Last Updated on Juli 30, 2023 by prooffic
Kita kali ini akan menyajikan mengenai Pembahasan Soal Analisis Kompleks. Soal berikut diambil dari buku Complex Variables and Application, serta dari buku Complex Numbers from A to Z. Materi dalam Pembahasan Soal Analisis Kompleks berikut ini adalah terkait dengan ketaksamaan pada modulus bilangan kompleks.
**Selamat menikmati**
Soal 1
Gunakan sifat-sifat modulus dari bilangan kompleks untuk menunjukkan bahwa ketika $|z_3| \neq |z_4|,$ $$\frac{\Re (z_1 + z_2)}{|z_3 + z_4|} \leq \frac{|z_1| + |z_2||}{||z_3| – |z_4||}$$
Jawab: Misalkan bahwa $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mathbb{C}$ dengan $|z_3| \neq |z_4|.$ Karena $|z_3| \neq |z_4|,$ maka $z_3 \neq \pm z_4.$ Kemudian, berdasarkan sifat nilai mutlak , maka $$||z_3|-|z_4|| \leq |z_3 + z_4|$$Kemudian, karena $z_3$ tidak sama dengan $\pm z_4,$ maka diperoleh $$\frac{1}{|z_3 + z_4|} \leq \frac{1}{||z_3| – |z_4||} \cdots (2) $$Di lain pihak, kita punya $$\Re (z_1 + z_2) \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \cdots (1) $$Dari sini, karena $$0 \leq \frac{1}{|z_3 + z_4|} \leq \frac{1}{||z_3| – |z_4||}, $$maka dengan mengalikan masing-masing ruas pada (1) dan (2), diperoleh bahwa $$\frac{\Re (z_1 + z_2)}{|z_3 + z_4|} \leq \frac{|z_1| + |z_2||}{||z_3| – |z_4||}$$
Baca Juga:
Pembahasan Soal KNMIPA 2021
Pembahasan Soal KNMIPA 2020
Daily Math Problems – proofficial.id
Soal 2
Verifikasi bahwa $$\sqrt{2} |z| \geq |\Re z| + |\Im z|$$
Jawab: Misal $x, y \geq 0.$ Perhatikan bahwa $$(x -y)^2 \geq 0 $$yang berakibat $$\begin{aligned}x^2 + y^2 -2xy &\geq 0 \\ 2 x^2 + 2 y^2 &\geq x^2 + y^2 +2xy \\2 (x^2 + y^2) & \geq (x+y)^2 \\ \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2 + y^2} & \leq x + y \end{aligned} $$Untuk setiap $z$ bilangan kompleks, pilih $x = | \Re z |$ dan $y = | \Im z |.$ Maka, berdasarkan ketaksamaan tersebut dan bahwa $$|z| = \sqrt{ (\Re z)^2 + (\Im z)^2}$$, kita peroleh bahwa $$\sqrt{2} |z| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{ (\Re z)^2 + (\Im z)^2} \geq |\Re z| + |\Im z|$$
Jadi, $$\sqrt{2} |z| \geq |\Re z| + |\Im z|$$
Soal 3 (Hubungan Lingkaran dan Modulus Bilangan Kompleks)
Sketsakan himpunan titik-titik yang ditentukan oleh kondisi $|z -1 + i| = 1$
Jawab: Perhatikan bahwa kondisi $|z -1 + i| = 1$ menyatakan nilai jarak antara $z$ dan $-1 + i$ adalah 1. Sehingga, himpunan titik yang memenuhi persamaan tersebut adalah himpunan titik-titik yang memiliki jarak dengan $-1 + i$ sebesar 1. Ya, kita dapat menebak bahwa titik-titik tersebut adalah lingkaran yang berpusat di $(-1, 1)$ dan berjari-jari 1. Sehingga, berikut ini adalah ilustrasinya.
Untuk lebih meyakinkan, kita akan membuktikannya secara analitik. Misalkan $z$ adalah bilangan kompleks yang memenuhi bahwa $$|z – 1 + i| = 1 \cdots (*)$$Tulis $z = x + iy$ dengan $z = \Re z$ dan $y = \Im z.$ Dari sini, kita peroleh $$|(x + iy) – 1 + i| = 1 $$dan $$|(x-1) + (y+1)i| = 1 $$Akibatnya, $$\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} = 1 $$Oleh karena itu, diperoleh bahwa $$x-1)^2 + (y+1)^2 = 1 $$yang merupakan lingkaran yang berpusat di $(1, -1)$ dan berjari-jari 1. Dari sini, $x, y$ memenuhi persamaan (*) jika dan hanya jika $x, y$ adalah pasangan titik-titik pada lingkaran yang berjari-jari 1 dan berpusat di $(1, -1).$
Soal 4
Sketsakan himpunan titik-titik yang ditentukan oleh kondisi $|z -1 + i| \leq 1$
Jawab: Perhatikan bahwa jika $|z – 1 + i| \leq 1,$ maka kemungkinan nilai dari $|z – 1 + i|$ ada di antara $0$ dan $1.$ Sehingga, nilai dari $|z – 1 + i|$ akan “merambat” dari $0$ hingga $1.$ Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa himpunan nilai yang memenuhi ketaksamaan tersebut berupa semua lingkaran yang berpusat di $(1, -1)$ dengan jari-jari dari $0$ hingga $1.$
Akibatnya, himpunan nilai yang dimaksud adalah berupa cakram tutup berpusat di $(1, -1)$ dan berjari-jari $1$ sebagaimana diperlihatkan pada gambar berikut.
Soal 5
Tentukan himpunan titik-titik yang ditentukan oleh kondisi $|z -1 + i| \geq 1$
Jawab: Perhatikan bahwa jika $|z – 1 + i| \geq 1,$ maka kemungkinan nilai dari $|z – 1 + i|$ adalah lebih dari atau sama dengan $1.$ Sehingga, nilai dari $|z – 1 + i|$ akan “merambat” dari $1$ hingga seterusnya. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa himpunan nilai yang memenuhi kondisi ketaksamaan tersebut berupa semua titik di bidang kompleks kecuali cakram buka yang berpusat di $(1, -1)$ dengan jari-jari dari $0$ hingga $1.$
Soal 6
Misalkan $z \in \mathbb{C}$ yang tidak nol sedemikian sehingga $$\left| z^3 + \frac{1}{z^3} \right| \leq 2 $$Buktikan bahwa $$\left| z+ \frac{1}{z}\right| \leq 2$$
Jawab: Perhatikan bahwa untuk setiap $\mathbb{C}$ yang tidak nol, dengan teorema binomial berlaku bahwa $$z^3 + \frac{1}{z^3} = \left( z + \frac{1}{z} \right)^3 – 3 \left(z+\frac{1}{z} \right) $$Dari sini, berdasarkan sifat modulus dari bilangan kompleks, kita punya $$\begin{aligned} \left| \left| z + \frac{1}{z} \right|^3 – 3 \left|z+\frac{1}{z} \right| \right| & \leq \left| \left( z + \frac{1}{z} \right)^3 – 3 \left(z+\frac{1}{z} \right) \right|\\ &= \left| z^3 + \frac{1}{z^3} \right| \leq 2\end{aligned}$$
Kemudian, misalkan $a = \left| z + \frac{1}{z} \right|.$ Maka, $$|a^3 – 3a| \leq 2, a \geq 0 \cdots (1) $$Kita akan menentukan nilai yang mungkin dari $a$ tersebut. Dari sifat nilai mutlak bilangan real, $a$ memenuhi (1) jika dan hanya jika $a$ memenuhi $$a^3 – 3a \leq 2 \cdots (2)$$ dan $$a^3 – 3a \geq -2 \cdots (3) $$Oleh karena itu, kita cukup menentukan nilai $a$ yang memenuhi (2) dan (3).
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a^3 – 3a &\leq 2 \\a^3 – 3a -2 & \leq 0 \\ (a-2)(a+1)^2 & \leq 0 \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$ a \leq 2 $$Karena $a$ tak negatif, maka $$0 \leq a \leq 2$$
Selain itu, $$\begin{aligned} a^3 – 3a & \geq -2 \\a^3 – 3a + 2 & \geq 0 \\ (a+2)(a-1)^2 &\geq 0 \end{aligned} $$yang berakibat bahwa $$a \geq -2 $$Karena $a$ tak negatif, maka $$a \geq 0$$
Dari sini, kita harus punya $a \leq 2$ dan $a \geq 0.$ Akibatnya, $$0 \leq a \leq 2 $$Oleh karena itu, $$0 \leq \left| z+ \frac{1}{z}\right| \leq 2 $$Jadi, $$\left| z+ \frac{1}{z}\right| \leq 2$$
Demikian postingan kali ini tentang Pembahasan Soal Analisis Kompleks. Jika Anda tertarik dengan topik Analisis Kompleks, silahkan ke sini. Jika Anda tertarik dengan topik lainnya, silahkan ke sini. Semoga membantu. Sekian dan terima kasih.
