Last Updated on Juli 31, 2021 by prooffic
Kali ini kita akan membahas mengenai Definisi dan Sifat Bilangan Kompleks. Kita akan mulai dengan asal usul bilangan kompleks, terutama terkait dengan definisi, operasi dan sebagainya. Untuk memudahkan dalam memahami materi Definisi dan Sifat Bilangan Kompleks berikut, Anda hanya perlu memiliki pemahaman terkait dengan konsep persamaan kuadrat. Karena dalam pembahasan ini, kita akan mengkonstruk bilangan kompleks dari konsep tersebut.
**Selamat menikmati**
Pendahuluan
Teman-teman tentu sudah sangat familiar dengan persamaan kuadrat (terkhusus jenjang SMP ke atas). Persamaan kuadrat memiliki bentuk $$ax^2 + bx + c = 0$$ dengan $a \neq 0, a, b, c \in \mathbb{R}.$ Salah satu contoh persamaan kuadrat adalah $$x^2 – 2x + 1 = 0 $$Kita dengan mudah dapat mengubah bentuk persamaan kuadrat tersebut menjadi $$(x-1)^2 = 0 $$Sehingga, haruslah $x = 1.$ Contoh lainnya adalah $$x^2 – 1 = 0 $$Perhatikan bahwa $x^2 = 1$ yang berakibat bahwa $x = \pm 1.$ Sehingga, solusi dari persamaan kuadrat tersebut adalah $-1, 1.$ Sejauh ini akar-akar (solusi) yang diperoleh aman-aman saja. Tetapi, tinjau persamaan berikut. $$x^2 + 1 = 0 $$Terlebih dahulu kita akan menunjukkan bahwa tidak ada solusi $x$ berupa bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut dengan menggunakan sifat-sifat dasar pada bilangan real, yaitu sifat urutan.
Andaikan bahwa terdapat bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^2 + 1 = 0.$ Berdasarkan sifat urutan, kita punya $x^2 \geq 0$ untuk setiap bilangan real $x.$ Dari sini, untuk setiap $x,$ berlaku $$x^2 + 1 \geq 0 + 1 = 1 $$Akibatnya, jika $x$ memenuhi $x^2 + 1 = 0,$ maka $$1 \leq x^2 + 1 = 0$$ yang berakibat $1 \leq 0.$ Hal ini merupakan sesuatu yang tidak mungkin berdasarkan sifat urutan bilangan real. Jadi, haruslah tidak terdapat bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
Dari sini, kita bisa melihat bahwa ada yang kurang dalam sistem bilangan real yang telah kita punya, terutama untuk menjelaskan persamaan tersebut. Oleh karena itu, diperkenalkanlah bilangan kompleks sebagai salah satu bentuk perluasan dari himpunan bilangan real.
Definisi Bilangan Kompleks
Dari persamaan $x^2 + 1 = 0,$ dengan melakukan manipulasi aljabar sebagaimana dilakukan pada bilangan real, kita akan peroleh bahwa $x$ yang memenuhi adalah $$x = \sqrt{-1} $$Bilangan tersebut kita katakan sebagai $i.$ Kemudian, bilangan berbentuk $a+bi$ dengan $a$ dan $b$ bilangan real disebut sebagai bilangan kompleks. $a$ disebut bagian real dan $b$ disebut bagian imajinernya.
Kemudian, kenapa disebut sebagai bilangan kompleks? Jika ditinjau dari makna secara bahasa, kompleks berarti rumit, hal ini sesuai dengan bentuk bilangan tersebut yang terdiri dari dua bilangan real yang pada dasarnya tidak terkait satu sama lain. Ini berbeda dengan bilangan real yang kita kenal selama ini. Himpuan bilangan kompleks dinotasikan $\mathbb{C}.$
Oleh karena itu, persamaan seperti $x^2 + 1 = 0$ mempunyai akar-akar penyelesaian. Akan tetapi, solusinya bukan merupakan bilangan real, melainkan merupakan bilangan kompleks.
Sistem Bilangan Kompleks
Operasi pada Bilangan Kompleks
Sama halnya pada sistem bilangan real, kita juga mendefinisikan dua buah operasi dasar dari bilangan kompleks. Operasi dasar tersebut adalah penjumlahan dan perkalian. Namun, penjumlahan dan perkalian pada bilangan kompleks berbeda dengan perkalian pada bilangan real.
Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan kompleks berbentuk $$x = a+bi, y = c+di $$dengan $a, b, c, d$ adalah bilangan real. Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian antara $x$ dan $y$ sebagai berikut. $$\begin{aligned}x+y &= (a+c) + (b+d)i \\ x \cdot y &= (ac-bd) + (ad+bc) i \end{aligned}$$
Dengan operasi tersebut, kita akan menunjukkan bahwa sistem bilangan kompleks, yaitu himpunan bilangan kompleks yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya, merupakan gelanggang (ring).
Sistem Bilangan Kompleks adalah Gelanggang
Sama halnya dengan sistem bilangan real yang merupakan gelanggang, sistem bilangan kompleks juga merupakan gelanggang. Fakta tersebut memberikan rangkuman yang cukup lengkap mengenai sifat dasar bilangan kompleks terkait dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang telah didefinisikan. Berikut ini, kita akan menunjukkan satu per satu sifat yang dipenuhi oleh sistem tersebut sehingga dikategorikan sebagai gelanggang. Lebih jauh lagi, sistem tersebut adalah gelanggang komutatif.
Tertutup terhadap operasi penjumlahan
Bukti: Misal $x$ dan $y$ adalah bilangan kompleks dengan $$x = a+bi, y = c+di $$dengan $a, b, c, d$ adalah bilangan real. Dari definisi yang telah disajikan sebelumnya, maka $$x+y = (a+c) + (b+d)i $$Dari sifat ketertutupan operasi penjumlahan pada $\mathbb{R},$ maka $a+c, b+d \in \mathbb{R}.$ Oleh karena itu, berdasarkan definisi bilangan kompleks, maka $x+y \ in \mathbb{C}.$ Jadi, operasi penjumlahan pada $\mathbb{C}$ tertutup.
Operasi penjumlahan bersifat komutatif
Bukti: Misal $x$ dan $y$ adalah bilangan kompleks dengan $$x = a+bi, y = c+di $$dengan $a, b, c, d$ adalah bilangan real. Maka, dengan sifat bahwa sistem bilangan real adalah komutatif, maka $$\begin{aligned} x+y &= (a+c) + (b+d) i \\ &= (c+a) + (d+b) i \\ &= y+x \end{aligned} $$Sehingga, operasi penjumlahan pada $\mathbb{C}$ bersifat komutatif.
Operasi penjumlahan bersifat asosiatif
Bukti: Misal $x$ dan $y$ adalah bilangan kompleks dengan $$x = a+bi, y = c+di, z = e+fi $$dengan $a, b, c, d, e, f$ adalah bilangan real. Maka, dengan sifat bahwa sistem bilangan real adalah asosiatif, maka $$\begin{aligned} (x+y) + z &= ((a+c)+(b+d)i)+(e+fi)\\ &= ((a+c)+e) + ((b+d)+f) i \\ &= (a+(c+e))+(b+(d+f))i\\ &= (a+bi)+((c+e)+(d+f)i) \\ &= x + (y+z) \end{aligned} $$Sehingga, operasi penjumlahan pada $\mathbb{C}$ bersifat asosiatif.
Memiliki unsur identitas terhadap penjumlahan
Tujuan kita adalah mementukan bilangan kompleks $\overline{0}$ yang memenuhi sifat $$z+\overline{0} = \overline +z = z $$Karena sebelumnya telah ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat komutatif, maka cukup ditunjukkan bahwa terdapat bilangan kompleks $\overline{0}$ yang memenuhi sifat $$z+\overline{0} = z $$
Untuk itu, anggaplah kita “berpura-pura” bahwa terdapat $ \overline{0} \in \mathbb{C}$ dengan $ \overline{0}+z = z$ untuk setiap bilangan kompleks $z$ (Metode ini biasa dipakai untuk membuktikan pernyataan terkait dengan eksistensi secara eksplisit). Tulis $\overline{0} = a_1 + a_2 i$ dan $z = a+ib.$ Maka $$\begin{aligned}\overline{0}+ z &= z\\ (a_1 + a)+(a_2 + b)i &= a+bi \end{aligned} $$Sehingga, diperoleh dua buah persamaan, yaitu $$ \begin{aligned} a_1 + a &= a \\ a_2 + b &= b \end{aligned} $$Oleh karena itu, kita peroleh $a_1 = a_2 = 0$ berdasarkan hukum pencoretan pada sistem $\mathbb{R}.$ Jadi, calon unsur identitas yang kita cari adalah $\overline{0} = 0+ 0 \cdot i$
Selanjutnya, kita akan membuktikan bahwa $\overline{0}$ adalah unsur identitas yang dikehendaki. Diberikan sebarang bilangan kompleks $z$ dengan $z = a+bi.$ Maka, $$z + \overline{0} = (a+0)+(b+0)i=a+bi = z $$Dari sini, $\overline{0}$ adalah unsur identitas terhadap penjumlahan dari sistem bilangan kompleks.
Setiap unsurnya memiliki invers terhadap penjumlahan
Dengan menggunakan pendekatan yang serupa dengan bagian sebelumnya, kita akan memperoleh bahwa calon invers (penjumlahan) dari $z = a + bi$ adalah $-z$ yang didefinisikan $$-z = -a + (-b) i $$Jelas bahwa jika $z,$ adalah sebarang bilangan kompleks, maka $-z$ juga merupakan bilangan kompleks. Dari sini, cukup ditunjukkan bahwa $z + (-z) = \overline{0}$ untuk setiap bilangan kompleks $z$
Untuk itu, perhatikan bahwa untuk bilangan kompleks $z$ dengan $z = a+bi,$ maka $$\begin{aligned} z + (-z) &= (a+bi) + (-a+(-b) i) \\&= (a+(-a)) + (b+(-b))i\\ &= 0 + 0 \cdot i \\&= \overline{0} \end{aligned} $$Sehingga, $-z$ tersebut adalah unsur invers (penjumlahan) dari $z.$
Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap unsur di $\mathbb{C}$ memiliki unsur invers terhadap operasi penjumlahan yang didefinisikan pada sistem bilangan kompleks.
Tertutup terhadap operasi perkalian
Bukti: Misal $x$ dan $y$ adalah bilangan kompleks dengan $$x = a+bi, y = c+di $$dengan $a, b, c, d$ adalah bilangan real. Dari definisi yang telah disajikan sebelumnya, maka $$x \cdot y = (ac – bd) + (ad+bc)i $$Dari sifat ketertutupan operasi perkalian pada $\mathbb{R},$ maka $ac – bd, ad+bc \in \mathbb{R}.$ Oleh karena itu, berdasarkan definisi bilangan kompleks, maka $x \cdot y \ in \mathbb{C}.$ Jadi, operasi perkalian pada $\mathbb{C}$ tertutup.
Operasi perkalian bersifat asosiatif
Bukti: Misal $x$ dan $y$ adalah bilangan kompleks dengan $$x = a+bi, y = c+di, z = e+fi $$dengan $a, b, c, d, e, f$ adalah bilangan real. Maka, dengan sifat bahwa sistem bilangan real adalah asosiatif, maka $$\begin{aligned} (x \cdot y) \cdot z &= ((ac-bd)+(ad+bc)i) \cdot (e+fi)\\ &= ((ac-bd)e-(ad+bc)f) + ((ac-bd)f+(ad+bc)e) i \\ &= (a(ce-df)-b(cd+de))+(a(cd+de)+b(ce-df))i\\ &= (a+bi) \cdot ((ce-df)+(cf+de)i) \\ &= x \cdot (y\cdot z) \end{aligned} $$Sehingga, operasi perkalian pada $\mathbb{C}$ bersifat asosiatif.
Operasi perkalian bersifat komutatif
Misalkan $x, y \in \mathbb{C}$ dengan $x = a+bi$ dan $y = c+di$ untuk $a, b, c, d \in \mathbb{R}.$ Maka, berdasarkan sifat komutatif pada $\mathbb{R},$ maka diperoleh bahwa $$\begin{aligned} x \cdot y &= (ac-bd)+(ad+bc) i \\ &= (ca-bd) + (cb+da) i \\ &= (c+di) \cdot (a+bi) \\ &= y \cdot x\end{aligned} $$Jadi, operasi perkalian pada $\mathbb{C}$ bersifat komutatif.
Operasi penjumlahan dan perkalian bersifat distributif
Kita akan menunjukkan bahwa untuk setiap $x, y, z \in \mathbb{C},$ berlaku bahwa $$\begin{aligned} x \cdot (y+z) &= x \cdot y + x \cdot z \\ (y+z) \cdot x &= y \cdot x + z \cdot x \end{aligned} $$Karena sistem $\mathbb{C}$ komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, maka kita cukup menunjukkan sifat distributif pertama tersebut.
Untuk itu, misalkan $z, y, z \in \mathbb{C}$ adalah sebarang bilangan kompleks dengan $$x = a+bi, y = c+di, z = e+fi $$untuk suatu $a, b, c, d, e, f$ adalah bilangan real. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x \cdot (y+z) &= (a+bi) \cdot ((c+e)+(d+f)i) \\ &= (a(c+e) – b(d+f))+(a(d+f) + b(c+e))i \\ &=((ac-bd)+(ae-bf))+((ad+bc)+(af+be))i \\&= ((ac-bd)+(ad+bc)i) + ((ae-bf)+(af+be)i)\\& = x \cdot y + x \cdot z \end{aligned}$$
Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada $\mathbb{C}$ memenuhi sifat distributif. Jadi, sistem $\mathbb{C}$ adalah gelanggang komutatif.
Bidang Kompleks
Bidang kompleks adala bidang yang berkaitan dengan sistem bilangan kompleks yang dibentuk oleh dua buah sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu real dan sumbu imajiner. Bidang kompleks pada dasarnya merupakan bidang kartesius yang telah dimodifikasi. Sumbu-x pada bidang kartesius dijadikan sumbu real, sedangkan sumbu-y dijadikan sebagai sumbu imajinernya. Dari sini, kita juga dapat menuliskan bilangan kompleks $a + bi$ dengan $(a,b).$ Oleh karena itu, untuk setiap bilangan kompleks tersebut, akan terdapat secara tunggal titik $(a,b)$ di bidang $\mathbb{R}^2.$ Bidang kompleks juga terkadang disebut sebagai bidang Argand.
Karena alasan tersebut, terkadang buku-buku menuliskan representasi lain dari bilangan kompleks $a+bi$ berupa $(a,b)$ dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan: $$x+y = (a+c, b+d) $$dan $$xy = (ac-bd, ad+bc) $$untuk setiap bilangan kompleks $x = a+bi, y=c+di.$ Penjumlahan tersebut pada dasarnya mirip sebagaimana penjumlahan (standar) pada ruang vektor $\mathbb{R^n}.$
Sebagai contoh, misal bilangan kompleks $z = 1 + i.$ Maka, bagian real dan imajinernya adalah masing-masing 1 dan representasi dalam bentuk koordinat kartesiusnya adalah $(1, 1).$ Sebelumnya, bagian real dari bilangan kompleks $z$ terkadang dituliskan $Re (z)$ atau $\Re (z).$ Sedangkan, bagian imajiner dari bilangan kompleks $z$ terkadang dituliskan $Im (z)$ atau $\Im (z).$ Sehingga, jika kita meletakkannya di diagram argand, kita akan peroleh gambar berikut.
Demikian pembahasan kali ini tentang Definisi dan Sifat Bilangan Kompleks. Jika Anda tertarik dengan topik Analisis Kompleks lainnya, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
