n} – n &= \frac{(n^2+5n)-(n)^2}{\sqrt{n^2+5n} + n}\\&= \frac{5n}{\sqrt{n^2+5n} + n} \\&= \frac{5}{\sqrt{1+5\left(\frac{1}{n}\right)}+1} \end{aligned} $$Dari sini, kita punya $$\begin{aligned} \lim (\sqrt{n^2+5n} – n) &= \frac{5}{\sqrt{1+\lim 5 \left(\frac{1}{n}\right)}+1} \\&= \frac{5}{\sqrt{1}+1} \\&=\frac{5}{1+1} \\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$$
Soal 11
Tentukan limit-limit berikut.
(a). $\lim \left( (3\sqrt{n})^{1/2n} \right)$
(b). $\lim \left( (n+1)^{1/ \ln (n+1)} \right)$
Jawab:
(a). Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n,$ kita akan punya bahwa $$\begin{aligned} \left( (3\sqrt{n})^{1/2n} \right) &= 3^{1/2n} \sqrt{n}^{1/2n}\\ &= (\sqrt{n})^{1/n} n^{1/4n} \\ &=(\sqrt{3}^{1/n}) (n^{1/n}) ^{1/4}\end{aligned} $$
Sehingga, $$\begin{aligned}\lim \left( (3\sqrt{n})^{1/2n} \right) &= \lim (\sqrt{3}^{1/n}) \cdot \lim (n^{1/n}) ^{1/4}\\ &= 1\cdot 1 =1 \end{aligned}$$
(b). Misalkan bahwa untuk setiap bilangan asli $n,$ didefinisikan $$x_n = \left( n+1 \right)^{1/ \ln (n+1) } $$Maka, $$\begin{aligned}\ln (x_n) &=\ln (n+1)^{1/ \ln (n+1)} \\&= \frac{1}{\ln (n+1)} \ln (n+1)\\ &=1\end{aligned} $$Sehingga, haruslah $x_n = e$ untuk setiap bilangan asli $n.$ Jadi, $$\lim \left( n+1 \right)^{1/ \ln (n+1) } = \lim x_n = 1$$
Soal 12
Jika $0<a<b,$ tentukan $$\lim \left( \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n + b^n}\right)$$
Jawab: Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n,$ kita punya $$\begin{aligned} \lim \left( \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n + b^n}\right) &= \lim \left( \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n + b^n}\right) \frac{1/b^n}{1/b^n} \\&= \frac{a \cdot (a/b)^n + b}{(a/b)^n + 1} \end{aligned} $$Karena $\lim c^n = 0$ untuk $0<c<1,$ maka haruslah $$\lim \left( \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n + b^n}\right) = \frac{a \cdot 0 + b}{0+1} = b$$
Soal 13
Jika $a>0, b>0,$ tunjukkan bahwa $$\lim \left( \sqrt{(n+a)(n+b)} -n\right) = \frac{a+b}{2}$$
Jawab: Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n,$ berlaku $$\begin{aligned} \sqrt{(n+a)(n+b)} – n &= \frac{(n+a)(n+b) – n^2}{\sqrt{(n+a)(n+b)} + n} \\ &= \frac{(a+b)n+ab}{\sqrt{(n+a)(n+b)} + n}\\&= \frac{a+b + \frac{ab}{n}}{\sqrt{1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2}} + 1} \end{aligned}$$
Sehingga, $$\begin{aligned} \lim \left( \sqrt{(n+a)(n+b)} – n \right) &= \lim \left( \frac{a+b + \frac{ab}{n}}{\sqrt{1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2}} + 1} \right) \\&= \frac{a+b}{\sqrt{1}+1}\\&=\frac{a+b}{2}\end{aligned}$$
Jadi, $$\lim \left( \sqrt{(n+a)(n+b)} – n \right) = \frac{a+b}{2}$$
Soal 14
Gunakan teorema Apit 3.2.7 untuk menenukan limit berikut.
(a). $(n^{1/n^2})$
(b). $\left( (n!)^{1/n^2} \right)$
Jawab: Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ berlaku $$1 \leq n^{1/n^2} \leq n^{1/n} $$dan $$1 \leq \left( (n!)^{1/n^2} \right) \leq (n^n)^{\frac{1}{n^2}} = n^\frac1n. $$
Karena $\lim n^\frac1n = 1,$ maka berdasarkan teorema Apit dan hubungan sebelumnya diperoleh bahwa $$\lim (n^{1/n^2}) = 1 $$dan $$\lim \left( (n!)^{1/n^2} \right) = 1.$$
Demikian postingan kali ini terkait dengan Pembahasan Soal Analisis Real 3.2 tentang Teorema-teorema Limit. Jika Anda tertarik dengan Pembahasan Soal Analisis Real lainnya terutama soal-soal dari buku Introduction to Real Analysis oleh Bartle dan Sherbert, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
